直角三角形三边的关系(2)
直角三角形三边的关系（2） 知识点复习 1、勾股定理的运用技巧： （1）在直角三角形中，已知两边长，求第三边，利用开方形式，即：22c a b =+或
22b c a =-。
（2）在直角三角形中，已知一边长，另两边的数量关系也已知时，通常可设其中一边为x ，
利用勾股定理列方程求解。
2、勾股定理只适用于直角三角形，实际问题中常通过添加辅助线，建立直角三角形模型求解。
分层递进
A 层练习
1、若等腰直角三角形的斜边长为2cm,则它的直角边的长为（ ）
A 、1cm
B 、2cm
C 、22cm
D 、2cm
（第2题）
2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，若BD=10cm ，BC=8cm ，则点D 到直线AB 的距离是（ ）
A 、5cm
B 、6cm
C 、8cm
D 、10cm
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，若a ︰b=3︰4，c=15，则a= ， b= 。
4、有一块土地形状如图所示，其中∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ， 求这块土地的面积。
5、如图，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，问：该处的水深是多少米？
B 层练习
6、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，
顶点分别在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上，
且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为3，
则AC 的长为（ ）
A 、10
B 、5
C 、7
D 、52
7、如图，小新同学折叠一个直角三角形的纸片，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，若已知AC=8cm ，BC=6cm ，求CE 的长。
C 层练习
8、如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等。
（1）试用尺规作图，在图中画出E 站的位置；
（2）问：E 站应建在距A 站多远处？
直角三角形三边的关系(2)
直角三角形三边的关系（2） 知识点复习 1、勾股定理的运用技巧： （1）在直角三角形中，已知两边长，求第三边，利用开方形式，即：22c a b =+或 22b c a =-。 （2）在直角三角形中，已知一边长，另两边的数量关系也已知时，通常可设其中一边为x ， 利用勾股定理列方程求解。 2、勾股定理只适用于直角三角形，实际问题中常通过添加辅助线，建立直角三角形模型求解。 分层递进 A 层练习 1、若等腰直角三角形的斜边长为2cm,则它的直角边的长为（ ） A 、1cm B 、2cm C 、22cm D 、2cm （第2题） 2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，若BD=10cm ，BC=8cm ，则点D 到直线AB 的距离是（ ） A 、5cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，若a ︰b=3︰4，c=15，则a= ， b= 。 4、有一块土地形状如图所示，其中∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ， 求这块土地的面积。 5、如图，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，问：该处的水深是多少米？
B 层练习 6、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ， 顶点分别在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上， 且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为3， 则AC 的长为（ ） A 、10 B 、5 C 、7 D 、52 7、如图，小新同学折叠一个直角三角形的纸片，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，若已知AC=8cm ，BC=6cm ，求CE 的长。 C 层练习 8、如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等。 （1）试用尺规作图，在图中画出E 站的位置； （2）问：E 站应建在距A 站多远处？
直角三角形的三边关系
B A B C 直角三角形的三边关系（复习） 一.知识要点 1. 直角三角形边角关系． （1）三边关系：勾股定理：222a b c += （2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系tanA=a b ，sinA=a c ,cosA=b c ， 2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形； （2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； （3）已知两边解直角三角形． 3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等， 常用到下面几个概念： (1)仰、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角 (2)坡度：坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，常用字母i 表示，即i ＝l h (3)坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tan α＝l h (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。 (5)二、课堂练习 1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0） 点B （0，-4），则cos ∠OAB 等于 2、.如图△ABC 中,∠C=900 ,AB=8,tanA=4/3 则AC 的长是 3、在Rt △ABC 中∠C=90°sinA= 4/5 则cosB 的值等于 . 4、在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示， 则sinB 的值为 . 5、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别 是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3， 则tanC 等于 . 6、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设 ∠ADE=α，且5 3cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 7、如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将 线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线 上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于 . 8.比较下列三角函数值的大小：sin400 sin500 9.若是锐角，cosA > ，则∠A 应满足 10.已知∠A 为锐角且sinA=1/4,则（ ） A. 00＜∠A ＜300 B.300＜∠A ＜450 C.450＜∠A ＜600 D.600＜∠A ＜900 11、计算： () 330sin 22321(02-++--?-23
直角三角形三边关系定理
直角三角形三边关系定理 直角三角形三边关系定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了 直角三角形三条边的关系。这个定理被广泛应用于解决与直角三角形 相关的问题。本文将详细讨论直角三角形三边关系定理的原理和应用，并提供相关示例。 在开始正文之前，我们需要先了解一下直角三角形的基本概念。直 角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，有一个 特殊的边，称为斜边，它位于直角的对面，而另外两条边则分别称为 直角边。 直角三角形三边关系定理可以由勾股定理推导得出。勾股定理是三 角形中最为著名的定理之一，它表明了直角三角形的两个直角边的平 方和等于斜边的平方。根据勾股定理，我们可以写出直角三角形三边 关系定理的数学表达式： a^2 + b^2 = c^2 在上述表达式中，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度，c代表斜边的长度。 通过直角三角形三边关系定理，我们可以快速计算直角三角形的边长。例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边分别为3和4， 我们可以使用定理计算斜边的长度： 3^2 + 4^2 = c^2 9 + 16 = c^2
25 = c^2 c = √25 c = 5 因此，斜边的长度为5。 除了计算未知边长外，直角三角形三边关系定理还可用于验证是否存在直角三角形。当我们已知一个三角形的三条边的长度时，我们可以将这些长度代入定理中进行计算。如果等式成立，那么这个三角形就是直角三角形；如果不成立，那么这个三角形就不是直角三角形。 下面，我们来看一个应用直角三角形三边关系定理的例子。 例子：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长为6，求另一个直角边的长度。 解：我们可以使用直角三角形三边关系定理进行计算： 6^2 + b^2 = 10^2 36 + b^2 = 100 b^2 = 100 - 36 b^2 = 64 b = √64 b = 8 因此，另一个直角边的长度为8。
直角三角形的三边关系与定理
直角三角形的三边关系与定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，即直角。在直角三角形中，三边之间存在一些特殊的关系与定理。本文将探讨 直角三角形的三边关系与定理，并阐述其证明方法。 1. 斜边与直角边的关系 在直角三角形ABC中，设直角边分别为AB和BC，斜边为AC。 根据勾股定理，有AC^2 = AB^2 + BC^2。这表明直角三角形斜边的长 度等于直角边长度的平方和。 2. 正弦定理 正弦定理是直角三角形中的重要定理，它描述了三角形中各边与其 对应角度之间的关系。设在直角三角形ABC中，∠B为直角，边长分 别为AB、BC和AC，且∠C为斜边AC所对的角度。则正弦定理可以 表示为：AB/AC = sin(∠C)，或者BC/AC = sin(∠A)。 3. 余弦定理 余弦定理也是直角三角形中的一个重要定理，描述了三角形中各边 与其对应角度之间的关系。设在直角三角形ABC中，∠B为直角，边 长分别为AB、BC和AC，且∠C为斜边AC所对的角度。则余弦定理 可以表示为：AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos(∠C)。 4. 正切定理
正切定理描述了三角形中角的正切值与边长之间的关系。在直角三 角形ABC中，设∠B为直角，边长分别为AB、BC和AC，且∠C为 斜边AC所对的角度。则正切定理可以表示为：tan(∠C) = AB/BC。 通过这些定理，我们可以在已知直角三角形中的某些边长或角度的 情况下，推导出其他边长或角度的值。这样，在解决实际问题或进行 数学推导时，这些定理将起到重要的作用。 定理的证明方法可以使用几何证明或代数证明。几何证明通常使用 三角形的图形和性质来推导，而代数证明则使用代数方程和恒等式来 进行推导。具体的证明方法可以根据具体问题的要求来决定。 总结起来，直角三角形的三边关系与定理包括斜边与直角边的关系、正弦定理、余弦定理和正切定理。这些定理在解决直角三角形相关问 题时非常有用。通过几何证明或代数证明，我们可以推导出直角三角 形中各边长和角度的数值关系。这些定理不仅在数学中有广泛应用， 也在实际生活和工程等领域中发挥重要作用。
直角三角形边角关系
直角三角形边角关系 直角三角形边角关系是指在一个直角三角形中，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系。这些联系可以 用数学表达式来表示，使得我们能够使用数学方法去求解 一个直角三角形的边长和角度。 任意一个直角三角形都有三条边：a、b、c，三个内角：α、β、γ，其中α=90°代表直角，另外两个角为锐角。 由于直角三角形的特殊性，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系，以下是三角形边角关系的具体表达式： 1. 三角形的周长：a+b+c = L 2. 三角形的面积：S = ab*sin(γ)/2 3. 三角形内角和：α + β + γ = 180° 4. 根据勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 5. 根据余弦定理：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc 6. 根据正弦定理：sinα = (2S)/(bc) 根据上述六个公式可以求解出任意一个直角三角形的三边长和三个角度的大小。在求解时，可以先从周长求 起，然后依次利用勾股定理、正弦定理和余弦定理，去求 解三角形的三条边和三个角度的大小。
例如，已知直角三角形的三边a=4，b=5，c=6，求α、β、γ三个角度的大小，我们可以按照以下步骤求解： 1. 先求出三角形的面积S：S = ab*sin(γ)/2 = 4×5×sin(γ)/2 2. 根据正弦定理求出γ的大小：sinγ = 2S/bc = 2×20/(4×5) = 0.8 3. 根据余弦定理求出α的大小：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (5^2+6^2- 4^2)/2×5×6 = 0.6 4. 由三角形内角和的公式求出β的大小：α + β + γ = 180°，因此β = 180°-90°-γ = 180°-90°-0.8 = 89.2° 上述步骤即可求出直角三角形α、β、γ三个角度的大小，分别为α=53.13°，β=89.2°，γ=37.67°。 从上文中可以看出，直角三角形的边角关系是一种重要的数学表达式，它使得我们能够通过数学方法去求解任意一个直角三角形的边长和角度的大小，从而加深对三角形边角关系的理解。
直角三角形的三边关系解析
直角三角形的三边关系解析直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，三条边之间存在一些特殊的关系。本文将对直角三角形的三边关系进行解析。 首先，引入直角三角形的定义和符号表示。设直角三角形的斜边为c，两个直角边分别为a和b。根据勾股定理，可得到直角三角形的两条直角边的关系如下： a^2 + b^2 = c^2 这个关系被称为勾股定理，它是直角三角形中最重要的性质之一。它告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 另外，直角三角形的另外两个重要的三边关系是正弦定理和余弦定理。它们分别描述了三角形的角度与边的关系。 正弦定理给出了三角形中的一个角的正弦与对边之间的关系。设直角三角形的一个角为A，对边为a，斜边为c。根据正弦定理，可得到以下关系： sin(A) = a / c 同理，角B和对边b之间的关系为： sin(B) = b / c 这些关系告诉我们，直角三角形中的一个角的正弦值等于对边与斜边的比值。
余弦定理给出了三角形中的一个角的余弦与边之间的关系。设直角三角形的一个角为A，直角边为b，斜边为c。根据余弦定理，可得到以下关系： cos(A) = b / c 同理，角B和直角边a之间的关系为： cos(B) = a / c 这些关系告诉我们，直角三角形中的一个角的余弦值等于直角边与斜边的比值。 除了上述的三角关系，直角三角形还有一些特殊的性质。例如，直角三角形的两个直角边中，长的那个边对应的角一定是钝角；而直角边中，较短的那个边对应的角一定是锐角。此外，直角三角形的两个直角边的长度可以用于计算三角函数的值，从而实现在不同角度下求解直角三角形的边长。 综上所述，直角三角形的三边关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。这些关系描述了直角三角形中三条边之间的数学性质，为解决直角三角形相关问题提供了有效的工具。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系 直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个内角是90度（直角）。在直角三角形中，三个边之间存在着特定的关系，我们可以通过这些关系来计算直角三角形的边长。 关系一：勾股定理 勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要公式。它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是：a² + b² = c²。 例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边a、b的长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² = c² 9 + 16 = c² 25 = c² c = √25 c = 5 因此，这个直角三角形的斜边c的长度为5。 关系二：正弦定理 正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的重要公式之一。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，正弦定理可以简化为： a/∠A = c/∠C。
例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是4，斜边c的长度是5，我们可以利用正弦定理求解另外一个内角的正弦值：4/90° = 5/∠C ∠C = arcsin(5/4) ≈ 53.13° 关系三：余弦定理 余弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的另一个重要公式。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，余弦定理可以简化为：b²= a² + c²。 例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是3，斜边c的长度是5，我们可以利用余弦定理求解直角边b的长度：b² = 3² + 5² b² = 9 + 25 b = √34 因此，这个直角三角形的直角边b的长度为√34。 通过勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以灵活地计算直角三角形的边长和角度。这些关系在实际生活和工程中有着广泛的应用，比如建筑设计、测量和导航等领域。 总结： 直角三角形的三边关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。勾股定理描述了直角三角形的两个直角边和斜边之间的关系；正弦定理和
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一条边与另外两条边直角相交。在直角三角形中，边角关系非常重要，它们描述了三角形的性质和特点。本文将详细介绍直角三角形中的边角关系。 首先，我们来讨论直角三角形中的两个锐角，也就是除了直角以外的两个角。这两个锐角的和等于90度，因为三角形中所有角的和为180度。所以我们可以得到一个重要的关系式：锐角1 + 锐角2 = 90度。 此外，直角三角形中的两条直角边（非斜边）之间也存在一些特殊的关系。这两条直角边分别称为直角边1和直角边2。根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。换句话说，斜边的长度等于直角边1的长度的平方加上直角边2的长度的平方的平方根。这个关系式可以表示为：斜边的长度 = sqrt(直角边1的长度^2 + 直角边2的长度^2)。 除了以上提到的关系外，直角三角形中的边角关系还包括边长比和三角函数。由于直角三角形中的一个角是90度，所以可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来描述角与边的关系。 在直角三角形中，角A、B、C分别对应三条边a、b、c。根据三角函数，我们可以得到以下边角关系： 1. 正弦定理：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) = a / b；
2. 余弦定理：cos(A) = b / c，cos(B) = a / c，cos(C) = b / a； 3. 正切定理：tan(A) = a / b，tan(B) = b / a，tan(C) = a / b。 除了边角关系外，直角三角形中还有一些重要的性质。例如，直角三角形中的任意两条边（包括斜边和直角边）的比值都是有理数，即可以表示为两个整数的比。这是由于直角三角形中的边长之间存在一些整数关系，例如3-4-5三角形、6-8-10三角形等。 综上所述，直角三角形的边角关系包括锐角的和为90度、直角边之间的关系、边长比和三角函数。这些关系不仅可以帮助我们计算直角三角形的边长和角度，还可以应用于日常生活和实际问题中。对于学习三角学和几何的人来说，理解和掌握直角三角形的边角关系非常重要。
直角三角形三边比例关系
直角三角形三边比例关系 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外 两个角度则分别为锐角和钝角。在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。 在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余 弦角度 这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形 中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。 另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等 于对边的平方加上邻边的平方。这个公式可以表示为： 斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方 勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。 除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。因此，如果我们
知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。 此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。例如，正切角度等于对边与邻边的比值。这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条 边的长度。 总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。