直角三角形的三边关系

14.1.1 直角三角形三边的关系

合作学习

（1）分别以每个直角三角形的三边为边，向外画正方形

（2）量一下，每个正方形面积是几？每一个直角三角形对应的三个正方形的面积有什幺关系？

猜一猜：如果直角边分别为6 和8，那幺以斜边为边的正方形面积是？

如果直角边分别是m 和n，那幺以斜边为边的正方形的面积是？

勾股定理（gou-gu theorem)

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那幺

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股弦试一试一般三角形是否也有这条性质读一读勾股世界

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那幺弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代着名的数学着作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。1945 年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15 组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。

相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。

利用拼图来验证勾股定理：

1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；

2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看

3、你拼的正方形中是否含有以斜边c 为边的正方形？

4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？

∵(a+b)2 = c2 + 4•ab/2

a2+2ab+b2 = c2 +2ab

∴a2+b2=c2

大正方形的面积可以表示为；

也可以表示为(a+b)2c2 +4•ab/2

=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2

大正方形的面积可以表示为；

也可以表示为c2 例1：如图，将长为5.41 米的梯子AC 斜靠在墙上，BC 长为2.16 米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离AB.（精确到0.01 米）BAC 课本习题

习题：已知△ABC 中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c

已知: a=1, b=2, 求c;

已知: a =15 , c =17, 求b;

已知: a = ,b= , 求c;

(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求a ,b.

你能用刻度尺和圆规作一条线段,使它的长度为√3cm?

图中每一个小正方形的边长都等于1，请在下图方格子纸中画出一个面积为5 的正方形

1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625=144 想一想2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则

正方形A，B，C，D 的面积之和为___________cm2。49C

例2、如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)

以直角三角形三边为边作等边三角形,这3 个等边三角形的面积之间有什幺关系？

议一议

小明的妈妈买了一部29 英寸（74 厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什幺吗？

∴售货员没搞错∵议一议

荧屏对角线大约为74 厘米4658 小结:直角三角形的三边关系：

直角三角形边角关系

直角三角形边角关系直角三角形边角关系是指在一个直角三角形中，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系。这些联系可以用数学表达式来表示，使得我们能够使用数学方法去求解一个直角三角形的边长和角度。任意一个直角三角形都有三条边：a、b、c，三个内角：α、β、γ，其中α=90°代表直角，另外两个角为锐角。由于直角三角形的特殊性，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系，以下是三角形边角关系的具体表达式： 1. 三角形的周长：a+b+c = L 2. 三角形的面积：S = ab*sin(γ)/2 3. 三角形内角和：α + β + γ = 180° 4. 根据勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 5. 根据余弦定理：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc 6. 根据正弦定理：sinα = (2S)/(bc) 根据上述六个公式可以求解出任意一个直角三角形的三边长和三个角度的大小。在求解时，可以先从周长求起，然后依次利用勾股定理、正弦定理和余弦定理，去求解三角形的三条边和三个角度的大小。

例如，已知直角三角形的三边a=4，b=5，c=6，求α、β、γ三个角度的大小，我们可以按照以下步骤求解： 1. 先求出三角形的面积S：S = ab*sin(γ)/2 = 4×5×sin(γ)/2 2. 根据正弦定理求出γ的大小：sinγ = 2S/bc = 2×20/(4×5) = 0.8 3. 根据余弦定理求出α的大小：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (5^2+6^2- 4^2)/2×5×6 = 0.6 4. 由三角形内角和的公式求出β的大小：α + β + γ = 180°，因此β = 180°-90°-γ = 180°-90°-0.8 = 89.2° 上述步骤即可求出直角三角形α、β、γ三个角度的大小，分别为α=53.13°，β=89.2°，γ=37.67°。从上文中可以看出，直角三角形的边角关系是一种重要的数学表达式，它使得我们能够通过数学方法去求解任意一个直角三角形的边长和角度的大小，从而加深对三角形边角关系的理解。

直角三角形三边关系定理

直角三角形三边关系定理直角三角形三边关系定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边的关系。这个定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的问题。本文将详细讨论直角三角形三边关系定理的原理和应用，并提供相关示例。在开始正文之前，我们需要先了解一下直角三角形的基本概念。直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，有一个特殊的边，称为斜边，它位于直角的对面，而另外两条边则分别称为直角边。直角三角形三边关系定理可以由勾股定理推导得出。勾股定理是三角形中最为著名的定理之一，它表明了直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。根据勾股定理，我们可以写出直角三角形三边关系定理的数学表达式： a^2 + b^2 = c^2 在上述表达式中，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度，c代表斜边的长度。通过直角三角形三边关系定理，我们可以快速计算直角三角形的边长。例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，我们可以使用定理计算斜边的长度： 3^2 + 4^2 = c^2 9 + 16 = c^2

25 = c^2 c = √25 c = 5 因此，斜边的长度为5。除了计算未知边长外，直角三角形三边关系定理还可用于验证是否存在直角三角形。当我们已知一个三角形的三条边的长度时，我们可以将这些长度代入定理中进行计算。如果等式成立，那么这个三角形就是直角三角形；如果不成立，那么这个三角形就不是直角三角形。下面，我们来看一个应用直角三角形三边关系定理的例子。例子：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长为6，求另一个直角边的长度。解：我们可以使用直角三角形三边关系定理进行计算： 6^2 + b^2 = 10^2 36 + b^2 = 100 b^2 = 100 - 36 b^2 = 64 b = √64 b = 8 因此，另一个直角边的长度为8。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。边角定义在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。边角关系直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。下面是直角三角形的边角关系的详细介绍：边与角的关系 1. 底边与斜边的关系：

根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。用公式表示为： AB² + AC² = BC² 2. 斜边与锐角的关系：在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为： sin(A) = AB / BC 角与角的关系 1. 直角和锐角的关系：直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。而锐角是小于90度的角。 2. 锐角之间的关系：直角三角形中的两个锐角之和等于90度。用公式表示为： A + B = 90°

边与角之间的关系 1. 高与锐角的关系：直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为： sin(A) = AC / BC 2. 底边与锐角的关系：直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为： tan(A) = AC / AB 总结直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。

直角三角形的三边关系

直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。勾股定理表达式如下： c^2 = a^2 + b^2 其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。常见的三角函数有正弦、余弦和正切。 1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。 sinA = 对边/斜边

2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。 cosA = 邻边/斜边 3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。 tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。 1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。 2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。在等边直角三角形中，三个角都是45度。 3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。

直角三角形三条边的长度关系

直角三角形三条边的长度关系直角三角形是初中数学学习中的一个重要内容，它的性质和应用广泛存在于各种数学和物理问题中。在本文中，我们将探讨直角三角形三条边的长度关系。一、勾股定理在直角三角形中，最著名的定理就是勾股定理。勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。勾股定理可以用数学公式表示为： $c^2=a^2+b^2$ 其中，$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边的长度，$c$表示斜边的长度。勾股定理的证明可以用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。毕达哥拉斯的证明是通过构造一个正方形，利用几何关系来证明勾股定理的。二、三角函数除了勾股定理之外，三角函数也是直角三角形的重要内容。三角函数是指正弦、余弦和正切三种函数，它们是角的函数，可以用来描述直角三角形中的各种关系。正弦、余弦和正切分别定义为： $sintheta=frac{a}{c}$ $costheta=frac{b}{c}$ $tantheta=frac{a}{b}$

其中，$theta$表示直角三角形的一个角，$a$、$b$、$c$分别表示直角三角形的三条边。三角函数可以用来求解直角三角形的各种问题，例如已知某个角度和一个边长，可以用三角函数求出另外两个边长。此外，三角函数还有许多重要的性质和应用，例如在物理学中的波动问题中，三角函数是不可或缺的。三、三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形的三条边之间还存在着一些特殊的关系。这些关系可以用来求解一些直角三角形的问题。 1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根乘以2。 2. 黄金比例黄金比例是指一条线段被分成两段，其中一段与整条线段的比值等于另一段与这一段的比值。在直角三角形中，斜边与直角边的比值就是黄金比例，它的值为$frac{1+sqrt{5}}{2}$。 3. 三边比在一些特殊的直角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的比例关系。例如，在$3:4:5$的直角三角形中，直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。这个比例关系可以推广到其他的直角三角形中，例如$6:8:10$的直角三角形，$9:12:15$的直角三角形等等。总结

直角三角形三边比例关系

直角三角形三边比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外两个角度则分别为锐角和钝角。在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余弦角度这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。这个公式可以表示为：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。因此，如果我们

知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。例如，正切角度等于对边与邻边的比值。这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。

直角三角形三条边的关系公式

直角三角形三条边的关系公式直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。在直角三角形中，三条边之间有着特殊的关系，这些关系可以用一些公式来表示。在本文中，我们将探讨这些公式及其应用。我们来看直角三角形的三条边。直角三角形有三条边，分别称为斜边、对边和邻边。斜边是直角三角形中最长的一条边，对边是与直角相对的边，邻边是与直角相邻的边。接下来，我们来看直角三角形三条边的关系公式。这些公式包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。勾股定理是直角三角形中最基本的公式之一。它表明，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。勾股定理可以用以下公式表示： c² = a² + b² 其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示对边和邻边的长度。正弦定理是另一个与直角三角形有关的重要公式。它表明，三角形中任意一条边的长度与其对应角度的正弦值成比例。正弦定理可以用以下公式表示： a/sin A = b/sin B = c/sin C 其中，a、b和c分别表示三角形的三条边的长度，A、B和C分别

表示三角形的三个角度。余弦定理是另一个与直角三角形有关的重要公式。它表明，三角形中任意一条边的长度与其对应角度的余弦值成比例。余弦定理可以用以下公式表示： a² = b² + c² - 2bc cos A 其中，a、b和c分别表示三角形的三条边的长度，A表示三角形中对应于边a的角度。这些公式在解决与直角三角形有关的问题时非常有用。例如，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度，使用正弦定理和余弦定理来计算三角形中任意一条边的长度或角度。直角三角形的三条边之间有着特殊的关系，这些关系可以用勾股定理、正弦定理和余弦定理等公式来表示。这些公式在解决与直角三角形有关的问题时非常有用，因此我们应该熟练掌握它们的应用。

直角三角形的三边关系

直角三角形的三边关系直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个内角是90度（直角）。在直角三角形中，三个边之间存在着特定的关系，我们可以通过这些关系来计算直角三角形的边长。关系一：勾股定理勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要公式。它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是：a² + b² = c²。例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边a、b的长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² = c² 9 + 16 = c² 25 = c² c = √25 c = 5 因此，这个直角三角形的斜边c的长度为5。关系二：正弦定理正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的重要公式之一。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，正弦定理可以简化为： a/∠A = c/∠C。

例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是4，斜边c的长度是5，我们可以利用正弦定理求解另外一个内角的正弦值：4/90° = 5/∠C ∠C = arcsin(5/4) ≈ 53.13° 关系三：余弦定理余弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的另一个重要公式。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，余弦定理可以简化为：b²= a² + c²。例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是3，斜边c的长度是5，我们可以利用余弦定理求解直角边b的长度：b² = 3² + 5² b² = 9 + 25 b = √34 因此，这个直角三角形的直角边b的长度为√34。通过勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以灵活地计算直角三角形的边长和角度。这些关系在实际生活和工程中有着广泛的应用，比如建筑设计、测量和导航等领域。总结：直角三角形的三边关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。勾股定理描述了直角三角形的两个直角边和斜边之间的关系；正弦定理和