直角三角形三边关系1
14.1.1 直角三角形三边的关系（1）
教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．会应用勾股定理解决实际问题
教学重点：探索勾股定理的证明过程
教学难点：运用勾股定理解决实际问题
教学过程：
一出示自学指导（阅读教材48页—50页内容，完成下列任务。）1、探索勾股定理
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填
三角尺直角边a直角边b斜边c 关系
1
2
关系．
2、由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正
方形R的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
3、试一试
观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；
正方形Q的面积＝平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2
正方形R的面积＝平方厘米．
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．
4、自学例1.注意：图形结合
二：师生共同总结：
由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则2c
2
2
+
a=
b
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方
△ABC中，∠C=90°, 则2
2
2c
+(a、b 表示两直角边，c表示
b
a=
斜边)
变式：2
2
2,a
2
2
2
=
=
a-
-
c
b
c
b
三：课堂练习：
例1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°
（1）已知a=8,b=10,求c.
（2）已知a=5,c=12,求b
注意：“∠B为直角”这个条件。
四．课时小结：
1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
2、已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。
五．课堂作业：
教材51页1、2题
板书设计：
自学指导勾股定理内容及变式课堂练习
六：课后反思
直角三角形的三边关系
B A B C 直角三角形的三边关系（复习） 一.知识要点 1. 直角三角形边角关系． （1）三边关系：勾股定理：222a b c += （2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系tanA=a b ，sinA=a c ,cosA=b c ， 2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形； （2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； （3）已知两边解直角三角形． 3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等， 常用到下面几个概念： (1)仰、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角 (2)坡度：坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，常用字母i 表示，即i ＝l h (3)坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tan α＝l h (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。 (5)二、课堂练习 1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0） 点B （0，-4），则cos ∠OAB 等于 2、.如图△ABC 中,∠C=900 ,AB=8,tanA=4/3 则AC 的长是 3、在Rt △ABC 中∠C=90°sinA= 4/5 则cosB 的值等于 . 4、在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示， 则sinB 的值为 . 5、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别 是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3， 则tanC 等于 . 6、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设 ∠ADE=α，且5 3cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 7、如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将 线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线 上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于 . 8.比较下列三角函数值的大小：sin400 sin500 9.若是锐角，cosA > ，则∠A 应满足 10.已知∠A 为锐角且sinA=1/4,则（ ） A. 00＜∠A ＜300 B.300＜∠A ＜450 C.450＜∠A ＜600 D.600＜∠A ＜900 11、计算： () 330sin 22321(02-++--?-23
直角三角形三边关系1
14.1.1 直角三角形三边的关系（1） 教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 教学重点：探索勾股定理的证明过程 教学难点：运用勾股定理解决实际问题 教学过程： 一出示自学指导（阅读教材48页—50页内容，完成下列任务。）1、探索勾股定理 试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填 三角尺直角边a直角边b斜边c 关系 1 2 关系． 2、由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系 图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正 方形R的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2， 这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 3、试一试 观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米； 正方形Q的面积＝平方厘米； （每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2 正方形R的面积＝平方厘米． 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系． 4、自学例1.注意：图形结合 二：师生共同总结： 由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则2c 2 2 + a= b 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方 △ABC中，∠C=90°, 则2 2 2c +(a、b 表示两直角边，c表示 b a= 斜边) 变式：2 2 2,a 2 2 2 = = a- - c b c b 三：课堂练习： 例1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90° （1）已知a=8,b=10,求c. （2）已知a=5,c=12,求b 注意：“∠B为直角”这个条件。 四．课时小结： 1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 2、已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。 五．课堂作业： 教材51页1、2题 板书设计： 自学指导勾股定理内容及变式课堂练习 六：课后反思
直角三角形三边比例关系
直角三角形三边比例关系 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外 两个角度则分别为锐角和钝角。在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。 在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余 弦角度 这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形 中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。 另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等 于对边的平方加上邻边的平方。这个公式可以表示为： 斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方 勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。 除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。因此，如果我们
知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。 此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。例如，正切角度等于对边与邻边的比值。这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条 边的长度。 总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系 直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。 边角定义 在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。 直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。 边角关系 直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。下面是直角三角形的边角关系的详细介绍： 边与角的关系 1. 底边与斜边的关系：
根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。用公式表示为： AB² + AC² = BC² 2. 斜边与锐角的关系： 在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为： sin(A) = AB / BC 角与角的关系 1. 直角和锐角的关系： 直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。而锐角是小于90度的角。 2. 锐角之间的关系： 直角三角形中的两个锐角之和等于90度。用公式表示为： A + B = 90°
边与角之间的关系 1. 高与锐角的关系： 直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为： sin(A) = AC / BC 2. 底边与锐角的关系： 直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为： tan(A) = AC / AB 总结 直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系 直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个内角是90度（直角）。在直角三角形中，三个边之间存在着特定的关系，我们可以通过这些关系来计算直角三角形的边长。 关系一：勾股定理 勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要公式。它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是：a² + b² = c²。 例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边a、b的长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² = c² 9 + 16 = c² 25 = c² c = √25 c = 5 因此，这个直角三角形的斜边c的长度为5。 关系二：正弦定理 正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的重要公式之一。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，正弦定理可以简化为： a/∠A = c/∠C。
例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是4，斜边c的长度是5，我们可以利用正弦定理求解另外一个内角的正弦值：4/90° = 5/∠C ∠C = arcsin(5/4) ≈ 53.13° 关系三：余弦定理 余弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的另一个重要公式。对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，余弦定理可以简化为：b²= a² + c²。 例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是3，斜边c的长度是5，我们可以利用余弦定理求解直角边b的长度：b² = 3² + 5² b² = 9 + 25 b = √34 因此，这个直角三角形的直角边b的长度为√34。 通过勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以灵活地计算直角三角形的边长和角度。这些关系在实际生活和工程中有着广泛的应用，比如建筑设计、测量和导航等领域。 总结： 直角三角形的三边关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。勾股定理描述了直角三角形的两个直角边和斜边之间的关系；正弦定理和
直角三角形边角关系
直角三角形边角关系 直角三角形边角关系是指在一个直角三角形中，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系。这些联系可以 用数学表达式来表示，使得我们能够使用数学方法去求解 一个直角三角形的边长和角度。 任意一个直角三角形都有三条边：a、b、c，三个内角：α、β、γ，其中α=90°代表直角，另外两个角为锐角。 由于直角三角形的特殊性，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系，以下是三角形边角关系的具体表达式： 1. 三角形的周长：a+b+c = L 2. 三角形的面积：S = ab*sin(γ)/2 3. 三角形内角和：α + β + γ = 180° 4. 根据勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 5. 根据余弦定理：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc 6. 根据正弦定理：sinα = (2S)/(bc) 根据上述六个公式可以求解出任意一个直角三角形的三边长和三个角度的大小。在求解时，可以先从周长求 起，然后依次利用勾股定理、正弦定理和余弦定理，去求 解三角形的三条边和三个角度的大小。
例如，已知直角三角形的三边a=4，b=5，c=6，求α、β、γ三个角度的大小，我们可以按照以下步骤求解： 1. 先求出三角形的面积S：S = ab*sin(γ)/2 = 4×5×sin(γ)/2 2. 根据正弦定理求出γ的大小：sinγ = 2S/bc = 2×20/(4×5) = 0.8 3. 根据余弦定理求出α的大小：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (5^2+6^2- 4^2)/2×5×6 = 0.6 4. 由三角形内角和的公式求出β的大小：α + β + γ = 180°，因此β = 180°-90°-γ = 180°-90°-0.8 = 89.2° 上述步骤即可求出直角三角形α、β、γ三个角度的大小，分别为α=53.13°，β=89.2°，γ=37.67°。 从上文中可以看出，直角三角形的边角关系是一种重要的数学表达式，它使得我们能够通过数学方法去求解任意一个直角三角形的边长和角度的大小，从而加深对三角形边角关系的理解。
直角三角形三边关系定理
直角三角形三边关系定理 直角三角形三边关系定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了 直角三角形三条边的关系。这个定理被广泛应用于解决与直角三角形 相关的问题。本文将详细讨论直角三角形三边关系定理的原理和应用，并提供相关示例。 在开始正文之前，我们需要先了解一下直角三角形的基本概念。直 角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，有一个 特殊的边，称为斜边，它位于直角的对面，而另外两条边则分别称为 直角边。 直角三角形三边关系定理可以由勾股定理推导得出。勾股定理是三 角形中最为著名的定理之一，它表明了直角三角形的两个直角边的平 方和等于斜边的平方。根据勾股定理，我们可以写出直角三角形三边 关系定理的数学表达式： a^2 + b^2 = c^2 在上述表达式中，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度，c代表斜边的长度。 通过直角三角形三边关系定理，我们可以快速计算直角三角形的边长。例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边分别为3和4， 我们可以使用定理计算斜边的长度： 3^2 + 4^2 = c^2 9 + 16 = c^2
25 = c^2 c = √25 c = 5 因此，斜边的长度为5。 除了计算未知边长外，直角三角形三边关系定理还可用于验证是否存在直角三角形。当我们已知一个三角形的三条边的长度时，我们可以将这些长度代入定理中进行计算。如果等式成立，那么这个三角形就是直角三角形；如果不成立，那么这个三角形就不是直角三角形。 下面，我们来看一个应用直角三角形三边关系定理的例子。 例子：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长为6，求另一个直角边的长度。 解：我们可以使用直角三角形三边关系定理进行计算： 6^2 + b^2 = 10^2 36 + b^2 = 100 b^2 = 100 - 36 b^2 = 64 b = √64 b = 8 因此，另一个直角边的长度为8。