高中数学必修二全书导学案

1.1简单旋转体

[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.

【主干自填】

几种简单旋转体

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)铅球和乒乓球都是球吗？

提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．

(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？

提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．

2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥

C．球D．圆台

提示：C由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．

3．给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是()

A．①②B．②③

C．①③D．②④

提示：D依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．

例1有下列说法：

①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．

其中正确的序号是________．

[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①

类题通法

透析球的概念

(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．

(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它

们都是空心的，不符合球的定义．

[变式训练1]下列命题：

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

②球面上任意三点可能在一条直线上；

③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．

其中正确的命题序号为________．

答案③

解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.

例2下列命题：

①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱的任意两条母线平行；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．

其中正确命题的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．

[答案]C

类题通法

透析几种旋转体的概念

解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念

在理解的基础上熟记．

圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．

[变式训练2]下列命题中：

①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．

答案①②③④

解析由圆台与球的定义可知①②③④都对.

例3如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

[解]如图，设圆台的母线长为y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得

3

3＋y

＝x 4x ， 解此方程得y ＝9，

因此，圆台的母线长为9 cm.

类题通法

处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.

[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．

答案

3，2

解析 设正三角形的边长为a ，则3

4a 2＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为3

2

a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.

易错点?空间位置关系考虑不全导致漏解

[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．

[错解] 如图(1)，设球的球心为O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 的球的直径，

由题意知两截面圆的半径分别为6和8. 在Rt △COE 中，OC ＝102－62＝8. 在Rt △DOF 中，OD ＝102－82＝6. 所以CD ＝OC －OD ＝8－6＝2.

故这两个截面间的距离为2.

[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．

事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．

[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，

由题意知两截面圆的半径分别为6和8.

当两截面在球心同侧时，

CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.

当两截面在球心两侧时，

CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.

所以这两个截面间的距离为2或14.

课堂小结

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

1．图1是由哪个平面图形旋转得到的()

答案D

解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()

A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥

C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥

答案D

解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．

3．给出下列四个命题：

①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

其中正确命题的序号是________．

答案②

解析①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．

4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案9π

解析如下图，

把圆台还原成圆锥，设截面⊙O1的半径为r，因为圆台上底面面积为π，下

底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO

SO2＝1

4.设SO＝x，

则SO2＝4x，从而OO2＝3x.因为OO1∶O1O2＝2∶1，所以OO1＝2x，则SO1＝SO

＋OO1＝3x.在△SBO1中，1

r ＝SO

SO1

＝x

3x

，所以r＝3，因此截面的面积是9π.

时间：25分钟

1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

答案B

解析根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．

2．如图阴影部分，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个棱柱

答案B

解析按旋转体的定义得到几何体B.

3．有下列三个命题：

①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；

②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

③圆锥的轴截面是等腰三角形．

其中错误命题的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

答案C

解析①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．

4．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是()

A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)

答案D

解析轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．

5．下列命题中，错误的是()

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面

D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

答案B

解析当圆锥的截面顶角大于90°时，面积不是最大．

6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此圆锥的高被分成的两段之比为()

A．1∶2 B．1∶4

C．1∶(2＋1) D．1∶(2－1)

答案D

解析根据相似性，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则对应小圆锥与原

圆锥高之比为1∶2，那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(2－1)．

7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )

答案 B

解析 由组合体的结构特征知，球只与正方体的六个面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.

8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 答案 圆锥

解析 由旋转体的概念可知，得到的几何体是圆锥．

9．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．

答案 63 cm 2

解析 画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，

AM ＝

AB 2－BM 2＝9(cm)，

∴S 四边形ABCD ＝(4＋10)×9

2

＝63(cm 2

)．

10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．

解②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高，SA，SB是圆锥的母线．

③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面，O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．

①不是圆柱，④不是圆锥．

1.2简单多面体

[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.

【主干自填】

1．几种常见的简单多面体

2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是□13简单多面体．

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？

提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．

(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？

提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．

2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是() A．三棱锥B．四棱锥

C．五棱锥D．六棱锥

提示：D六棱锥的所有棱长不能都相等．

3．棱台不一定具有的性质是()

A．两底面相似B．侧面都是梯形

C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点

提示：C只有正棱台的侧棱都相等．

例1下列说法正确的是()

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.

[答案] D

类题通法

棱柱结构特征问题的解题策略

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行．

求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．

[变式训练1]下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是________．

答案③④

解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.

例2下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．

[答案]①②③

类题通法

棱锥、棱台结构特征问题的判断方法

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底

面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

答案图①，②，③都不是棱台．

解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.

例3一个棱柱是正四棱柱的条件是()

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形

D．每个侧面都是全等的矩形

[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.

[答案] C

类题通法

几种四棱柱之间关系是判断基础

四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：

[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是()

A．六边形B．菱形

C．梯形D．直角三角形

答案D

解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．

易错点?概念理解不透判断易错

[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？

[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．

[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫