第十七章多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性
1．求下列函数的偏导数
（1）y x z 2= （2）x y z cos = （3）2
21y x z +=
（4）)ln(22y x z +=
（5）xy e z = （6）x
y z arctan = （7）)sin(xy xyz z = （8）z
x y z x y u -+=
（9）z xy u )(= （10）z
y x u = 解（1）xy z x 2=，
2x z y =；
（2）x y z x sin -=，x z y cos =； （3）2/322)(y x x z x +-=
，2
/322)(y x y
z y +-=； （4）222y x x z x +=
，2
22y x y
z y
+=； （5）xy x ye z =，xy y xe z =； （6）2222)
(11y x y
x y x
y z x +-=-?+=
，22y x x z y +=； （7）)]cos(1[)cos()sin()sin(2)sin(xy xy ye xy e xy ye z xy xy xy x +=+=，)sin()]cos(1[xy y xe xy xy z +=； （8）z x
y u x 1
2
--
=，21y z x u y -=，21z x y u z +=； （9）1)(-=z x xy zy u ，1)(-=z y xy zx u ，)ln()(xy xy u z z =； （10）1
-=z
y
z x x y u ，x x zy u z y z y ln 1-=，y x y x u z y z z
ln ln =；
2．设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=；求)1,(x f x 解 x x x x f =?+=arcsin
0)1,(，1)()1,(='=x x f x
3．设??
???
+=01sin ),(22y x y y x f ,0,02
222=+≠+y x y x 考察函数f 在原点)0,0(处的偏导数。 解 因为
000lim )0,0()0,0(lim
00
=?-=?-?+→?→?x x
f x f x x ， 200
)
(1
sin lim )0,0()0,0(lim
y y f y f y y ?=?-?+→?→?不存在， 所以，),(y x f 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。 4．证明函数22y x z +=在点)0,0(连续但偏导数不存在。 因为)0,0(0lim
22)
0,0(),(z y x y x ==+→，所以22y x z +=在点)0,0(连续，
又
x
x
x z x z ??=
?-?+)0,0()0,0(，当0→?x 时，极限不存在，因此)0,0(x z 不存在，同理)0,0(y z 不存在。
5．考察函数??
???+=01sin ),(22
y x xy y x f 002
22
2=+≠+y x y x 在点处的可微性。 解 由00
0lim )0,0()0,0(lim
00
=?-=?-?+→?→?x
x f x f x x 知，0)0,0(=x f ，同理可得0)0,0(=y f 因此 ,
02
2)()(1sin )0,0()0,0(),(2
2222
22222→?+?=?+??+?≤?+??+???=
?-?-?y x y x y x y x y x y
x y
f x f y x f y x ρ
022→?+?=y x ρ故)(0)0,0()0,0(ρ=?-?-?y f x f f y x )0(→ρ即),(y x f 在点)
0,0(处可微。
6．证明函数??
???+=0
),(22
2y x y x y x f 002
22
2=+≠+y x y x 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微。
证 因为222222x y
x xy x y x y
x ≤+=+，所以)0,0(0lim 222)0,0(),(f y x y x y x ==+→，即),(y x f 在)0,0(连续，00
0lim )0,0()0,0(lim
)0,0(00
=?-=?-?+=→?→?x x
f x f f x x x 同理0)0,0(=y f 2
/3222])()[()()0,0()0,0(y x y
x y
f x f f y x ?+???=?-?-?ρ
① 当y x ?=?时，①式的值为
8
1；当0=?y 时，其值为0 所以①式的极限不存在，故)
,(y x f
在点)0,0(不可微。
7．证明函数??
??
?++=01
sin
)(),(2
2
2
2y x y x y x f 0
2
222=+≠+y x y x 在点)0,0(处连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在原点)0,0(可微。 证 由于
)0,0(01sin
)(lim
2
2
22)
0,0(),(f y
x y x y x ==++→，所以),(y x f 在点)0,0(连续。
当022=+y x 时，)0,0(01
sin lim )0,0()0,0(lim
00
x x x f x
x x f x f ==??=?-?+→?→? 当022≠+y x 时，2
2
2
2
2
2
1cos
1sin
2),(y
x y x x y x x y x f x ++-
+=
而
01sin
2lim 2
2
)
0,0(),(=+→y
x x y x ，
2
2
2
2)
0,0(),(1cos
lim
y
x y
x x
y x ++→不存在（可考察0=y 情
况）。因此，
),(lim
)
0,0(),(y x f x y x →不存在，从而),(y x f x 在点)0,0(不连续。同理可证),(y x f y 在
点)0,0(不连续， 然而
01sin
lim
)0,0()0,0(lim
2
2
2
2
22)
0,0(),(2
2
)
0,0(),(=?+??+??+?=
?+??-?-?→??→??y
x y
x y x y
x y
f x f f y x y x y x
所以f 在点)0,0(可微。
8．求下列函数在给定点的全微分： （1）22444y x y x z -+=在点)1,1(),0,0(； （2）2
2
y
x x z +=
在点)1,0(),0,1(
解 （1）因为y x y z xy x z y x 232384,84-=-=在点)1,1(),0,0(连续，所以函数在)1,1(),0,0(可微。由4)0,0(,4)1,1(,0)0,0(,0)0,0(-=-===y x y x z z z z 得)(4,0)1,1()0,0(dy dx dz dz +-==。
（2）因为2
/3222/3222)
(,)(y x xy
z y x y z y x +-=+=在点)1,0(),0,1(连续，所以函数在)1,0(),0,1( 可微，由0)1,0(,0)0,1(,1)1,0(,0)0,1(====y y x x z z z z 得dx dz
dz =
=
)1,0()0,1(,0。
9．求下列函数的全微分：
（1）)sin(y x y z +=； （2）y e xe u z yz ++=- 解 显然函数z 和u 的偏导数连续，于是z 和u 可微，且
（1）dy y x y y x dx y x y dz )]cos()[sin()cos(+++++= （2）dz e xye dy xze dx e du z yz yz yz )()1(--+++=
10．求曲面x
y z arctan =在点)4
,1,1(π
处的切平面方程和法线方程。
解 由于z 在)1,1(处可微，从而切平面存在。因为2
1
)1,1(,21)1,1(=
-=y x z z ，所以切平面方程为)1(21)1(214-+--=-
y x z π
即22π=+-z y x 法线方程142
11211--
=-=--π
z y x 为即z y x -=
-=-4
)1(2)1(2π
。
11．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程 解 由022,026=-=?-y x zz y z x x 得z
y
z z x z y x ==
,3在点)1,1,3(处有1,9==y x z z ，
所以切平面方程为0)1()1()3(9=---+-z y x ，即0279=--+z y x 。法线方程为
1
1
1193--=
-=-z y x ，即)1(9)1(93z y x -=-=-。 12．在曲面xy z =上求一点，是这点的切平面平行于平面093=+++z y x ；并求出这切平
面方程和法线方程。
解 设所求点为),,(0000y x y x P ，在P 处切平面法向量为
)1,()1),,(),,((000000-=-x y y x z y x z y x 。要使切平面与平面093=+++z y x 平行，有
1310
0-==x y ，于是,1,300-=-=y x 得P 点为)3,1,3(--，且点P 处的切平面方 0)3()1(3)3(=--+-+-z y x ，即033=+++z y x 。法线方程为
1
3
3113--=
-+=-+z y x 即)3(31)3(3-=+=+z y x 。 13．计算近似值：
（1）32004.3003.2002.1??； （2）o o 46tan 29sin ? 解 （1）选函数
004.0,003.0,002.0),3,2,1(),,(,),,(000032=?=?=?==z y x z y x P z xy z y x f 。
于是
108
3)3,2,1(,1082)3,2,1(,108)3,2,1()
3,2,1(2
2)
3,2,1(3
)
3,2,1(3
2======z xy f xyz f x y f z y x 故
972
.108004.0108003.0108002.0108108)3,2,1()3,2,1()3,2,1()3,2,1()
004.3,003.2,002.1(=?+?+?+=?+?+?+≈z f y f x f f f z y x
即972.108004.3003.2002.132=??
（2）设180
,180
),4
,6(),(,tan sin ),(00π
π
ππ=
?-
=?==y x y x y x y x f 。则
5025.0180
180232146tan 29sin ,1)4
,6(,23)4,6(,21)4,6(≈+?-≈
===π
πππππππo o y x f f f
14．设圆台上下底的半径分别为cm r cm R 20,30==，高cm h 40=。若h r R ,,分别增加mm mm mm 2,4,3，求此圆台体积变化的近似值。
解 圆台体积)(3
22r Rr R h
V ++=
π，于是h V r V R V V h r R ?+?+?≈?。将
40,20,30===h r R ，及2.0,4.0,3.0=?=?=?h r R 代入上式得
)(25768202.03
19004.0328003.0332003cm V ≈=?+?+?≈?ππππ。
§2 复合函数微分法
1． 求下列复合函数的偏导数或导数：
（1）设x e y xy z ==),arctan(，求dx
dz
；
（2）设xy
y x e xy
y
x z 222
2++=
，求
y
z x z ????,； （3）设t y t x y xy x z ==++=,,222，求
dt
dz ； （4）设v u y v u x y x z 23,,ln 2-===，求v
z
u z ????,；
（5）设),(xy y x f u +=，求y
u
x u ????,；
（6）设),(z y y x f u =，求z
u
y u x u ??????,,；
解 （1）令xy u =由复合函数的求导法则有
x x x e x x e y x xe y x y dx dy y u x u du dz dx dz 2222221)
1(11++=+++=???
? ?????+??= （2）xy
y x xy
y x xy
y x e xy y x xy
y x e y x y x y xy y x e y x y x y x z 222
22
22
22
22
22
2222
22
21)
()
(+++???
?
?
?++-=
-?++
-=
??，
xy
y x e xy y
x xy y x y z 222
22
2
21+???
?
?
?++-=??
（3）
t t t y x t y x dt
dy y z dt dx x z dt dz 234)2(2)2(23++=+++=???+???= （4）
??
????-+-=??+?=?????+?????=??v u u v u v u y x v y x u y y z u x x z u z 233)23ln(2311ln 222， ??????-+--=?????+?????=??v u v u v
v u v y y z v x x z v z 231)23ln(1222 （5）用21,f f 分别表示函数f 对第一个中间变量)(y x +与第二个中间变量)(xy 的偏导数
2121,xf f y
u y f f x u +=??+=?? （6）
22121,1,1f z y z u f z f y
x y u f y x u -=??+-=??=?? 2．设)
(22y x f y z -=
，其中f 为可微函数，验证2
11y z
y z y x z x =???+??? 证 设22y x u -=
)
()(2)()2()()()(1)(1)
()
(22222u f u f y u f y u f u f y u f y u u z u f y z u f u f xy x u u z x z '+=-?'-+=?????+=??'-=????=??
于是2
2221)(1)()(2)()()(211y
z
y z y u yf u f u f y u f u f u f y y z y x z x =?=='++'-=???+??? 3．设)sin (sin sin y x f y z -+=，其中f 为可微函数，证明1sec sec =??+??y y
z
x x z 证 设y x u sin sin -=，则
1))(1()(sec sec .cos ))(1(,cos )(='-+'=??+??'-??'=??u f u f y y
z
x x z y u f y
z
x u f x y
4．设),(y x f 可微，证明：在坐标旋转变换θθθθcos sin ,sin cos v u y v u x +=-=之下，
22)()(y x f f +是一个形式不变量。即若)cos sin ,sin cos (),(θθθθv u v u f v u g +-=则必有
2222)()()()(v u y x g g f f +=+（其中旋转角θ是常量）
。
证
2
22222222222222222)cos (sin )sin (cos cos sin 2cos sin sin cos 2sin cos )()(cos )sin (,sin cos y x y x y x y x y x y x v u y x v y x u f f f f f f f f f f f f g g f f g f f g +=+++=-++++=++-=+=θθθθθθθθθθθθθ
θθθ故2
222v
u y x g g f f +=+ 5．设)(u f 是可微函数，)23()2(),(t x f t x f t x F -++=。试求：)0,0(x F 与)0,0(t F 解
)2(243=-'+?'='=?'+'=f f F f f f F t x 因此0)0,0(),0(4)0,0(='=t x F f F
§3方向导数与梯度
1． 求函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿方向t （其方向角分别为o o o 60,45,60）的方向
梯度。
解 函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处可微，且
11,
0,
1)
2,1,1()
2,1,1()2,1,1(=??=??-=
??z
u y
u x
u ，
于是u 沿方向l 的方向导数为
560cos 45cos 60cos )2,1,1(=??+??+??=
??o o o z
u y u x u t
u 2． 求函数xyz u =在点)2,1,5(A 处沿到点)14,4,9(B 的方向上的方向导数。 解 函数xyz u =在点)2,1,5(A 处可微，且5)2,1,5(,10)2,1,5(,2)2,1,5(===z y x u u u ，而
)12,3,4(:的方向余弦为)1312
,133,134(。故在点A 处沿的方向导数为
13
9813125133101342)2,1,5(=?+?+?
=??t
u 3． 求函数z y x xy z y x u 42432222-+-+++=在点)0,0,0(=A 及点)3
2,3,5(-=B 处的梯度以及它们的模。
解 因为
0)3
2
,3,5(,5)32,3,5(,3)32,3,5(,4)0,0,0(,2)0,0,0(,4)0,0,0(=--=-=--==-=z y x z y x u u u u u u
所以
34
03)5()3
2
,3,5(,6)4(2)4()0,0,0().
0,5,3()3
2
,3,5(),4,2,4()0,0,0(22222=++-=-=-++-=-=---=gradu gradu gradu gradu
4． 设函数??
?
??=r u 1ln ，其中222)()()(c z b y a x r -+-+-=，求u 的梯度；并指出在空间
那些点上成立等式1=gradu 。 解 2222222,,)
()()(1r z
c u r y b u r r a c z b y a x a x r r r u u z y x r x -=-=-=-+-+--?-?
=?= 因此),,(1,,2222c z b y a x r r z c r y b r
x a gradu ----=???
??---=，由r gradu 1=，得1=r ，故
使1=gradu 的点是满足方程1)()()(222=-+-+-c z b y a x 的点，即在空间以),,(c b a 为球心，以1为半径的球面上都有1=gradu
5． 设函数22
2222b
y a x c z u --=，求它在点),,(c b a 的梯度。
解 因为c
c b a u b c b a u a c b a u z y x 2),,(,2),,(,2
),,(=
-=-=， 所以??
?
??-=??? ??--=c b a c b a gradu 1,1,122,2,2
6． 证明
（1）gradu c u grad =+)( （c 为常数）；
（2）gradv gradu v u grad βαβα+=+)( （βα,为常数）； （3）vgradu ugradv uv grad +=)(；
（4）gradu u f u gradf )()('= 证 设),,(),,,(z y x v v z y x u u ==，则 （1）gradu u u u c u grad z y x ==+),,()( （2）
gradv
gradu v v v u u u v u v u v u v u grad z y x z y x z z y y x x βαβαβαβαβαβα+=+=+++=+),,(),,(),,()( （3）
vgradu ugradv u u u v v v v u uv v u uv v u uv v u uv grad z y x z y x z z y y x x +=+=+++=),,(),(),,()(,
（4）gradu u f u u u u f u u f u u f u u f u gradf z y x z y x )(),,)(())(,)(,)(()('='='''= 7．设222z y x r ++=，试求
（1）gradr ； （2）r
grad 1
解 （1）由r z r r y r r x r z y x ===
,,得),,(1
z y x r
gradr = （2）设r u 1
=，则),,(11,,,3333z y x r
r grad gradu r z u r y u r x u z y x -==-=-=-=
§4 泰勒公式与极值问题
1． 求下列函数的高阶偏导数：
（1）22444y x y x z -+=，所有二阶偏导数； （2）)sin (cos y x y e z x +=，所有二阶偏导数；
（3）2
323,),ln(y x z
y x z xy x z ??????=；
（4）r q p r q p z
y x z
y x u
xyze
u ????=++++,； （5）),(22y x xy f z =，所有二阶偏导数； （6）)(222z y x f u ++=，所有二阶偏导数；
（7）xy xx x z z z y
x
xy y x f z ,,),,,(+=
解 （1）
2
2
222323812,16,812,84,84x
y z xy z z y x z y x y z xy x z yy yx xy xx y x -=-==-=-=-=
（2）
)
cos sin (),sin 2sin (cos ),
sin cos cos (),
sin cos (),sin sin (cos sin )sin (cos y y x e z y y x y e z y y y x e z z y y x e z y y x y e y e y x y e z x yy x xx x
yx xy x y x x x x +-=++=-+==-=++=++=
（3）y z x z y x xy z xy xx x 1,1,1ln ln 1)ln(==
++=+=，于是21,022y
z z xy y x -== （4）z y x z y x ze ye xe xyze u ??==++由归纳法知
z r z y q y x p x e r z ze e q y ye e p x xe )()(,)()(,)()()()()(+=+=+=
因此
z
y x z y x r q p r
q p y x z q p q
P x z y p p e r z q y p x e r z e q y e p x z
y x u
e q y e p x ze y
x u e p x ze ye x u ++++++++=+++=????+?+=???+?=??))()(()()()(,)()(,)(
（5）
22421311
221222221231142222122122211
12221122222122221221211
212
21221442244)2(2225)(222)2(22)2(22,2f x yf x f y x f x z f y f y x f xy f y xy f y f xy f y y xy f y y f z f y x f y f x xy f x f y x f xy f xy f x x f xy f y f y z x f xy f z xy f y f z yy xx xy y x ++''+'='+''+''+''=''+''+'+?''+?''=+++'+'=?'+?'+'+''+?''+'='+?'=?'+'=（6）令t z y x =++222则)(t f u =
)
(4),(4),(4),(4)(2),(4)(2),(4)(2),
(2),(2),(2222t f zx u t f yz u t f xy u t f z t f u t f y t f u t f x t f u t f z u t f y u t f x u zx yz xy zz yy xx z y x ''=''=''=''+'=''+'=''+'='='='=
（7）3211
f y
yf f z x +
+= 3
2233322131211332322221312113332312322211312111
)1(1)(1
222)1(1)1(1f y
f f y x xyf f y x y f y x f z f y
f f y f y yf f f y yf f y f y yf f y f y y f f z xy xx -+-+-+++=+++++=+++++++
+=
2． 设θθsin ,cos ),,(r y r x y x f u ===，证明：22222
222211y
u
x u u r r u r r u ??+??=??+??+??θ 解
y u r x u r y x u r y u r x u r u y
u r x u r u y
y x u x u r u y
u
x u r u ??-??-???-??+??=????+??-=????+????+??=????+??=??θ
θθθθθθθθθθθθθθθθsin cos cos sin 2cos sin ,cos sin ,
sin cos sin 2cos ,sin cos 2222
2222222222
222222
于是22222
222211y
u
x u u r r u r r u ??+??=??+??+??θ
3． 设222
2
12
),(n
x x x r r f u +
++
==K ，证明dr du
r n dr
u d x u x u x u n 12222222212-+=??++??+??K
解 因为
3
2
2
2
222
22
,,,2,1,,r x r dr du r x dr u d x u n i r x dr du x r dr du x u i i i i
i i -
?
+?=??=?=??=??Λ
所以dr du
r n dr u d dr du r dr du r n dr
u d x u x u x u n 11222222222212-+=-+=??++??+??K 4． 设??? ??-=
c r t g r v 1，c 为常数，222z y x r ++=证明tt zz yy xx v c v v v 21
=++ 证 ??
?
??-'-??? ??--=??? ??-???? ??-'+??? ??-?-=c r t g cr x c r t g r x cr x c r t g r c r t g r x r v x 2
3211
??
?
??-??? ??-''-??? ??-'---???? ??-'??? ??-+??? ??--=cr x c r t g cr x c r t g cr x r cr x c r t g r x c r t g r r x v xx
2
422352223 ??
?
??-''+??? ??-'-+??? ??--=
c r t g r c x c r t g cr r x c r t g r r x 3
2242
25
2
233 同理 ??
?
??-''+??? ??-'-+??? ??--=c r t g r c y c r t g cr r y c r t g r r y v yy
3
2242252233 ??
?
??-''+??? ??-'-+??? ??--=
c r t g r c z c r t g cr r z c r t g r r z v zz 3
2242
25
2
233 ??
? ??-''=??? ??-'=
c r t g r v c r t g r v tt t 1,1 于是
tt zz yy xx v c
c r t g r c c r t g r c z y x c r t g cr r z y x c r t g r r z y x v v v 223
222242222522221113)(33)(3=??? ??-''?=??
?
??-''+++??? ??-'-+++??? ??--++=++5，证明定理17.8的推论
若函数f 在区域D 上存在偏导数，且0≡≡y x f f ，则f 在区域D 上为常量函数。 证 设P P ',是D 上任意两点，由于D 是区域，可用一条完全在D 内的折线P X X X PX n 'Λ321
连接，在直线段1PX 上每一点),(000y x P 存在邻域),(),(,)(00P U y x M D P U ∈??由中值定理得
)))((),(()))((),(()
(),(000000000000=--+-++--+-+=--y y y y y x x x f x x y y y x x x f y x f y x f y x θθθθ
于是),(),(),(),(000y x f y x f P U y x =∈?，即在)(0P U 内),,(y x f 是常数，这就证明了在直线段1PX 上任一点都存在邻域，使=),(y x f 常数 。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域)(),(),(21n P U P U P U Λ将1px 覆盖，不妨设)1,,2,1()()(1-=?≠?+n i P U P U i i Λ。既然在每个邻域上函数为常数，且在两邻域相交部分函数值相等，故在1PX 上),(y x f 为常数，特别)()(1x f P f =，同理可证)()(,),()(),()(3221P f x f x f x f x f x f n '===Λ。故
)()(P f P f '=，由P 和P '的任意性知，在D 内=),(y x f 常数。
6．通过对y x y x F cos sin ),(=施用中值定理，证明对某)1,0(∈θ，有
6
sin
3sin 66cos 3cos 343πθ
πθππθπθπ-= 证 y x y x F cos sin ),(=在2R 上满足中值定理条件，于是
k k y h x F h k y h x F y x F k y h x F y x ),(),(),(),(00000000θθθθ+++++=-++
令6
,3
,0,000π
π
=
===k h y x ，则6
sin
3
sin
6
6
cos
3
cos
3
6
cos
3
sin
πθ
πθ
π
πθ
πθ
π
π
π
-
=
，
即
6sin
3sin 66cos 3cos 343πθ
πθππθπθπ-= 7． 求下列函数在指定点处的泰勒公式：
（1）)sin(),(22y x y x f +=在点)0,0(（到二阶为止）；
（2）y
x
y x f =
),(在点)1,1(（到二阶为止）； （3）)1ln(),(y x y x f ++=在点)0,0(；
（4）5362),(22+----=y x y xy x y x f 在点)2,1(-
解 （1）函数)sin(),(22y x y x f +=在2R 上存在任意阶连续偏导数，且
0)0,0(),cos(2),(,0)0,0(),cos(2),(,0)0,0(2222=+==+==y y x x f y x y y x f f y x x y x f f ，
2)0,0(),sin(4)cos(22222222=+-+=x x f y x x y x f ，
0)0,0(),sin(422=+-=xy xy f y x xy f ，
2)0,0(),sin(4)cos(22222222=+-+=y y f y x y y x f ，
)cos(8)sin(12),(22223322223y x x y x x y x f x θθθθθθθθ+-+-=， )cos(8)sin(4),(22222322222y x y x y x y y x f y x θθθθθθθθ+-+-=，
)cos(8)sin(4),(22222322222
y x xy y x x y x f xy θθθθθθθθ+-+-=， )cos(8)sin(12),(22223322223y x y y x y y x f y θθθθθθθθ+-+-=
于是),()sin(22222y x R y x y x ++=+，其中
10)],cos()(2)sin()(3[3
2
),(2222322322222222<<+++++-=θθθθθθθy x y x y x y x y x R
（2）函数y x
y x f =),(在点)1,1(的某邻域内存在任意阶连续偏导数，且
221),(,0)1,1(,0),(,1)1,1(,),(,1)1,1(,1),(,1)1,1(22y
y x f f y x f f y x y x f f y y x f f xy x x y y x x -===-=-===
=54
3)1()1(24)1,1(,)1(6
)1,1(,0),(),(),(,6)1,1(,2)1,1(,0)1,1()1,1(,2)1,1(,2),(,1)1,1(432234222322y x y x f y y x f y x f y x f y x f f f f f f y x
y x f f y xy y x y x x y xy y x x y
y xy θθθθθθθ++=+++=++===-======
-=
所以),()1()1)(1()1()1)(1()1()1(13322y x R y y x y y x y x y
x +----+-+------+=，其中
10,)1()]
1(1[)1(1)]1(1[)1)(1(),(4
5
433<<--+-++-+---=θθθθy y x y y x y x R （3）因为
,)1()!1()1(,)!1()1()0,0(,)1()!1()1()1(1n
n p n n n k k k k k k k k k y x n y x f k y f y f y x k x f ++--=???--=????=++--=??--- p n n y
x f n p
n p n ,,)!1()1()0,0(1
--=???--是自然数，于是 1
0,)1)(1()()1()()1()(312)()()1ln(1
1132<<++++-++-+++++-+=++++-θθθn n n
n
n y x n y x n y x y x y x y x y x Λ
（4）2)2,1(,1)2,1(,4)2,1(,0)2,1(,0)2,1(,5)2,1(22-=--=-=-=-=-=-y xy x y x f f f f f f ，所
有三阶偏导数均为零，因此0),(2=y x R ，于是
2222)2()2)(1()1(255362+-+---+=+----y y x x y x y xy x
8．求下列函数的极值点： （1）)0(333>--=a y x axy z ； （2）y x y xy x z +-+-=222； （3）)2(22y y x e z x ++=
解 （1）解方程组?????=-==-=0330
332
2
y ax z x ay z y
x 得稳定点),(),0,0(10a a P P 由于 09,0)0,0(,3)0,0(,0)0,0(22<-=-======a B AC z C a z B z A yy xy zz
027,6),(,3),(,06),(22>=--====<-==a B AC a a a z C a a a z B a a a z A yy xy zz
所以)0,0(不是极值点，),(a a 为极大值点 （2）)0,1(为极小值点
（3）解方程组??
???=+==++=0)22(0
)1422(222y e z y y x e z x
y x x 的稳定点)1,21(-，由于04,21,21,01,21,21,2122>=-=??
?
??-==??? ??-==??? ??-=e B AC e z C z B e z A yy xy zz
所以??
?
??-1,21为极小值。
8． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值： （1）{
}4),(,2222≤+-=y x y x y x z ； （2）{
}1),(,22≤++-=y x y x y xy x z ；
（3）}{π2,0,0),(),sin(sin sin ≤+≥≥+-+=y x y x y x y x y x z 解 （1）先求开区域内的可疑极值点，由??
?=-===0
20
2y z x z y x 得稳定点)0,0(。在求边界422=+y x
上的可疑极值点。由???=+-=42
22
2y x y x z 得422-=x z ，或224y z -=由02==x z x 得0=x 这时 2±=y 由04=-=y z y 得0=y 这时2±=x 所以边界上的稳定点为)
0,2)(0,2(),2,0(),2,0(--又4)0,2()0,2(,4)2,0()2,0(,0)0,0(=-=-=-==z z z z z 所以函数在取)0,2)(0,2(-最大值4，
在)2,0(),2,0(-点取最小值-4 （2）解方程组??
?=+-==-=020
2y x z y x z y
x 得稳定点0)0,0(),0,0(=z 考察边界（边界上的最大（小）
值在可疑极值点和端点之中），由063),1(311
=+-=--==+x z x x z
x y x 得2
1
=
x ，这时012),1(1,1)0,1(,1)1,0(,4
1
21,21,211
=-=-+====??? ??=
=-x z x x z z z z y x y x 得2
1
=
x ，这时0)12(3),1(31,1)1,0(,4
3
21,21,211
=+=++==-=??? ??--=-=-x z x x z
z z y x y x 得21
-=x ，这时
012),1(1,1)0,1(,41
21,21,211
=+=++==-=??? ??---==-x z x x z
z z y x x y 得2
1
-=x ，这时
,4
3
21,21,21=??? ??-=
z y 所以函数在点)1,0)(0,1(),1,0(),0,1(--取最大值1在点)0,0(去最小值0 （3）解方程组???=+-==+-=0)cos(cos 0)cos(cos y x y z y x x z y x )2()
1(得y x cos cos =，因此稳定点在y x =或
π2=+y x 上。在区域内部，将y x =代入（1）得02sin 23sin
22cos cos =??
?
??--=-x x x x 于是区域内部仅??
?
??ππ32,32为稳定点，23332,32=??? ??ππz 在边界
πππ2;20,0;2,0=+≤≤=≤≤=y x x y y x x 上，
函数值均为零，所以函数在点??
?
??ππ32,32取得最大值
2
3
3，在边界上取得最小值零 9． 在已知周长为p 2的一切三角形中，求出面积为最大的三角形。
解 设三角形的三边分别为z y x ,,则面积p z y x z p y p x p p S 2,))()((=++---=所述问
题就是求函数))()(()(z p y p x p p x f ---=
在
{}p y x p p y p x y x D 2,0,0),(≤+≤<<<<=上的最大值，因D 是开区域，把D 的边界添
加进去得到有界闭区域{}p y x p p y p x y x D 2,0,0),(≤+≤≤≤≤≤=于是f 在D 上一定取到最大值，又f 在D 的边界上的值为0，而f 在D 内部的值皆大于0，从而f 在D 内一定
取到最大值。因f 与p
f 2
在D 内由相同的可疑极值点，所以考虑函数
))()((),(p y x y p x p y x g -+--=解方程组??
?=---==---=0)22)((0
)22)((x y p x p g y x p y p g y
x 得p y p x 32,32==
于是),(,32y x f p z =在??
?
??p p 32,32处取得最大值 故面积最大的三角形为边长为p 3
2
的等边三角形，面积293p S = 10．
在xy 平面上求一点，使它到三直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最
小。
解 设所求点为),(y x ，则它到0=x 的距离为y ，到0=y 的距离为x ，到0
162=-+y x 的距离为
5
16
2-+y x ，于是到三直线的距离平方和为 05
)162(),(2
2
2
=-+++=y x y x y x f
由??
???
=-++==-++=0
5)162(4205)162(22y x y f y x x f y x 得516,58==y x
08,5
18
516,58,45516,58,0512516,582>=-=??? ??==??? ??=>=??? ??=B AC f C f B f A yy xy xx 因
此??
?
??516,58是f 的极小值点
又
+∞=+∞
→+),(lim 2
2y x f y x ，这就是说，存在一个圆}{
222),(),0(R y x y x R U ≤+=，使得
),0(),(00R U y x ∈，当),0(),(00R U y x ?时，有),(),(00y x f y x f >，因f 在有界闭域
),0(R U 内取到最小值，
由??? ??516,58是唯一的极致点知，点??
? ??516,58是f 在全平面2
R 上的最小值
12已知平面上n 个点的坐标分别是),(,),,(),,(222111n n n y x A y x A y x A Λ，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小
解 设所求的点为),(y x f ，它与各点距离的平方和为
∑=-+-=n i i i y y x x y x f 122])()[(),(由???
????
=-=-==-=-=∑∑∑∑====n i n
i i i y n i n
i i i x y ny y y f x nx x x f 1111
22)(2022)(2得∑∑====n i n
i i i y n y x n x 11
1,1因
04,2,0,0222>=-====>==n B AC n f C f B n f A yy xy xx 由11题知????
?
?
??∑∑==n i i
n
i i y n x n 11
1
,1为所求点。
十七章总练习题 1．
()()
2
222,,,z y x f f f x z x y y x z y x f z y x ++=++++=证明
证 由
().
,2,2,22
222z y x f f f y zx f x yz f z xy f z y x z y x ++=+++=+=+=得
2求函数()??
???=+≠++-=,0,0,0,,222
222
33y x y x y x y x y x f
在原点的偏导数()0,0x f 与()0,0y
f
，并考察()y x f ,在()0,0的可微性
解
()()()()()()()()[]
.
)
()
()
()
()(0,00,0,1)()(lim 0,00,0lim 0,0,1)
()(lim 0,00,0lim 0,02
3
22
2
2
330033
00y x y x y x y x y
f x f f y y y f y f f x x x f x f f y x y y y x x x ?+??-???=
?+??-?-?-=??-=?-?+==??=?-?+=→?→?→?→?
由于[]
.02
2
)(22)(2lim
)
()
()
(lim
3
30
2
322
)
0,0(),(≠-
=??-=?+??-???→?→??x x y x y x y x x y x
所以
()()0)
()(0,00,0lim
2
2
)
0,0(),(≠?+??-?-?→??y x y
f x f f y x y x ，即()y x f ,在点()0,0不可微
3．设 n n
n n n n x x x x x x x x x u Λ
M M M Λ
ΛΛ2122
22121111= 证明：（1）01=??∑=n
k k u
；（2）u n n x u x n
k k
k
2)1(1-=??∑= 证 （1）∑-=++A =A =
1
,1,1,,2,1,n j k j k j j k n k x
u Λ是j k x 的代数余子式。
,
011121
1
121
1
21
1
1
,11111,11
111,11111
,11
==A A =A =??A =??----=+--==+-=-=+-=-=+-∑∑∑∑∑∑∑n
n
n n j n
j j n n j k j j k
n j n
j k j j k n k n j k j j k n
k k n j k
j j k k x x x x x x x x x jx
x j jx x u jx x u Λ
M M M ΛΛ
Λ 对一切的j=1，2，……，n-1都成立，所以
01=??∑=n
k k
x u
（2）有题第6123P ，关于
n
次齐次函数的欧拉定理，有
()()nF F x x x x F t tx tx tx F n
k x k n n
n k =?=∑=1
2121,,,,,,ΛΛ
而u 是2
)
1()1(21-=
-+++n n n Λ次齐次函数，所以 u n n f x n
k x k k 2
)
1(1
-=
∑= 4． 设函数()y x f ,具有连续的n 阶导数，试证函数()()kt b ht a f t g ++=,的n 阶导数
()kt b ht a f y k x h dt t g d n
n n ++???
?
????+??=,)(
证 当n=1时,
()()kt b ht a f y k x h y f k x f h ydt fdy xdt fdx dt t dg ++???
?
????+??=??+??=??+??=, 它仍然是以kt b y ht a x +=+=,为中间变量，t 是自变量的复合函数，于是
当n=2时，()()()()kt b ht a f y k x h kt b ht a f y k x h y k x h y f k x f h y k y f k x f h x h dt t dg dt d dt t g d ++???
? ????+??=++???
?
????+?????? ????+??=???
?
????+????+???? ????+????=??? ??=,,2
22 设()()kt b ht a f y k x
h dt t g d n n ++????
????+??=--,11成立， 则
()()()
()kt b ht a f y k x h kt b ht a f y k x h y k x h dt t g d dt d dt t g d n
n n n n n ++???
? ????+??=++???? ????+?????? ????+??=???? ??=---,,1
11
所以对一切n 有
()()kt b ht a f y k x h dt t g d n
n n ++???
?
????+??=, 5． 设()x
k z
h y
g y f x e z
d z
c y b x
a z y x +++++++++=,,?，求22x
???
解 ()
k e a x x a x e x a x k x e x k x
x
e z
d y b x a x
k y g z
c x
a x
k z
h y f x e z h y
g x e z d y b x a x k y g g f z d z c x a x k z
h y f x e z c y b x
+++=+++++++++++=??+++++
+++++++++=
++++++++++++++++++++=??26,
1
000100012
2?
?
6．设())
()
()
()()()
()
()()(,,321321321z h z h z h y g y g y g x f x f x f z y x =Φ，求z
y x ???Φ
?3
解
)
()()
()()(())(')(')('321321321x h x h x h x g x g g x f x f x f x
=?Φ
?
)
()
()
()(')(')(')(')(')
('3213213212
z h z h z h y g y g y g x f x f x f y
x =??Φ
?
)
(')(')(')(')(')(')
(')
(')('3213213213
z h z h z h y g y g y g x f x f x f z
y x =???Φ
?
6． 设函数()y x f u ,=在2R 上有0=xy u ，试求u 关于x,y 的函数式
解 首先证明：若()y x f ,在2
R 上连续，()0,=y x f x ，则()()y y x f ?=,
在2
R 上任意两点()()y x y x 21,，由中值定理
()()()()()0,,,1212212=--+=-x x y x x x f y x f y x f x θ，所以
()(),,,22y x f y x f =有x 的任意性知()y x f ,与x 无关，即 ()()y y x f ?=,
其次求u 关于x,y 的函数式
因0=xy u ，由上述结论有()x u x ?=，从而
()
0=-??
?dx x u x
?，于是()()y dx x u ??=-?， 故()()()()y x y dx x u ???+Φ=+=
?
7． 设f 在点()000,y x P 可微，且在0P 给定了n 个向量,,,2,1,n i l i Λ=相邻两个向量之间
的夹角为n π
2，证明：()01
01=∑=n
i t P f
证 由于 ()()()n
P f n P f P f y x t π
π2sin 2cos
0001+= ()()()n
P f n P f P f y x t π
π22sin 22cos 00012?+?=
ΛΛΛΛ
第七章 多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
第十七章多元函数微分学习题课
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第7章 多元函数微分学
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
多元函数微分学习题
6 ．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点， 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答：C (D) 与 斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章多元函数微分学习题 练习5.1 1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422 2 椭圆抛物面z y x =+ (2) 圆锥面）(4222z y x =+ (3) 椭球面）(19 164222=++z y x (4) 圆柱面）(12 2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= 解：?? ?≥-≥0 y x y 即?? ? ??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),( (2) z =解：0≥-y x {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为 3. ()y x f ,对于函数= y x y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x → 分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所 得极限值不同即可。 证明： ①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时， (,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→=== ②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k f x y f x y k x kx k k →→---= ==≠≠+++
综合①②可知函数极限不存在，证毕。 练习5.2 1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y z x z xy y x z ????-=求 解： 23323,3xy x y z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y z x z xy z ????=求 解：[]1 211ln() 2z xy y x xy -?=??=? []1 211ln() 2z xy x y xy - ?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y ??=+???求 解： 1ln()z x y x x x y ?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++= +-+++=+++??=????=?? 222 1()(ln())()()z z x x y x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z y x u e u xyz ????=求 解；2 2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y ??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z ????==+=+++???????
数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
第七章多元函数微分高等数学
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。
多元函数微分学复习题及标准答案
多元函数微分学复习题及答案
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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2
多元函数微分学习题
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?，都有
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.
3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.
三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证