高中数学小专题(精品)16

微专题16 含参数函数的单调区间

在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。 一、基础知识：

1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格

2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解

3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式

4、关于分类讨论的时机与分界点的确定

（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为

(),a +∞，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到

不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式2

0x a ->，第一步移项得：2

x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式2

x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。 （3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解

（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

例如：解不等式：()()110ax x -->，可得：()121

0,1x a x a

=

≠=此时a 扮演两个角色，一个是x 的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定1x 的大小，进而要和2x 来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x 系数的正负，进行分类。

①当0a <时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于0a <，以此为前提1201x x <<=，故小大根不存在问题，解集为1,1a ??

???

②当0a =时，不等式变为()()10,1x x -->?∈-∞ ③当0a >时，不等式解集为小大根之外，而121

0,1x x a

=

>=，12,x x 的大小由a 的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）

1201x x a >?<<时，不等式解集为()1,1,a ??-∞+∞ ???U

121x x a =?=时，不等式化为()2

101x x ->?≠

121x x a 时，不等式解集为()1,1,a ?

?-∞+∞ ??

?U

希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。 二、典型例题： 例1：已知函数()1ln x

f x x ax

-=

+，求()f x 的单调区间 解：定义域()0,x ∈+∞

()111ln f x x a x ??=

-+ ??? ()'

22

111ax f x ax x ax

-∴=-+= 令()'

0f

x >，所解不等式为

1

0ax a

-> 当0a >时，即解不等式110ax x a

->?>

()f x ∴的单调区间为：

当0a <时，10,0ax a -<< ()'0f x ∴>恒成立

()f x ∴为增函数:

例2：已知函数()3

2

3

31f x ax x a

=-+-

（1）若()f x 的图像在1x =-处的切线与直线1

13

y x =-+垂直，求实数a 的值 （2）求函数()f x 的单调区间 解：（1）由切线与1

13

y x =-

+垂直可得：()'13f -= ()'236f x ax x =- ()'13631f a a ∴-=+=?=-

（2）思路：导函数()'

236f

x ax x =-，令()'0f x >解单调增区间，得到含参不等式。分类

讨论时注意a 扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根 解：()'

236f

x ax x =- 令()'0f x >即2360ax x ->

()320x ax ∴-> ① 0a > 122

0,x x a

==

21x x ∴> （将a 的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用0a

>的条件使得12,x x 大小能够确定下来，避免了进一步的分类）

()f x ∴的单调区间为：

② 0a < 21x x ∴< ()f x ∴的单调区间为：

例3：已知函数()22ln f x x ax =-，求()f x 的单调区间 解：定义域：()0,x ∈+∞

()2'

2222ax f x ax x x

-=-=，令()'

0f x >，可得：2220ax ->

即2

1ax <

当0a >时，2

1x x a a ?

()f x ∴的单调区间为：

当0a =时，()2ln f x x =为增函数

当0a <时，()2

'

22220ax f x ax x x

-=-=

>恒成立 ()f x ∴为增函数 例4：讨论函数()()2

1ln 1f x a x ax =+++的单调区间

解：()2'

1212a ax a f x ax x x

+++=+= 令()'0f x > 即()2

2

21021ax a ax a ++>?>-+ （注意定义域为()0,+∞，所以导函数分母恒正，去掉后简

化所解不等式）

① 0a >时 2

1

2a x a

+>-

（求解x 需要除以2a 后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a 的

符号入手）

1

002a a a

+>∴-

恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增 ② 0a = 函数()ln 1f x x =+ 为增函数 ③ 0a <时 2

12a x a +<- （下一步为开方出解集，按1

2a a

+-的符号进行再分类） 当1

02a a

+-

≤即1a ≤-时，()'0f x ≤恒成立，()f x 在()0,+∞单调递减

当1

02a a

+-

>即10a -<<时，解得：0x << ()f x ∴的单调区间为：

小炼有话说：本题定义域为()0,+∞，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在10a -<<时，表格中自变量的区间是从0x >处开始分析的 例5：已知函数()()2

2ln f x x a x x

=-+-，讨论()f x 的单调性 解：定义域为()0,+∞

()2'

22

221a x ax f x x x x

-+=+-= 令()'

0f x >即220x ax -+> 考虑2

8a ?=- （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x 轴有交点）

① 0a ?≤?-≤≤ 2

20x ax -+≥恒成立，故()f x 在()0,+∞单调递增

② a >时 2

20x ax -+=的解1222

a a x x -+== 12,0x x >

∴2

20x ax -+>的解集为??

+∞ ? ?????

U ()f x ∴的单调区间为：

③ a <-时 12,0x x < ()0,x ∴?∈+∞ ()'

0f x >

()f x 在()0,+∞单调递增

小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。122x x ?=，说明两根同号，而12x x a +=，说明a 的符号决定12,x x 的正负，从而在0?>的情况下进行再次分类讨论 例6：已知函数()1ax

a f x e a x ??

=++

???

，其中1a ≥-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间． 解：（1）()12x

f x e x ??=+

??? ()'21

12x f x e x

x ??=+- ???

()()'13,12f e f e ∴== 切线方程为：()321y e e x -=-，即2y ex e =+

（2）()()()'

2

111,0ax

x a x f x ae x x ++-????

=≠，

令()'

0f

x >，即解不等式： ()()1110a x a x ++->????

① 当1a =-时，解得：1x >-，故()f x 的单调区间为：

② 当10a -<<时 121,01x x a =-=>+，所以解得：11

x a -<<

+ 故()f x 的单调区间为：

③ 0a =，则()1f x =，常值函数不具备单调性 ④ 0a >时，解得：1x <-或1

x >

故()f x 的单调区间为：

例7：已知函数()()()2

ln 12

f x x ax a x a R =

+-+∈.求函数()f x 的单调区间. 解： ()()()2'

11111

x a x x x a a f x x a x x x ++++∴=+-==+++ 令()'

0f

x >，即()10x x a ++>，

()120,1x x a ==-+ （参数a 角色：① 12,x x 的大小，② 2x 是否在定义域内，以①为目标分类）

① ()2110x x a >?-+>即1a <- （此时()1a -+一定在定义域中，故不再分类） 不等式的解集为10x -<<或()1x a >-+ ()f x ∴的单调区间为：

② 211x x a =?=- ()'20f x x =≥ ()f x ∴在()1,-+∞单调递增 ③ 2101x x a <=?>-，要根据2x 是否在()1,0-进行进一步分类 当10a -<<时，()20,1x ∈ 不等式的解集为0x >或()11x a -<<-+

()f x ∴的单调区间为：

当0a ≥时，则10x a ++>，不等式的解集为0x > ，()f x ∴的单调区间为：

小炼有话说：

（1）在求单调区间时面临一个()'

0f

x =的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义

域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。

（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。

例8：已知函数()()2

ln 2f x x ax a x =-+-，求()f x 的单调区间

解：定义域{}|0x x >

()()()()()2'

2212111

22ax a x x ax f x ax a x x x x

----+=-+-=-=-

令()'

0f

x >，即解不等式()()2110x ax -+<

（1）当0a ≥时，可得10ax +>，则不等式的解为12

x <

()f x ∴的单调区间为：

（2）当0a <时，12,2x x a =

=- ① 12x x >时，即1122a a >-?<-，解得12x >或1

0x a

<<-

()f x ∴的单调区间为：

② 122x x a =?=-，代入到()

()2

'

210x f

x x

-=

≥恒成立 ()f x ∴为增函数

③ 1220x x a -

或1

02

x << ()f x ∴的单调区间为：

例9：设函数()()3

2212,03

f x ax ax a x a =++-≠，求()f x 的单调区间； 解：()'

2412f

x ax ax a =++-，令()'0f x >即24120ax ax a ++->

()()2216412244461a a a a a a a ?=--=-=-

（1） 1

006

a ?≤?<≤

则()'0f x >恒成立 ()f x ∴在R 上单调递增

（2）00a ?>?<或1

6a > 422a x a a -±==-±

① 当0a <时，解得22x -+<<-- ，()f x 单调区间为：

② 当1

6

a >时，解得：2x <--或2x >-+()f x 单调区间为：

例10：已知函数(),n

f x nx x x R =-∈，其中,2n N n *

∈≥，试讨论()f x 的单调性

思路：()()

'111n n f x n nx n x --=-=-，可令()'

0f

x >，则需解不等式11n x -<，由于1

n -的奇偶不同会导致解集不同，所以可对n 分奇偶讨论 解：()()

'111n n f x n nx n x --=-=- 令()'

0f

x >解得11n x -<

当n 为奇数时，1n -为偶数，可解得：11x -<<

()f x ∴的单调区间为：

当n 为偶数时，1n -为奇数，可解得：1x <

()f x ∴的单调区间为：