三角函数辅助角公式定理化简
,.
9．已知函数()2
23sin cos 2cos 1f x x x x =-+，
（I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]
0,π上的单调性。
10．已知函数
.
(1)求 的最小正周期；
(2)若关于 的方程在
上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.
11．设()2
sin cos cos 4f x x x x π??
=-+
??
?
. (1)求()f x 的单调递增区间；
(2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??
= ???
， 1a =， 3bc =，求b c +的值.
12．已知函数.
（1）求函数
的单调增区间；
,.
（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.
13．设函数.
（1）求的最大值，并写出使
取最大值时的集合；
（2）已知中,角
的边分别为
，若
，求的最小值.
14．已知()(
)
1
3sin cos cos 2
f x x x x ωωω=
+-
，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.
15．已知a r
=（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数
f （x ）=a r ?b r 且f （3
π
－x ）=f （x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移
3
π
单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4
π
]上恒成立，求实数a 的取值范围．
16．已知向量a v =（2cos 2x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2
x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v
，
且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．已知函数()()
sin(0,0,)
2
f x A x A
π
ω?ω?
=+>><的部分图象如图所示.
（1）求函数()
f x的解析式；
（2）如何由函数2sin
y x
=的通过适当图象的变换得到函数()
f x的图象，写出变换过程;
（3）若1
42
f
α
??
=
?
??
，求sin
6
π
α
??
-
?
??
的值.
18．已知函数
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若且，求的值。
19．已知()2
2cos sin3sin cos sin
6
f x x x x x x
π
??
=?++?-
?
??
，
（1）求函数()
y f x
=的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足()2
f A=，而3
AB AC
?=
u u u v u u u v
，求边BC的最小值．
20．已知函数()cos3cos cos
2
f x x x x
π
??
??
=--
?
??
??
??
（1）求()
f x的最小正周期和最大值；
（2）讨论()
f x在3,
44
ππ
??
??
??
上的单调性．
21．已知()223cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间； （2）当,44x ππ??
∈-???
?时，求()f x 的值域.
22．已知函数为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不
变，得到函数的图象，求
的单调递减区间.
23．已知函数()4
4
cos sin2sin f x x x x =--.
（1）求函数()f x 的递减区间； （2）当0,2x π??
∈????
时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值.
24．已知函数()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的1
2（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为,0212k ππ??+
???，
k Z ∈；（2）增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??
--????
. 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间． 试
题
解
析
：
1
）
由
已
知
(
)21cos 21cos2113cos2sin 222426x x f x x x x ππ??++ ?-????=-=-=- ???
令26
x k π
π-
=，得,212k x k Z ππ=
+∈，对称中心为,0212k ππ??
+ ??
?， k Z ∈. （2）令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
， k Z ∈
得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+， k Z ∈,增区间为,,6
3k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
令32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
， k Z ∈ 得53
6k x k π
πππ+
≤≤+
， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ?
?++∈???
? ,34ππ??-????上的增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??
--????
. 2．（1）()f x 2sin 23x π?
?
=+
??
?
， T π=；
（2）4
x π
=-时， ()min 1f x =-， 12
x π
=
时，
()max 2f x =.
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π?
?
=+ ??
?
，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得226
3
3
x π
π
π
-
≤+
≤
的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值．
试题解析：
（1）()2
4sin cos cos
sin sin
2sin cos 3
3f x x x x x x x π
π??
=-+=-+ ??
?
sin22sin 23x x x π?
?=+=+ ??
?
所以22
T π
π=
=. （2）因为4
6
x π
π
-≤≤
，所以226
3
3
x π
π
π-
≤+
≤
所以1sin 2123x π?
?-
≤+≤ ??
?，所以()12f x -≤≤， 当23
6
x π
π
+=-，即4
x π
=-
时， ()min 1f x =-，
当23
2
x π
π
+
=
，即12
x π
=
时， ()min 2f x =.
3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1．
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π?
?
=- ??
?
，根据22
T π
π=
=求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间,44ππ??
-
???
?的交集即可；根据23
x π
-
的取值范围确定函数在,44ππ??
-
????
上的最大值与最小值。 试题解析：
（1）()4tan cos cos 3f x x x x π??
=-
??
?4sin cos 3x x π?
?=- ???
1
4sin cos 22x x x ??=+ ? ???
2
2sin cos x x x =+ )
sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π?
?==- ??
?．
所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=．
（2）令23
z x π
=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ??
-
++????
， k Z ∈．
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，得512
12
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+， k Z ∈． 设,44A ππ??=-
????， 5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ??
?=-????
．
所以，当,44x ππ??∈-????时， ()f x 在区间,124ππ??
-????
上单调递增。 ∵4
4
x π
π
-≤≤
，
∴526
3
6
x π
π
π
-≤-
≤
， ∴1sin 2123x π?
?-
≤-≤ ??
?， ∴12sin 223x π?
?
-≤-
≤ ??
?
∴()f x 最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ??
-
++∈????
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式
()222Z 2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.
试题
解
析
：
解
：
())1cos21sin22
2x f x x +=
+
1sin2sin 2223x x x π?
?=+=+ ??
?
（1）T π= 当223
2
x k π
π
π+=
+
即()Z 12
x k k π
π=
+∈时
()f x 取最大值为1
（2）令()222Z 2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈
∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ??
-
++∈????
5．(1)答案见解析；(2) ?????
?
. 【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π?
?=- ???，则函数的最小正周期为T π=；
对称轴方程为()3
x k k Z π
π=+
∈；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为??
????
.
试题解析：
（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ???
???=-+-+ ? ? ???????Q
()()1222cos x x sinx cosx sinx cosx =
++-+
221222cos x x sin x cos x =
++-
122222cos x sin x cos x =
+- 26sin x π??=- ??
? 22
T π
π∴==周期 由()()2,6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得
∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）5,,2,122636x x πππππ??
??∈-∴-∈-??????
??Q
因为()26f x sin x π??=- ???在区间,123ππ??-????上单调递增，在区间,32ππ??
????上单调递
减，
所以 当3
x π
=
时， ()f x 取最大值 1
又 1
1222
f f ππ????-=<= ? ?????Q ，当12x π=-时， ()f x 取最小值-
所以 函数 ()f x 在区间,122ππ??
-????上的值域为,12??-????
6．(1) ,1,212k k Z ππ??
+-∈
??? (2) 50,,36πππ????
?????????
【解析】试题分析：(1) ()2
1cos cos sin 2126f x x x x x π?
?=--
=-- ??
?，令26
x k π
π-
=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令22226
2
k x k ππ
π
ππ-
≤-
≤+
解得x,对k 赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+?
?=--=-- ??
? 令26
x k π
π-
=，得212
k x ππ
=
+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ??
+-∈ ???
(Ⅱ)令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
又由于[]
0,x π∈，所以50,
,36x πππ????
∈?????????
故所求单调区间为50,
,36πππ????
?????????
. 点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成
()sin y A wx ?=+ 类型，把wx+ ? 看成整体进行分析.
7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,3
6k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
；（3）()min 1f x =-， ()2miax f x =.
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： ()
2sin 26f x x π?
?
+ ??
?
，进而得最小正周期； （2）由2k 22,6
2
x k k Z π
π
ππ≤+≤+
∈可得增区间；
（3）由6
4
x π
π
-
≤≤
得226
6
3
x π
π
π
∴-
≤+
≤
，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析： (1)
()
2
14cos sin 14cos sin cos 1cos 2cos 1622f x x x x x x x x x π????=+-=+-=+- ? ? ?????
Q
cos2x x =+ 2sin 26x π?
?=+ ???.
()f x ∴的最小正周期T π=.
（2）由2k 22,6
2
x k k Z π
π
ππ≤+≤+
∈
解得k ,3
6
x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ?
?-+∈???
?
(3) 6
4
x π
π
-
≤≤
Q
23
2
x π
π
∴-≤≤
226
6
3
x π
π
π∴-
≤+
≤
∴当266
x π
π
+
=-
时， x 6
π
=-
， ()min 1f x =-
当26
2
x π
π
+
=
时， x 6
π
=
， ()2miax f x =.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,
12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ??
???
上单调递减.
【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2
π
上单调区间，即得()f x 在区间0,
2π??
??
?
上的单调性.
试题解析：（1）()()
2
sin ?cos sin cos f x x x x x x x =+=
12
sin2sin 2232x x T πππ??==++?== ??
? （2）令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+<+
<
+，解得51212
k x k ππ
ππ-
+<<+（k Z ∈） ∵0,
2x π?
?
∈ ??
?
，∴ ()f x 在区间0,
12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ??
???
上单调递减. 9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ??
+∈
???
；(Ⅱ) 递增区间： 0,3π??????
和
5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??
????
. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为()2sin 26f x x π?
?
=- ??
?
，可知最大值为2，对称中心由26
x k π
π-
=，解得x 可求。
（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与[]
0,π做交，即可求得单调性。 试题解析：(Ⅰ) ()2sin 26f x x π?
?
=-
??
?
，所以最大值为2，由26
x k π
π-
=，解得
x=
2,12k ππ+,r 所以对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈ ???
； (Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，解得
,,63k k k Z ππππ??-++∈????，在[]0,π上的增区间有0,3π??????和5,6ππ??????
。 同理可求得f(x)的单调减区间5,,36k k k Z ππππ??
++∈?
???
，，在[]0,π上的减速区间有
5,36ππ??
???
?. 递增区间： 0,3π??????和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??
????
. 10．（1）
；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f (x )＝
2sin ，结合三角函数的周期公式可知T ＝π.
(2)原问题等价于
，结合函数的图象可得
或
，求解
不等式可得a 的取值范围为.
试题解析：
(1)f (x )＝2cosxcos (x － )－ sin 2x ＋sinxcosx ＝ cos 2x ＋sinxcosx － sin 2x ＋sinxcosx ＝ cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ，
∴T ＝π. (2)
画出函数在x ∈的图像，由图可知
或
故a 的取值范围为
.
11．（1）(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
（2）31b c +=
【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得()1
sin22
f x x =-
，由222,2
2k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈可解得增区间(2) 由02A f ??
= ???
得sin A ， cos A ，由余2
2
31bc b c =+-，即(
)
32bc = ()2
b c + 1-即得b c +
试题解析：
（1）由题意知()1cos 2sin2222x x f x π?
?++ ?
??=- sin21sin21sin2222
x x x -=-=-， 由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 可得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
（2）由02A f ??
=
?
??
得1sin 2A =，又A 为锐角，所以3cos A =.
由余弦定理得： 2223cos 2b c a A bc
+-==，即2231bc b c =+-， 即
(
)
32bc + = ()2
b c + 1-，而3bc =，所以31b c +=+
12．(1) 函数的单调增区间为 ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由化一公式得，
，得结果；
（2），∴，再由余弦定理得.
化简可得：
.
（1）由，.
得：.
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，即.
∴.
可得，.
∵
，
∴
.
由，且的面积为，即.
∴.
由余弦定理可得：.
∴.
13．(1), (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由得到，；由余弦定理得最小为1；
（1）
=
的最大值为2．
要使取最大值,
故的集合为 .
（2）,
化简得,
，只有
在中，由余弦定理，,
由 当 时等号成立， 最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式； （2）巧妙利用三角函数值求得角A ，再利余弦定理得边的关系，得到最值； 14．（1）424,4,33k k k Z ππππ?
?
-
+∈???
?
（2）()26224f A <<【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：
()sin 26f x x πω?
?=+ ??
?，再根据正弦函数周期性质求ω，并根据单调性性质求单调增区间
（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得1
cos 2
B =
，即得3
B π
=
，根据锐角三角形得A 取值范围，根据正弦函数性质求()f A 的取值范围.
试题解析：（1）()31cos2sin 226f x x x x πωωω?
?=
+=+ ??
?，最小正周期为4π， ∴
()1
sin 2
6f x x π??=+ ?
??，
令
1222
262
k x k π
ππ
ππ-
≤
+≤+，即
4244,33
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为424,4,33k k k Z ππππ?
?-
+∈???
?
. （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 整理得： 2sin cos sin A B A =， 1cos 2B =
， 3B π=，∵锐角三角形ABC ，∴02
A π
<<且2032A ππ
<
-<， ∴
6
2
A π
π
<<
，∴
154
2612
A π
ππ
<
+<
，∴()2622f A +<<15．（Ⅰ）f （x ）=sin （x +
3π），52,2,66k k k Z ππππ?
?-+∈???
?；（Ⅱ） 4a π≥.
【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到f x sin x ?=+（）（）
，再由f （-x ）=f （x ）可知函数f （x ）的图象关于直线x =对称，所以+φ=+k π，进而得到φ=，
利用三角函数的性质求解单调区间即可； （2）将f （x ）的图象向右平移
3
π
单位得g （x ）= sinx ，即sinx +1≤ax +cosx 在x ∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h （x ）=sinx -cosx 和φ（x ）= ax —1即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵f （x ）=?=sinxcos φ+cosxsin φ=sin （x +φ），
再由f （-x ）=f （x ）可知函数f （x ）的图象关于直线x =对称，
∴+φ=+k π，k ∈Z ，又|φ|＜，∴φ=
∴f （x ）=sin （x +
3
π
）， 由2k π-≤ x +
≤2k π+可得2k π-≤x ≤ 2k π+，
∴函数的递增区间为[2k π-，2k π+]，k ∈Z ；
（Ⅱ）由图象平移易知g （x ）=sinx ，即sinx +1≤ax +cosx 在x ∈[0，]上恒成立．
也即sinx -cosx ≤ax -1在x ∈[0，]上恒成立.
令h （x ）=sinx -cosx =sin （x -），x ∈[0，]；
φ（x ）= ax -1
如下图：h （x ）的图象在φ（x ）图象的下方，
则： a ≥k AB ==，故4
a π
≥
.
16．（1）f （x ）=2sin （2x+
π6）+1；（2）单调递增区间为[﹣π3 +k π， π
6
+k π]，k ∈Z ． 【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求ω （2）根据正弦函数性质列不等式： πππ
2π22π262
k x k -
+≤+≤+ ，再解不等式可得增区间 试题解析：解：（1）向量=（2cos ，
sin
），=（cos
，2cos
），（ω
＞0），
则函数f （x ）=?=2cos 2+2sin ?cos =cos ωx+1+sin ωx=2sin （ω
x+）+1，
∵f （x ）的最小正周期为π，
∴π=．解得ω=2，
∴f （x ）=2sin （2x+）+1；
（2）令﹣
+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ，
三角函数常用公式
数学必修4三角函数常用公式及结论 、三角函数与三角恒等变换 2 2 2 5、 升幕公式 1 ± Sin2 a = (sin a± COS a ) 1 + COS2 a =2 COS a 1- COS2 a = 2 sin a 6、 两角和差的三角函数公式 sin ( a±3 ) = sin a COS 3 土 COS a sin 3 COS ( a±3 ) = COS a COS 3 干 sin a sin 3 tan tan tan 1 tan tan 7、两角和差正切公式的变形: tan a± tan 3 = tan ( a±3 ) (1 干 tan a tan 3 ) 2、同角三角函数公式 sin 2 2 . g a + COS a = 1 tan Sin cos 3、二倍角的三角函数公式 sin2 a = 2sin a cos a cos2 2 2 a =2cos a -1 = 1-2 Sin a : 2 2 =COS a - Sin a tan 2 2ta n 1 tan 2 4、 2 CO S 1 cos 2 2 2 1 cos2 sin ------------------ 2 1 tan =tan45 tan = tan ( 1 tan 1 tan 45 tan --- a ) 1 tan 1 tan tan 45 tan 1 tan 45 tan =tan ( — - a ) 4
在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式 . 3.三角形中三内角的三角函数关系 （ABC ） O sin A sin （B C ）, cos A cos （B C ）, ta nA tan （B C ）.（注：二倍角的关系） ― A B C A O sin cos( ),cos — 2 2 2 5.几个重要的结论 O A B si nA si nB,cosA cosB ; O 三内角成等差数列 B 600, A C 1200 si n ( n — a ) = sin a, cos ( n — a )= —cos a, tan ( n — a )= —tan a; si n ( n + a ) = — Sin a cos ( n + a ): = —cos a ta n ( n + a )= :tan a sin (2 n — a ) = — sin a cos (2 n — a )= cos a tan (2 n — a )= —tan a si n ( —a ) = — sin a cos ( — a )= cos a ta n ( — a )= -tan a si n ( —a )= cos a cos ( — a )= sin a 2 2 si n ( _+ a ) = cos a cos ( _+ a ) = —sin a 2 2 11.三角函数的周期公式 函数y sin( x ) , x € R 及函数y cos( x ),x € R(A, w , 为常数， 且 2 A M 0,w> 0)的周期T ;函数 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。 y tan( x ) , x k ,k Z （A, w , 为常数，且 A M 0,3> 0）的周期T —. 2 解三角形知识小结和题型讲解 解三角形公式。 1. 正弦定理 a b c si nA si nB si nC 2. 余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccosA b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC 2R （R 是 ABC 的外接圆半径） cos A b 2 2 c 2 a 2bc cosB 2 a 2 c b 2 2ac cosC 2 a b 2 2 c 2ab sin (B C), 2
三角函数辅助角公式化简(1)
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π??=-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34π π?? -????上的单调性. 2．已知函数()4sin cos 33f x x x π? ? =++ ???. （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数()4tan sin cos 323f x x x x π π???? =--- ? ?????． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44π π?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数()23 3cos sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ?? ?? ?? =-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -????上的值域. 6．已知函数()21 3sin cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π??=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ??-????上的最大值和最小值. 8．设函数()()sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π??+- ???=. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数.
三角函数辅助角公式化简
精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；
精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。
高中常用三角函数公式大全
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
三角函数常用公式表
1 1、角 ：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； 2）、与 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合 { | k 360 ,k Z } （ 3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。 2、弧度制 ：（ 1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 2）、度数与弧度数的换算： 180 弧度， 1 弧度 (180) 57 18 3）、弧长公式： l | |r 是角的弧度数） x 2 P (x 0 y y ) 2 y sin cos y r x r tan cot y x x y sec csc r x r y + y + y + y + O x O x + O + x （3）、 特殊角的三角函数值 sin cos tan 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 10 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 01 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 3 1 3 0 —0 3 3 扇形面积： 0 x 各象限的符号： 3、三角函数 2）、 4式 １）平方关系： ２）商数关系： 倒数关 系： ３） S 1lr 2 （1）、定 义： 2| |r 2 如图) sin 2 cos 2 1 tan sin tan cot cos 1 tan 2 2 sec cot cos sin sin csc 1 cot 2 2 csc cos sec cot 4）同角三角函数的常见变 形： 活用 1” ) ①、 sin 2 2 cos sin 1 cos 2 2 cos 2 sin cos 1 sin 2 ； ② tan cot cos 2 sin 2 sin cos sin2 2 ， cot tan cos 2 sin 2 sin cos 2cos2 2cot2 sin2
三角函数式化简
三角函数式化简 孙小龙 所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。 方法引导 三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。 （1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角； 如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等； （2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化； （3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。另外，根据式 子的特点，还可以使用辅助角公式。 了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。 例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3 π )－3sin 2x+sinxcosx 分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π 3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开 f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2 x +sin x cos x ?????→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π)-3sin 2 x +sin x cos x = 2sin x cos x +3cos 2 x -3sin 2 x 第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式 2sin x cos x + 3cos 2 x -3sin 2 x ???? →降幂公式 sin2x +3cos2x 继续运用辅助角公式进行彻底化简 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). 例二 化简： 42212cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角 呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出1 2， 可以得到完全平方式 42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44 x x x x ππ-+ -+诱导公式及完全平方式 → 12(4cos x?4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4 +x ）2=（2cos x?12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x?12） 2 4sin(π4+x)cos(π 4+x) 降幂公式 → 2cos 2x 22sin(π+2x)= 2cos 2x 22cos 2x = 12 cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、 异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。 任何三角函数式化简只要掌握了化简的原则和要求，遇到化简题就能轻而易举的攻破了，但首先有个前提：熟练掌握常见三角函数变换公式，如同角三角函数变换公式、诱导公式、两角和与差的余弦正弦正切公式、倍角与半角公式、辅助角公式等。同时还要了解其他三角函数变换公式，如三角函数积化和差和和差化积公式、三倍角公式和万能置换公式等。 小试牛刀 1. 化简βαβαβα2cos 2cos 2 1 cos cos sin sin 2222-+。 2. 化简x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=
三角函数计算公式大全
三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③．
诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .
三角函数公式大全与立方公式
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
三角函数化简题
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
三角函数常用公式
数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α αα α2tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan ±=± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=αα tan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=αα tan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π -α) 8
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π ω=. 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2),2sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○2三内角成等差数列00120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径2 222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 2 22 222 cos 2 cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-=
三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简
8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? + - ? ?? = . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2 π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()22 3sin cos 2cos 1 f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数 . (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求 实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π? ?=-+ ? ? ?. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02 A f ?? = ??? ， 1a =， 3 bc =b c +的值.
12．已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值. 14．已知()()1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω =+-，其中0 ω>，若() f x的最小正周期为4π. （1）求函数() f x的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC中，() 2cos cos a c B b C -=，求() f A的取值范围. 15．已知a r=（sinx，cosx），b r=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数 f（x）=a r ?b r 且f（ 3 π －x）=f（x）． （Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；
三角函数常用公式公式及用法
三角函数常用公式及用法 珠海市金海岸中学 唐云辉 1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法: S={ | k 360°,k Z}，或者 S { | 用法：用来将任意角转化到 0?2的范围以便于计算。 公式中k 的求法： 如是正角就直接除以3600或2，得到的整数 就是我们 要求的k ，剩余的角就是公式中 的；如果是 负角，就先取绝对值然后再去除以 3600或者2，得到 的整数加1后再取相反数就是上述公式中的 k,等于3600或者2减去剩余的角的值。 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3.三角形面积公式： 1 , 1 1 1 abc 2 S 』= a h a = ab si nC =—bc si nA = —ac si nB = =2R sin A si n B si nC 2 2 2 4R 2 a sin BsinC 2 sin A 2 2 b sinAsinC c sinAsinB = = =pr= P (P a)(p b)(p c) 2si nB 2sinC 1 ( 其中p -(a 2 4 ?同角关系： b c) , r 为三角形内切圆半径) (1 )、商的关系：① tan =y = sin x cos 用法：一般用来计算三角函数的值。 (2 )、平方关系：sin 2 cos 2 1 行运算，遇到sin cos m 就先平方而后再运算， 遇到sin cos sin 2 cos 2 这类题目就联想 2 2 到分母为"1” =s in cos 进行运算即可。 --------- K (3)、辅助角公式： asin bcos Va 2 b 2 sin( ) (其中 a>0,b>0 ，且 tan —) a 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y= Asin( x ) k 的图象及性质：( 0, A 0 ) 2、 L 弧长= n nR R =180 扇 =丄LR 」F 2 2 2 n R 2 360 2k ,k Z} 用法：凡是见了 sin cos m 或者sin cos ?2 sin 2 cos 的形式题目都可以用上述平方关系进
三角函数公式大全(很详细).docx
高中三角函数公式大全[ 图] 1 三角函数的定义三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数： 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数
直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： 正弦函数 r 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 2 转化关系倒数关系
平方关系 2和角公式 3倍角公式、半角公式倍角公式 半角公式
万能公式 4积化和差、和差化积积化和差公式 证明过程
首先， sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos已证α。证明过程见《》）因为 sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos正弦α和角公式）则 sin( -αβ) =sin[ α-β+( )] =sin α cos(-β )+sin(-β )cos α =sin α cos-sinβ β cos α 于是 sin( -αβ )=sin α cos-sinββ cos（α正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin( α +β )+sin(-β )=2sinα α cos β 则 sin α cos β =sin( α +β )/2+sin(-β（“α积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin( π-/2α)，有 cos( α +β )= sin[ π-/2(α +β )] =sin( π-/2α-β) =sin[(π-α/2 )+(-β )] =sin( π-/2α )cos(-β )+sin(-β )cos( π-α)/2 =cos α cos- βsin α sin β 于是 cos( α +β )=cos α-cossin βα sin（β余弦和角公式） 那么 cos( α-β) =cos[ α-+(β )] =cos α cos(-β)-sin α sin(-β) =cos α cos β +sin α sin β cos( α-β )=cos α cos β +sin （α余sin弦β差角公式） 将余弦的和角、差角公式相减，得到 cos( α +β)-cos( α-β )=-2sin α sin β
三角函数公式大全
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。