高三专题复习不等式恒成立问题

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.

例2：在R 上定义运算?：x ?y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)?(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )

(A)－1

a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （af max (x) （a

例4．（2012?杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝

51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012?安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011?深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．

例8．（2013?闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

三、数型结合法

例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是

例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <2

1恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .

例12、（2009?上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．

例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意

都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解

（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(；

（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例14、在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(

sin sin 4)(2<-++=m B f B B B B f 且π恒成立，求实数m 的范围。

例15、（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

（2）求使不等式)2,0(4,cos sin π

π∈-

->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

1

例16、（2009?崇明县二模）已知函数，（x＞0），其中a，b∈R．

（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）；

（2）当时，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．

五、利用函数单调性求解

例17、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式恒成立，则实数t的取值范围是．

例18、已知函数f（x）=x3+2x，x∈R，若不等式f（mcosθ）+f（m﹣sinθ）≥0，当

时恒成立，则实数m的取值范围是．

例19、已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

六、实战演练

一．填空题

1．（2012?北京怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a 的取值范围是．

2.．已知：不等式x2﹣log m x＜0．在上恒成立，则实数m的取值范围是．

3．不等式4x+a?2x+1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．

4．（2006?上海）三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3﹣5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是．

5．f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[，1]时，不等式

f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是．

二．解答题

6．（2012?信阳模拟）已知对于任意非零实数m，不等式|2m﹣1|+|1﹣m|≥|m|（|x﹣1|﹣|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

7．（2013?静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．

（1）求B的取值范围；（2）若x=B，关于x的不等式cos2x﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

8．已知函数

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．

9．（2010?闸北区二模）设x∈R，．

（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的大致图象；

（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

10．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，都有＞0成立，（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；

（3）若f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的m∈[0，3]恒成（2）解不等式f（x）＜

，

立，求a的范围．

11．（2008?浦东新区二模）已知等差数列{x n}，S n是{x n}的前n项和，且x3=5，S5+x5=34．（1）求{x n}的通项公式；

（2）设，T n是{a n}的前n项和，方程S n+T n=2008是否有解？说明理由；（3）是否存在正数λ，对任意的正整数n，不等式λx n﹣4S n +8n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

12．（2009?虹口区一模）已知：向量，，

．（1）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）若对任意的，不等式f2（x）﹣mf（x）﹣2m+5＞0恒成立，求实数m 的取值范围．

13．（2013?闵行区二模）已知函数．

（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；

（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；

（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

14．函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x m）=mf（x）．

（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（3）若不等式f（x）+f（3﹣x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

15．（2012?虹口区二模）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．

（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；

（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．

16．（2011?浦东新区模拟）定义：，若已知函数

（a＞0且a≠1）满足f（1）=．

（1）解不等式：f（x）≤2；

（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

17．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=﹣2．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求证：f（x）是R上的减函数；

（3）求f（x）在区间[﹣3，3]上的值域；

（4）若?x∈R，不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

18．（2012?徐汇区一模）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x?[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．

（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；

（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；

（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．