北师大版九年级数学上学期期末培优训练第四章：图形的相似(含答案)

九年级数学上学期期末培优训练：图形的相似

1．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；

（2）求证：△AEF∽△BFC．

2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．矩形DEFG的顶点D、G分别在边AC、BC上，EF在边AB上．

（1）点C到AB的距离为．

（2）如图①，若DE＝DG，求矩形DEFG的周长．

（3）如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为．

3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H．

（1）求证：BD2＝DH•DA；

（2）过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE•HF．

4．在平行四边形ABCD中，AD＝BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD 于G．

（1）如图1，若DF＝DG＝2，AB＝8，求EF的长；

（2）如图2，∠ADB＝90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP＝AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ＝PQ．

5．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．

（1）求▱DEFG对角线DF的长；

（2）求▱DEFG周长的最小值；

（3）当▱DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．

6．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）求证：．

7．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．

（1）求证：EF⊥BD．

（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．

（3）求OF的长度．

8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM 边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．

（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；

（2）当AE＝1时，求PQ的长．

9．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF 交AD于点G．

（1）求证：AD2＝AB•AE；

（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．

10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．

（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）

（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？

11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．

（1）求证：△BFD∽△CAD；

（2）求证：BF•DE＝AB•AD．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF

∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为．

探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，

求的值．

应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝．

14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．

15．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过

点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点

P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

参考答案

1．（1）∵∠BAD＝∠CAE

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD

即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADE中

＝，∠BAC＝∠DAE，

∴△ABC∽△ADE；

（2）∵△ABC∽△ADE，

∴∠C＝∠E、

在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，

∴△AEF∽△BFC．

2．解：（1）过C作CM⊥AB于M，交DG于点N，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，由勾股定理得：BC＝＝4，

＝，

∵由三角形的面积公式得：S

△ACB

∴3×4＝5CM，

解得：CM＝，

故答案为：；

（2）如图，∵四边形DEFG是矩形，

∴DG∥AB．

∴MN＝DE，CN⊥DG，

∴△CDG∽△CAB，

∴＝，

设DE＝DG＝x，则＝，

解得：x＝，

∴矩形DEFG的周长为4×＝；

（3）∵矩形DEFG的周长是DE长的8倍，

∴设DE＝MN＝x，则DG＝EF＝×（（8x﹣x﹣x）＝3x，

∵由（2）知：＝，

∴＝，

解得：x＝，即DE＝，

∵矩形DEFG的周长是DE长的8倍，

∴矩形DEFG的周长是8×＝，

故答案为：．

3．解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD

∴∠ADB＝90°

∵BE⊥AC于点E

∴∠HEA＝90°

又∵∠AHE＝∠BHD

∴∠CAD＝∠DBH

∴∠BAD＝∠DBH

∴△BAD∽△DBH

∴＝

∴BD2＝DH•DA；

（2）证明：连接HC，如图，

∵AD⊥BC，AD是边BC上的中线

∴AD垂直平分BC

∴HB＝HC

∴∠HBC＝∠HCB

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB

∵∠BEC＝90°

∴∠HBC+∠ACB＝90°

∴∠HCB+∠ABC＝90°

∵CF∥AB

∴∠ABC+∠∠HCB+∠HCF＝180°

∴∠HCF＝90°

∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE ∴△FHC∽△CHE

∴＝

∴＝

∴HB2＝HE•HF．

4．解：（1）如图1中，

∵DA ＝DB ，AE ＝EB ， ∴DE ⊥AB ，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ， ∴DE ⊥CD ， ∵DF ∥EB ，

∴

＝

，

∴＝

，

∴BG ＝4，

在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，EB ＝4，DB ＝6，

∴DE ＝

＝2

，

在Rt △DEF 中，则有EF ＝＝2

．

（2）如图2中，设AB 交PD 于点O ．

∵EF ⊥PE ，

∴∠PEF ＝∠DEB ＝90°， ∴∠DEQ ＝∠BEP ， ∵DP ⊥PB ，

∴∠DEO＝∠OPB＝90°，

∵∠DOE＝∠BOP，

∴∠EDQ＝∠EBP，

∵△ADB是等腰直角三角形，AE＝EB，∴DE＝AE＝EB，

∴△DEQ≌△BEP（ASA），

∴EQ＝EP，DQ＝PB，

∵∠PEQ＝90°，

∴PQ＝PE，

∵△ADE∽△ABD，可得AD2＝AE•AB，∵AD＝AP，

∴AP2＝AE•AB，

∴＝，

∵∠EAP＝∠BAP，

∴△EAP∽△P AB，

∴＝＝＝，

∴PB＝PE，

∴DQ＝PE，

∴DQ＝PQ．

5．解：（1）如图1所示：

连接DF，

∵四边形ABCD是矩形，

∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，

∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，

∵AB＝3；∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

∴DF＝＝＝；

故▱DEFG对角线DF的长．

（2）如图2所示：

作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，

连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，

①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，

②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，

∵MB＝BF，∴MB＝1，

∴MC＝3，

又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴MD＝＝＝3，

∴NF+DN＝MD＝3，

∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；

（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，

∵▱DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，

∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，

∴∠AED＝∠BFE，

又∵∠A＝∠EBF＝90°，

∴△DAE∽△EBF（AA）

∴，

∴，

解得：x＝1，或x＝2

①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，如图3（甲）所示：

∵▱DEFG为矩形，

∴∠A＝∠ABF＝90°，

又∵BF＝1，AD＝2，

∴在△ADE和△BEF中有，

，

∴△ADE≌△BEF中（SAS），

∴DE＝EF，

∴矩形DEFG是正方形；

在Rt△EBF中，由勾股定理得：

EF＝＝＝，

∴BH＝＝，

又∵△BEF～△FHB，

∴，

HF＝，

在△BPH和△GPF中有：

，

∴△BPH∽△GPF（AA），

∴

∴PF＝，

又∵EP+PF＝EF，

∴EP＝﹣＝，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴．

②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，如图3（乙）所示：

∵▱DEFG为矩形，

∴∠A＝∠EBF＝90°，

∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，

∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：

∴ED＝＝＝2，

EF＝＝＝，

∴∠ADE＝45°，

又∵四边形DEFG是矩形，

∴DG＝，∠HDG＝45°，

∴△DHG是等腰直角三角形，

∴DH＝HG＝1，

在△HGQ和△BCQ中有，

∴△HGQ∽△BCQ（AA），

∴，

∵HC＝HQ+CQ＝2，

∴HQ＝，

又∵DQ＝DH+HQ，

∴DQ＝1+＝，

∵AB∥DC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝，

综合所述，BP：QG的值为或．6．解：（1）证明∵AD∥BC，

∴，

∵DO＝BO，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵CE⊥AC，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠ADC＝90°，

∵AD∥BC，

∴，

∴

∴，

∵∠ADC＝∠ACF＝90°，

∴，

∴．

7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵EF∥AC，

∴EF⊥BD；

（2）证明：

∵EF∥AC，

∴＝，＝，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥CP，OA＝OC，

∴＝，

即＝，

∴AO∥DP，

∵AD∥CP，

∴四边形ACPD为平行四边形；

（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，∵四边形ACPD为平行四边形，

∴CP＝AD＝BC，

∴＝，

∵AD∥BP，

∴＝＝，

∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，

∵DO＝BD＝，

∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，

∴∠DFE＝45°，

∴EF＝DE＝，

在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．8．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，

∴∠ADC＝∠MDN＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDE（ASA），

∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDE（ASA），

∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，

∴∠DEF＝45°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，

∴△AQD∽△EQP，

∴＝，

∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，

∴△AQE∽△DQP，

∴∠QDP＝∠QAE＝45°，

∴∠DPE＝90°，

∴DP⊥EF，∵DE＝DF，

∴PE＝PF，

∴DP垂直平分线段EF．

（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．

在Rt△ADE中，DE＝＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HQ＝QG＝A H＝AG，设QH＝x，

∵×4×x+×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝．

②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．