六年级《容斥原理》奥数教案

小学奥数教程之容斥原理

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 容斥原理 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和 数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知 识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。 1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念 2.利用图形分析解决容斥原理问题 知识梳理 授课批注： 本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论 知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一. 容斥原理的概念 定义 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A 的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|， 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A 表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：A∩B，即阴影面积。 用法： 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数） 二.竞赛考点 1.容斥原理的基本概念 2.与数论相结合的综合型题目 例题精讲 【试题来源】 【题目】 在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。问： (1)三样都买的有几人？ (2)只买一样的有几人？ 【答案】0,4 【解析】(1)设三样都买的学生有a人，那么6+6+4-3-1-2+a=10，解得a=0，所以没有人三种东西都买了. (2)去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有3+1+2=6(人)，所以买一样东西的学生有10-6=4(人). 【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

小学五六年级奥数学竞赛第5讲计数原理之容斥原理

计数原理之容斥原理 【加油站】 计数问题的最高原则是什么？ 不重不漏 A B 1．先包含—— 重叠部分计算了2次， A B 多加了1次； 2．再排除——A B A B A∩B 1．先包 含：A＋B ＋C 2．再排 除：A＋B ＋C－A∩B －B∩C－ A∩C， 重叠部 分 A∩B∩C 重叠了 3次， 但是在 进行A ＋B＋ C－ A∩B C∩A B∩C A∩B∩C －B∩C －A∩C 计算时 都被减 掉了。 3．再包含：A＋B＋C－A∩B－B∩C－ A∩C＋A∩B∩C。 A B 减去。 【例1】(★★) 【例3】(★★★)

在一群小朋友中，有12人看过动画片《樱桃小丸子》，有21人看过动画片《喜羊羊与灰太狼》，并且有8人两部动画片都看过。请问：只看过其中一部动画片的小朋友有多少人？一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻 度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度， 如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段. 【例2】(★★★) 【例4】(★★★★) 某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1 人三种语言全会.只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______ 个. 2016盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、 ……2016.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的 灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏. 1

【例5】(★★★)【例6】(★★★★★) 森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的 一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜 的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已 知甲浇了30盆，乙浇了40盆，丙浇了50盆，丁浇了70盆， ①恰好被4个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ②恰好被3个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ③恰好被2个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ④恰好被1个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ 【例7】(★★★★) 已知三角形ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝2厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14) B 本讲总结 必会工具：韦恩图，线段图， 方程，高斯记号重要应用：数论，几何 C重点例题：例2，例3，例5， 例6 A 2

第14讲 小升初奥数容斥原理

容斥原理 一、两量重叠问题 求两个集合并集的元素的个数，从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相 当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素 个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 一、两量重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．

例1、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 举一反三、有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那 么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。 例2、实验小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这 个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 举一反三、一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没 完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 图3 2厘米 4厘 米

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容斥原理 森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。”这个统计正确吗？ 同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。 容斥原理 1 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。 即A∪B = A+B - A∩B 容斥原理 2 如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。 即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C 容斥原理 1 【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。 15+12-4=23

小学的奥数之容斥原理

标准实用 文案大全容斥原理（一） 【例题分析】 例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？ 分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是： （平方厘米） 方法一：（平方厘米） 方法二：（平方厘米） 方法三：（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是67平方厘米。 例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？ 分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。 也可以这样解：（人）

或（人） 答：两组都参加的有5人。 标准实用 文案大全 例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？ 分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。 （人） （人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9人。 例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ 分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

（人） 答：这个年级参加课外小组的有60人。 例5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。 标准实用 文案大全分析与解：根据题意画出如下图 要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，

六年级奥数专题17：容斥原理

十七容斥原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人 . 6

二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.

小学奥数知识点 —— 容斥原理

容斥原理 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质 b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。 例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。 例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。 例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。 例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。

小学奥数教案——容斥问题只是分享

教案 容斥问题 一本讲学习目标 理解并掌握容斥问题。 二重点难点考点分析 容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 三概念解析 容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。 四例题讲解 一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？ 四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对？ 某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？ 光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？

小学奥数容斥原理教案

小学奥数容斥原理教课设计 【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理 (1)】 四年级数学讲义 奥数：容斥原理 (1) 教课目的： 1、理解容斥原理，会绘图剖析此中关系，正确的找出答 案。 2、培育学生的逻辑思想和数学思虑能力。 3、培育学生优异的书写习惯。 一、教课连接 二、教课内容 〔一〕知识介绍 容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。 即当两个计数局部有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和 中清除重复局部。 容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准，按性质 a 分类 与性质 b 分类〔如图〕，那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =na ＋nb －nab 。 〔二〕例题精讲 nanb 例 1、一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请 举手！〞有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！〞有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？〞没有人举手。求 这个班语文、数学作业都达成的人数。 【思路导航】达成语文作业的有 37 人，达成数学作业的有 42 人， 一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。这是由于语文、数学作业都 达成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数 学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语 文、数作业都达成的有： 79－48=31 人。 例 2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答 对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都 答得不对？ 【剖析与解答】答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人， 能够求出只答对第一题的有 25－15=10 人。又答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就获得起码

小学奥数之容斥原理

小学奥数之容斥原理

容斥原理（一） 【例题分析】 例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？ 分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是： （平方厘米） 方法一：（平方厘米） 方法二：（平方厘米） 方法三：（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是67平方厘米。 例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？ 分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。 也可以这样解：（人） 或（人） 答：两组都参加的有5人。

（个） （个） 答：分母是105的最简真分数有48个。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？ 2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？ 3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人？ 4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？ 5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？ 容斥原理（二） 【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

奥数训练专题容斥原理

容斥原理 1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？ 2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢 足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语 文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级） 4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级） 5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级） 6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？

小学奥数之容斥原理

. 容斥原理（一） 【例题分析】 例 1. 有长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形与边长 5 厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？ 分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米） 方法一：（平方厘米） 方法二：（平方厘米） 方法三：（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是67 平方厘米。 例 2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共 26 人，其中参加无线电小组的有 17 人，参加航模小组的有 14 人，两组都参加的有多少人？ 分析与解：把 17 人和 14 人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。 也可以这样解：（人） 或（人） 答：两组都参加的有 5 人。

. 例 3. 六一班有学生 46 人，其中会骑自行车的有 19 人，会游泳的有 25 人，既会骑车又会游泳的有 7 人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？ 分析与解：先求出 46 人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或 会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。 （人） （人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9 人。 例 4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有 20 人，参加音乐小组有 24 人，参加手工小组有 31 人，同时参加美术和音乐两个小组有 5 人，同时参加音乐和手工两个小组有 6 人，同时参加美术和手工两个小组的有 7 人，三个小组都参加的有 3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ 分析与解：图中的 5、 6、 7 人都是两两重叠的部分，图中的 3 人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。 （人） 答：这个年级参加课外小组的有60 人。 例 5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有 4 人三项都未达到优秀，其他人至 少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。 短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项

小学奥数容斥原理

知识框架图 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应 用 7-7-5容斥原理中的最值问题 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 教学目标 知识要点 容斥原理 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．