相似三角形培优

相似三角形综合培优题型

基础知识点梳理：

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段

的比是

n

m

b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d

c b a ,,,中，如果b a 和的比等于

d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是

d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d

c b =．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫比例外项，

b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、

d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、

d 的比例中项， 此时有2

b ad =。

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：

①bc ad d c b a =⇔=::；②2

::a b b c b a c =⇔=⋅．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除

了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()

()a b

c d a c d c

b d

b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪

⎪=⎪⎩，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)：

a c

b d b d

a c

=⇔=．

知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(

的延长线)所得的对应线段成比例.

B

由DE ∥BC 可得：

AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,

已知AD ∥BE ∥CF,

可得

AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC

BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF

=====

或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．

②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．

③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 知识点7 三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

B (3)D B (2)

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。 知识点8 相似三角形常见的图形

1、相似三角形的基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影

定理型”）”

(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△

ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。 2、几种基本图形的具体应用：

（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC

（2

）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）

则Rt △ABC ∽Rt △ACD

∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2

=BD ·AB ；

B

E

A C

D

1

2A

B

C

D E

12A

A

B B

C

C D

D

E

E

124

1

2

B

B

C (

D )

B

C

（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当

AD AE

AC

=或AD·AB=AC·AE时，△ADE

∽△ACB．

知识点10 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

(3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理

(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系

2、证明题常用方法归纳：

（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

①)

(

,为中间比

n

m

n

m

d

c

n

m

b

a

=

=②'

'

,

,n

n

n

m

d

c

n

m

b

a

=

=

=

③)

,

(

,

'

'

'

'

'

'

n

m

n

m

n

n

m

m

n

m

d

c

n

m

b

a

=

=

=

=

=或

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

知识点12 相似多边形的性质知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法

典型例题剖析：

题型一、相似三角形中的动点问题

例题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

变式训练.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

题型二、构造相似辅助线——双垂直模型

例题.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

变式训练.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C

点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

题型三、构造相似辅助线——A、X字型

例题.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

变式训练.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF 交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

题型四、相似类定值问题

例题.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D

为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．

求证：．

变式训练.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB 分别交AD、BC于E、F。

求证：．

题型五、相似之共线线段的比例问题

例题.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一

直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点

．求证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，

是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

变式训练。如图，已知直线l的函数表达式为

4

8

3

y x

=-+，且l与x轴，y轴分别交于A B

，两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P 从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q P

，移动的时间为t秒．

（1）求出点A B

，的坐标；

（2）当t为何值时，APQ

△与AOB

△相似？

（3）求出（2）中当APQ

△与AOB

△相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．

题型六、相似之等积式类型综合

例题.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：

变式训练.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，

点M在CD上，DH⊥BM且与AC

的延长线交于点E.

求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

题型七、相似基本模型应用

例题.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，

求证：△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延

长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的

一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明

你的结论．

变式训练.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：PQ：QR．

强化训练：如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A 旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验

证BD2＋CE2=DE2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

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