六年级奥数-第六讲立体几何--教案

c b a H

D C

一、长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．

二、圆柱与圆锥

立体图形

表面积

体积

圆柱

222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积

2πV r h =

圆柱

圆锥h r

22ππ360

S l r =+=

+圆锥侧面积底面积注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21

π3

V r h =圆锥体

例题精讲

【例 1】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方

体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1

2厘米的正

方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1

厘米，

那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：

2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平

方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯1

⨯4=1(平方厘米)，

14⨯14⨯4=14

(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14

294(平方厘米).

第六讲立体几何部分

【例 2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成

4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．

原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次， 6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．

【例 3】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

25块积木

【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.

【例 4】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个

正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：2

(1235)6396234+++⨯=⨯=(平方厘米)，

重叠部分的面积为：

22222222213(221)(321)(321)39141440⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)，

所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)． (法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．表面积为()3834252194++⨯=(平方厘米)．

【例 5】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体

图形的表面积．

【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：

2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．

上下面左右面前后面

【例 6】棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小

正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m 的最小值是多少?

【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有3m 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色

面的个数之比为13:12，而131225+=，所以小正方体的总数是25的倍数，即3m 是25的倍数，那么m 是5的倍数．

当5m =时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265⨯+⨯⨯=个，表面没有红色的小正方体有 1256560-=个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m 的最小值是5．

【例 7】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它

们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使

得黑色小正方体尽量不露出来．

在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3(42)8-=(个)，用黑色的；在面上但不在边

上的小正方体有2(42)624-⨯=(个)，其中30822-=个用黑色．

这样，在表面的44696⨯⨯=个11⨯的正方形中，有22个是黑色，962274-=(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．

【例 8】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三

个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【解析】每个长方体的棱长和是288396÷=厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424÷=厘米．因

为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．

要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个87⨯面，有8756⨯=个；

涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87⨯面，有872112⨯⨯=个；若两面相邻，应涂一个87⨯面和一个97⨯面，此时有()7892105⨯+-=个，所以涂两面的最少有105个；

涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87⨯面、一个97⨯面，有()78894147⨯++-=个；若三面两两相邻，有()()()()()()718171918191146-⨯-+-⨯-+-⨯-=个，所以涂三面的最少有146个．

那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个．

【例 9】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个

面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情

况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．

当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b =⨯，那么分成的小正方体个数为

()()()()221242104a b ab a b a b +⨯+⨯=+++=++，为了使小正方体的个数尽量少，应使

()a b +最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当10a b ==时它们的和最小，此时共有 ()()102102144+⨯+=个小正方体．

当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331÷+⨯=．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227=++，此时共有2227108⨯⨯=个小正方体．因为108144<，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．

【例 10】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，

要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以

相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．

红

红红

红

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有52422222⨯+⨯+⨯=（个）．（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值．

对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：

⑴ ⑵ ⑶

⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．

⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色．

⑶剩下633839212⨯⨯-⨯-⨯=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色．

综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622++=个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况

【例 11】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一

个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽

可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考

虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

因为754>>，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．

那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下

的体积应是：()

33321151212961107⨯⨯-++=（立方厘米）.

9966

【例 12】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色

不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块

【例 13】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的

孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

【解析】求体积：

开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔，挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔，挖去215(22)6⨯⨯-+=，

剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．

(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：

得到总体积为：22412100⨯+=．求表面积：

表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前

后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、

()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．

(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32

上下方向：30 左右方向：40

112122*********

1122

112111*********

121

222222222112112

总表面积为()2323040204⨯++=．

【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条

线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！

【例 14】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三

角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺

⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．

⑷

⑶

⑵

⑴ ⑾⑽

⑼

⑻⑺

⑹

⑸

【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：

其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．

对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．

对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切

去1BACB 、1DACD )．

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

A 1

B 1

C 1

D 1

假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的

立体图形的体积为：323111

4233

a a a a -⨯⨯⨯=，

以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为323112

2233

b b b b -⨯⨯⨯=．

由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．

那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图

形的体积的比为：()3

3331212::21:163333

a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图

的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．

【例 15】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个

物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)

10.511.5

【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2

2 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为

2 3.14(0.51 1.5)118.84

⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．

【例 16】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，

再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=

)

【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面

面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．

可知，圆柱体的高为()

250.24 3.1424÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米)；

(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米

【例 17】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数

据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)

(单位：厘米)

【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中

的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分

之和，所以瓶子的容积为：24

π()(62) 3.1432100.482

⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．

【例 18】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面

半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？

【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中

体积之和，因而水深为：

222515217

517.72πππ

⨯⨯+⨯⨯⨯=(厘米)．

它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．于是所求的水深便是17.72厘米．

【例 19】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯

中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？

【解析】两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，

所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14，即1

20.54

⨯=(厘米)．

【例 20】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1

，乙容器中水的高度是锥高的23，

比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？

甲

乙

【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为23r ，则有21

π3

V r h =容器，

221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（），222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（），

219π198188π81

r h V V r h ==甲水乙水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的19

8倍．

【例 21】 (2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有

一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．

20cm 8cm

100cm

【解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：2

208ππ1008400π22⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

(立方厘米)，薄膜展开后

为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为 8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．

另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为2

208ππ84π22⎛⎫⎛⎫

⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(平方厘米)，展开后

为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594÷=厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米．

【例 22】如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD

与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)

O F

C D

E O

【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．

两个圆锥的体积之和为21

2π3530π903

⨯⨯⨯⨯==(立方厘米)；

圆柱的体积为2π310270⨯⨯=(立方厘米)，

所以白色部分扫出的体积为27090180-=(立方厘米)．

【例 23】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在

上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．

【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．

外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-(平方厘米)；

内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：

()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+(平方厘米)，

所以，总表面积为：22416π5368π7608π785.12

++-=+=(平方厘米)．

⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，

用原立方体的体积减去这个体积即可．

挖出的几何体体积为：2

4434444π2321926424π25624π

⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+(立方厘米)；

所求几何体体积为：

()

10101025624

π668.64

⨯⨯-+=

(立方厘米)．

练习

1、（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；

按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；

按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；

按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．

图1 图2 图3 图4

2、（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成

的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？

第8题

【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．

采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．

第1层

第2层

第3层

第4层

第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272

++++=（个）小正方体．

3、有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)

先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?

【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．

76543

565

第三层

65432

454

第二层第一层3

432

2345

上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面

的9个

数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．

4、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放

时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部

分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为3

26.4π62.17231

⨯=+立方厘米，而62.172立方厘米

62.172=毫升0.062172=升．

5、图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？

【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的

宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．因此，纸的长度：

()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04

⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米．

6、如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又

锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了

(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l =1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．

7、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其

内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3=)

5cm

11cm

【解析】设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：

()2221

5π611π6π63

x x ⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯，解得9x =，

所以容器的容积为：221

π612π69540π16203

V =⨯⨯+⨯⨯⨯==(立方厘米)．

8、如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立

方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个

面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．

9、一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的

表面积是多少？

4cm

【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少

50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：

()2

3.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平

方厘米)．

10、(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD

相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

B A O

【解析】设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V ，则V 等于高为10厘米，底

面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．

所以，2211

π6102π3590π33

V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=(立方厘米)，

那么阴影部分扫出的立体的体积是2180π540V ==(立方厘米)．

小升初六年级奥数——几何(平面图形)

一、分数百分数问题，比和比例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题；二、行程问题应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题；三、几何问题几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容：等积变换及面积中比例的应用；与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；

立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数一定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个方法可以用在许多题目中，包括一些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会用分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最大公因数和最小公倍数；学会求约数个数的方法，为了提高灵活运用的能力，需了解这个方法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下面的这个性质是非常有用的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求一个多位数除以一个较小的自然数所得的余数问题，例如求1011121314 (9) 899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前几个题目中出现概率较高，主要考察两个方面，一个是基本的四则运算能力，同时，一些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。我们应该重点掌握以下内容：计算基本功的训练；利用乘法分配率进行速算与巧算；分小数互化及运算，繁分数运算；估算与比较；计算公式应用。如等差数列求和，平方差公式等；裂项，换元与通项公式。

六年级奥数培优几何图形教案之整体带入法

六年级奥数培优几何图形教案第三课时整体代入法专题解析：几何图形中，有时正方形的边长未知，圆的半径未求出，要直接用公式求面积现学知识不可能解答。但可以求出正方形的面积和圆的半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。例题1：在正方形ABCD 中，AC ＝8厘米。求阴影部分的面积。针对性训练： 1、如图所示，图形中正方形的面积都是31平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 2、如图所示，图形中正方形的面积都是79平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 3、如图所示，正方形中对角线长5厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。考点归纳

例题2：在图的扇形中，正方形的面积是33平方厘米。求阴影部分的面积。针对性训练： 1、如图所示，平行四边形的面积是90平方厘米，求阴影部分的面积。 2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。 3、如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。例题3：如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O 的面积。

针对性训练： 1、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。 2、如图所示，直径BC ＝8厘米，AB ＝AC ，D 为AC 的重点，求阴影部分的面积。 3、如图所示，AB ＝BC ＝8厘米，求阴影部分的面积。 1. 如图，已知正方形面积是23 自我检测

六年级奥数第06讲-设数法解题(教)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第06讲-设数法解题授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结教学目标 ① 读懂题目表达的意思； ② 能够快速找出所给题目中缺少的条件； ③ 能够设出所缺条件，列出式子求解。授课日期及时段 T （Textbook-Based ）——同步课堂在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。例1、如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）个△。【解析】由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。例2、五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？【解析】设戊是100厘米高，可推出甲是101厘米高。 101-100= 1（厘米）答：甲高，甲比戊高1厘米。例3、足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？【解析】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+1/5）＝18元，则降价知识梳理典例分析

小学六年级奥数--立体几何综合

学科培优数学立体几何综合学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解 2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算 2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题 4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点立体几何 ⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方表面积：棱长的平方6 圆柱：体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥：体积：21 3 r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法 ⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水 ⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题 ⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米. 【试题来源】【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?

(完整版)六年级奥数--几何问题

几何问题 1 .图中内部有阴影的正方形共有一个。 2 .如 T ®, IE » ABCM 长为 lO W, BO 长 8 厘米。AE= _____________ H ： D --- JC 3 . E 是平行四边形 ABCD 的CD 边上的一点，BD 、AE 相交十点积是6,三角形DEF 的面积是4,求四边形BCEF 的面积为多少？ A ___________________ B DEC 4 .用同样大小的木块堆成了如下图所示的形状，这里共用了一 £，产卡? // L 二比， »o F,已知三角形AFD 的面 ____ 个木块。

面积问题 1. 一个长方体的表面积是400平方厘米，其中有一个顶点处两条棱长分别是5cm和10cm, 求此处的另一条棱长。 2.如下图，有一个边长是6cm的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是6, 4, 2cm的长方体，那么它的表面积现在是多少？ 3.用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

4.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体图形立体图形的表面积. 5.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的表面积。 6.在一个^长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？

7. 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 8. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是平方厘米. 9.如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米, 要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

六(下)奥数第6讲~立体几何综合

六年级下册奥数第6讲~立体几何综合重点、难点1、长方体、正方体2、圆柱、圆锥3、综合问题教学内容【本讲说明】本讲内容属于几何专题。几何部分在历年升学考试中所占比例已达到30%-40%，在16年大桥，15年外国语，16年辅仁等试题中均有出现，主要以大题和操作题的形式考察。每题的分值在8-10分左右。本讲主要属于综合复习，对学生的综合要求以及几何思维能力要求较高，其中涉及到转换法、数形结合等各类解题方法，以及两大柱体的综合题型，部分题目难度较大。【课堂目标】本讲主要包含三大部分：1、长方体正方体2、圆柱圆锥3、综合问题。难点在于基本图形与旋转相结合。知识点一：长方体正方体（基本公式；染色问题；综合问题） 1、有一个方体图形，从前面看从西面看拼成这个图形，最小要用_______块，最多用______块。 2、图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是____。例1、【大桥】一个长方体体积462立方厘米，在表面上涂上一层油漆，并切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高均为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有两面油漆的正方体有多少个？练1、用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体，将这个长方体六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有多少个？

例2、一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，A处比B处高h是4米，现把A处的推向B处，使A、B两处同样高。A处下降了多少？练2、有两个长方体水缸，甲水缸长4分米，宽3分米，高5分米；乙水缸长6分米，宽5分米，高7分米；两个水缸内的水高分别是2.5分米和6分米，乙倒一些水给甲，使两缸内的水一样高，求最后的水高。知识点二：圆柱圆锥（表面积、体积公式；浸没问题）热身练习：【2016湖基】底面积为4平方厘米的圆柱切成4段，表面积增加__________。例3、【辅仁】一棱长18厘米的圆柱形铅笔，底面直径是0.6厘米，把铅笔削高是2厘米的圆锥形后，铅笔的体积减少了多少立方厘米？（结果保留π）练3、【外国语】一个圆柱形水桶，里面盛有18升水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形实心铁块放入水中，桶内还有多少升水？例4、一个圆柱形的水池，底面半径为6厘米，高20厘米，里面存有半池水，将一个底面半径为4厘米，高1米的圆柱形竖直放入池中，水面会上升多少？

奥数网??小学六年级奥数

奥数网小学六年级奥数 •第一讲工程问题例题详情习题练习习题答案 •第二讲比和比例例题详情习题练习习题答案 •第三讲分数、百分数应用题1例题详情习题练习习题答案•第四讲分数、百分数应用题2例题详情习题练习习题答案•第五讲长方体和正方体例题详情习题练习习题答案 •第六讲立体图形的计算例题详情习题练习习题答案 •第七讲旋转体的计算例题详情习题练习习题答案 •第八讲应用同余解题例题详情习题练习习题答案 •第九讲二进制小数例题详情习题练习习题答案 •第十讲棋盘中的数学1例题详情习题练习习题答案 •第十一讲棋盘中的数学2例题详情习题练习习题答案•第十二讲棋盘中的数学3例题详情习题练习习题答案•第十三讲棋盘中的数学4例题详情习题练习习题答案•第十四讲典型试题分析例题详情习题练习习题答案六年级下册奥数知识点串讲 •第一讲列方程解应用题例题详情习题练习习题答案 •第二讲关于取整计算例题详情习题练习习题答案 •第三讲最短路线问题例题详情习题练习习题答案 •第四讲奇妙的方格表例题详情习题练习习题答案 •第五讲巧求面积例题详情习题练习习题答案 •第六讲最大与最小问题例题详情习题练习习题答案 •第七讲整数的分拆例题详情习题练习习题答案 •第八讲图论中的匹配逻辑推理例题详情习题练习习题答案•第九讲从算术到代数1例题详情习题练习习题答案 •第十讲从算术到代数2例题详情习题练习习题答案 •第十一讲综合题选讲1例题详情习题练习习题答案 •第十二讲综合题选讲2例题详情习题练习习题答案 •-----------------------速算与巧算综合练习习题答案

•-----------------------空间想象力综合练习习题答案六年级奥数题及答案更多>> •六年级奥数题及答案：比较大小 •六年级奥数题及答案：填数1 •六年级奥数题及答案：填数2 •六年级奥数题及答案：价格问题1 •六年级奥数题及答案：价格问题2 •六年级奥数题及答案：植树 •六年级奥数题及答案：学雷锋 •六年级奥数题及答案：有几只小虫 •六年级奥数题及答案：多少只鸡 •六年级奥数题及答案：汽车行驶 •六年级奥数题及答案：图形面积 •六年级奥数题及答案：几何 •六年级奥数题及答案：列方程解应用题 •六年级奥数题及答案：最简分数 •六年级奥数题及答案：绳子的长度 •六年级奥数题及答案：最大值 •六年级奥数题及答案：立体几何 •六年级奥数题及答案：分百应用题 •六年级奥数题及答案：应用题 •六年级奥数题及答案：工程问题 •六年级奥数题及答案：应用题 •六年级奥数题及答案：利润问题 •六年级奥数题及答案：应用题 •六年级奥数题及答案：合理安排 •六年级奥数题及答案：盈利问题 •六年级奥数题及答案：小木桥问题 •六年级奥数专题讲解：利润与折扣 •六年级奥数知识讲解：循环小数

小学奥数-六年级-立体图形

A1①用棱长是1厘米的正方块拼成如图6—1所示的立体图形.问该图形的表面积是多少平方厘米？ A1② 有30个边长为1m的正方体，在地面摆成如图所示的形式，然后把露出的表面涂成红色，问涂成红色的表面积是多少？ A1③ 有12个边长为1m的正方体，在地面摆成如图所示的形式，然后把露出的表面涂成蓝色，问涂成蓝色的表面积是多少？ A2CD如图6 — 2,有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5,3,2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？ A2®有一个棱长为4cm的正方体，从它的上方截去一个棱长为4cm, 2cm, 1cm的长方体，求它的表面积减少了百分之几？ A2®有一个棱长为10cm的正方体，从它的上方截去一个棱长为10cm, 4cm, 3cm的长方体，求它的表面积减少了百分之几？ A30 如图6—6从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形.然后，沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？ A3®从长为15厘米，宽为8厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长3厘米的正方形.然后，沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？ A骑从长为20厘米，宽为12厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长4厘米的正方形.然后，沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？ A4①某工人有薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱.并用尼龙编织条如图6-9所示在三个方向上加固.所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405 厘米、485厘米.若每个尼龙条加同时接头处都重叠5 厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？ A4②某工人有薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱.并用尼龙编织条如下图所示在三个方向上加固.所用尼龙编织条的长分别为150厘米、180厘米、240厘米.若每个尼龙条加同时接头处都重叠10厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方厘米？ A4③某工人有薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱.并用尼龙编织条如下图所示在三个方向上加固.所用尼龙编织条的长分别为24厘米、44厘米、52厘米.若每个尼龙条加同时接头处都重叠4厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方厘米？B1如图6—3, 一个正方体形状的木块，棱长l米, 沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块.共得到大大小小的长方体6 O块, 那么，这6 O块长方体表面的和是多少平方米？ B2图6-4中是个边长竖：3X2=6 »)娘4勺正方体，分别从前后、左右、上下各国用叫心冽=8挖去一个边长1厘米的正方体.他成T6华448)=偌它的表面积是多少平方厘米？(?)我平吃=24表面积 B3图)645 4^6=96长为2厘米降芷琪雨.打#正方体的上面制的4向节=24个边小洞；961濯4=挪1底面正中，1 一，，，一“ …，，为1厘米的小洞；第三个小涧白 2 为4X 41X蜃=96正方体向96挖十冲破叫 1 . 5X1X4X6=36 埸0*26相一一，1 ..... .... ..... . ...... 同.边长为一厘米。那么最后得到的立体图形的表 4 面积是多少平方厘米？ B4有大、中、小3 别是6米、3米、 2X2X6=24 (平方米) 个志彳周4=4 .它们的内边长分 2号把1堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个和4厘米. 幽升高了6厘米水里，大水池的水面 B5 12 3X 3X 1 一门1 今有一个长、宽、高领的1 +2 1 通、1 5厘米、 2X2X 4 4 厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正/你6 .然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，曩36再从第二次剩余的部分尽可能大的 B6 和 , 「个正方今问剩下的体积是多少立方厘米? x= (1)12>362)x 12 文服9一个圆柱和一个圆锥，它们的高底触制.................................. 16铲m上,单位是厘米.那么,圆锥彳”中卵耀W 之招93+ 63)______________________________ -(1728 + 一蜘2_ 柱形粮囤.今年改长3米宽2米的中方形二麻1成容积最大的圆柱分的I幽.4问：秒弓的除方形苇席围成,3 . ,、7幽378 今年粮囤的容积是去年粮囤容积睁少倍? =128 n 米.10磔1脚,=16臻28|5 3=1:24今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器兀 r2h C2^+的6 — 8,用高都是1米.底面电!分/宵）1 :夕兀r2 . h+ 兀r2 . h=25 兀- 15+4 兀. 18兀2

新版华数思维导引六年级第六讲立体图形

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150．现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．

3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)． 4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?

六年级奥数-第六讲立体几何教案

一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． ①在六个面中，两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例,它的六个面都是正方形．如果它的棱长为，那么：,．【例 1】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2228（平方厘米）；左右方向、前后方向：22416（平方厘米）,1144(平方厘米），41（平方厘米），4（平方厘米）,这个立体图形的表面积为：41（平方厘米)。【例 2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块,共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为:锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积:1166（平方米）,一共锯了（21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)．【例 3】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体,表面积最小是多少？【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小。设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木,或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加,该几何体表面积为54. 【例 4】(2008年“希望杯”五年级第2试）如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：（平方厘米），重叠部分的面积为：（平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)．（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米，从左右两个面观察到的面积为平方厘米,从上下能观察到的面积为平方厘米．表面积为（平方厘米）．【例 5】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形。，求这个立体图形的表面积．【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面个左面个前面．上表面的面积为:9平方厘米，左表面的面积为:8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此,这个立体图形的总表面积为：（平方厘米）．上下面左右面前后面【例 6】棱长是厘米(为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少？【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为，而,所以小正方体的总数是25的倍数，即是25的倍数，那么是5的倍数．当时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时

六年级下册数学试题-奥数专题训练：立体几何人教版

立体几何

1. 1. 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是。 2. 2. 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是______平方厘米。（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体

3. 3. 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？（π=3.14） 1. 1.

如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积． 2. 2. 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积． 3. 3. 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)

1. 1. (2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是多少cm2． 2. 2.

如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 1. 1. 如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是________平方厘米？(π=3.14) 2. 2. 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？

【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练(解析版)

【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练（解析版）知识点 1、正方体表面积＝棱长×棱长×６体积＝棱长×棱长×棱长图形切拼：一刀两面 2、长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×２体积＝长×宽×高棱长和＝（长＋宽＋高）×4 切成最大的正方体：找长、宽的最大公约数展开图挖小正方体在角上挖：表面积不变在棱上挖：增加２个小正方形的面积在面上挖：增加4个小正方形的面积染色问题 3面被染色：８个 2面被染色：关注棱长 1面被染色：关注面 0面被染色：关注内部 3、圆柱侧面积＝Ｃh＝2πrh

表面积＝2πrh ＋2πr ² 体积＝Sh ＝πr ²h 4、圆锥体积＝31×Sh ＝3 1 πr ²h 圆柱体体积是同底等高的圆锥体体积的3倍 5、浸没问题完全浸没时，物体体积＝水变化的体积 6、三视图俯视图标数视图主视图左视图一、填空题。（每道小题6分，共72分） 1. 要拼成一个棱长为2厘米的正方体，需要个棱长为1厘米的小正方体。【解答】2×2×2＝8（个） 2. 一个长方体仓库从里面量约长10米，宽5米，高6米，如果放入棱长是2米的正方体木箱，至多可以放进个。【解答】分别从长、宽、高三个方向进行考虑： 10÷2＝5（个）长这个方向可以放5个； 5÷2＝2（个）……1（米），宽这个方向可以放2个； 6÷2＝3（个），高这个方向可以放3个， 5×2×3＝30（个），所以至多可以放30个。

3. 将一块长24厘米，宽18厘米，高12厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，可以锯成块。【解答】本题的关键在于正确解读"锯成尽可能大的同样大小的正方体木块"这句话，因为木块是整块整块的，所以正方体棱长必然是长、宽、高的公约数，要让木块尽可能大，那么棱长取长、宽、高的最大公约数即可。（24,18, 12）＝6 24÷6＝4（块），18÷6＝3（块），12÷6＝2（块） 4×3×2＝24（块） 4. 下图中小正方块都一样大，甲的体积乙的体积；甲的表面积乙的表面积。（填“＞”、“＜”或“＝”）【解答】体积之间的比较很直观，不需要过多解释；表面积之间的比较，考查的是这个知识点：本题属于在正方体的角上挖走一个小正方体，虽然表面积减少了3个小正方形，同时会露出3个小正方形，功过相抵，表面积也就没有变化，所以两者表面积相等，填＞，＝。 5. 如图，用棱长是1厘米的立方体拼成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是。【解答】计算拼接图形的表面积一般分成3组进行分析，通常情况下，上底面和下底面面积相等，左侧面和右侧面面积相等，前侧面和后侧面面积相等，所以我们只需要考虑上、左、前三个侧面的面积，然后整体乘以2即可，很多时候直接数就能知道单个侧面的面积。上、下底面：3×5×2＝30（平方厘米）左、右侧面：6×2＝12（平方厘米）前、后侧面：8×2＝16（平方厘米）立体图形的表面积：30＋12＋16＝58（平方厘米）