2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（）
A．3B．4C．6D．8
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH 的长为（）
A．0.6B．1.2C．2.4D．3.6
3．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（）
A．B．C．D．
5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）
6．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB 长为（）
A．6B．8C．D．
7．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点E、F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF＝135°，若CE＝3，BF＝4，则BC的长为（）
A．1B．2C．2D．3
9．如图，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB 于F．若，则AB的长为（）
A．B．C．D．
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，∠EDB ＝90°，则BE的最小值是（）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，若BD＝4，则AE＝．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为．
13．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE 沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为；AF的长为．
17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为．
18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．
19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为．
20．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B 点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝．
21．如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m 到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
22．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG ∥AB，交AD于点G．
（1）求FG：AE的值．
（2）若AB：AC＝：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG•DA．
23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
24．如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q．（1）求证：△GAD∽△EAB；
（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；
（3）请连接DE，BG，若AB＝6，AE＝3，求DE2+BG2的值．
25．（1）阅读下列材料，填空：
如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．
证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则＝∠F，∠A＝∠CBF．
∵C为AB中点，
∴AC＝BC．
∴△ADC≌△BFC（AAS）．
∴AD＝BF．
∵AD＝BE，
∴BE＝．
∴∠BEC＝∠F＝∠D．
（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD 上一点，且CF＝BE．
①求证：△AEB∽△CF A．
②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．
26．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，连接BE．
（1）如图1，当AC＝BC时，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：BE⊥AF；
（2）过点C作CP⊥BE，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．
①如图2，若AC＝BC，求证：＝；
②如图3，若AC＝3a，AE＝2EC，BC＝kAC，求AP的长（用含a、k的式子表示）．
参考答案1．解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝3AD＝6，
故选：C．
2．解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，
∴＝，
∴GH＝2.4，
故选：C．
3．解：∵CD⊥AE，AB⊥AE，
∴DC∥AB，
∵AC＝8m，EC＝2m，
∴AE＝AC+EC＝2+8＝10（m），
∴△DCE∽△BAE，
∴，
即，
解得：AB＝8，
故选：B．
4．解：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝AC＝4，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴CD＝AB＝2，
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC＝2，
∴△DEF∽△CAF，
∴＝＝，
∴DF＝CD＝，
故选：C．
5．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选：A．
6．解：∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵BE＝4，
∴DE＝4，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
故选：C．
7．解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM＝ME＝BC．
∴△NDM∽△NBC，＝＝．
∴＝．
故选：B．
8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∵∠EAF＝135°，
∴∠EAB+∠CAF＝45°，
∵∠A+∠CAF＝45°，
∴∠EAB＝∠F，
∴△ABE∽△FCA，
∴＝，即AC2＝BE•CF，
设AB＝BC＝x，则BC＝x，
∵EC＝3，BF＝4，
∴BE＝3﹣x，CF＝4﹣x，
∴x2＝（3﹣x）（4﹣x），
解得x＝和6（舍弃），
∴BC＝x＝2，
故选：B．
9．解：如图，延长BC交FE的延长线于H．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵CD2＝DA•DB，
∴，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°．
∴AB⊥CD，
∵EF⊥AB，
∴CD∥FH，
∴，，
∴，
∵DM＝CM，
∴HE＝EF＝4，
在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，∵△AEF∽△HEC，
∴，
∴，
∴AE＝5，
∴AC＝AE+EC＝8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB＝．
故选：C．
10．解：作△BDE的外接圆圆F，当圆F与AC相切时，由切线的性质知FD为垂线段，此时FD最小，则BE最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
连接FD，
∴FD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴FD∥BC，
∴△AFD∽△ABC，
∴，
设BF＝a，则AF＝5﹣a，
∴，
解得：a＝，
∴．
故选：C．
11．解：作AF⊥BC于点F，
∵AB＝10，tan B＝，
∴AF＝6，BF＝8，
∵AB＝AC＝10，BD＝4，
∴BC＝16，∠B＝∠C，
∴CD＝12，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
即，
解得CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，
故答案为：．
12．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CBP＝∠OBA，
∴Rt△BPC∽Rt△BAO，
∴＝，
∵点B（8，0）和点A（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴BC＝5，
∴＝，
∴BP＝，
∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．
13．解：当＝时，△ADE∽△ABC
此时AE＝＝＝；
故答案为：．
14．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，
故答案是：或．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∴BE：AD＝1：3，
∴AD：BE＝3：1，
∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．
故答案为：9．
16．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE ∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠F AE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．
（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案为：．
17．解：设△ADH的AD边上的高为h，△GBH的边BG上的高为h'，分两种情况：
①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，
则BC＝BG，
∴BG＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝，
∴h＝h'，
∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH 的面积＝BG•CD﹣BC•h'，
∴＝＝＝＝；
②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，
则BC＝BG，
∴BG＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝，∴h＝h'，
∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH 的面积＝BG•CD﹣BC•h'，
∴＝＝＝＝；
综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或；
故答案为：或．
18．解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，
∴BD：CD＝2：1，
∴BD＝8，CD＝4，
过点M作MH∥AC交CD于H，
∴△DHM∽△DAC，
∴＝＝，
∴点M是AD的中点，
∴AD＝2DM，
∵AC＝8，
∴＝＝，
∴MH＝4，DH＝2，
过点M作MG∥AB交BD于G，
同理得，BG＝DE＝4，
∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，
∴△ABC的周长为10+12+8＝30，
∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，
∴CE+CF＝15，
设BE＝x，则CE＝12﹣x，
∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，
∴△EHM∽△ECF，
∴，
∴，
∴x＝2或x＝9，
当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，
即BD＝x＝2，
故答案为：2．
19．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，
∴∠D＝∠CAD，
∴CA＝CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，
∵AD＝3，CA＝CD，
∴2CA2＝18，
解得：CA＝3．
∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，
∴△ACB∽△ECA，
∴BC：AC＝AC：CE，
∴CE•BC＝AC•AC＝9．
故答案为：9．
20．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，
∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，
AD＝，
由题意得，AD＝，
故答案为：．
21．（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6（米）；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），
∴△HGF∽△HBA，
∴＝，
即＝，
解得：GH＝2（米）；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
22．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练（附答案） 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（） A．3B．4C．6D．8 2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH 的长为（） A．0.6B．1.2C．2.4D．3.6 3．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（） A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（） A．B．C．D．
5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（） A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1） 6．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB 长为（） A．6B．8C．D． 7．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（） A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5 8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点E、F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF＝135°，若CE＝3，BF＝4，则BC的长为（） A．1B．2C．2D．3
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题(含答案)附答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题(含答案)附答案 一、相似 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x. （1）在△ABC中，AB＝ ________； （2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14； （3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。 【答案】（1）10 （2）5 （3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠AMP=∠PNB=∠C=90o. ∴AC∥PN，∠A=∠NPB. ∴△AMP∽△PNB∽△ABC. 当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB 此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6 而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12. 所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等. 【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6， （ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC ∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x， ∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5； 【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明
△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可. 2．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ． （1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP， (本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2相似三角形》同步培优提升训练题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2相似三角形》同步培优提升训练题（附答案）一．选择题 1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（） A．①B．②C．③D．④ 2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD 的长为（） A．2B．C．3D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（） A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB 4．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（） A．16B．17C．24D．25 5．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，
点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（） A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2 6．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D 作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（） A．B．4C．D． 7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（） A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021） C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021） 二．填空题 8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．
2021年九年级中考数学一轮复习专题 《三角形综合：全等与相似》高频考点训练(三)
2021年中考数学一轮复习专题《三角形综合：全等与相似》 高频考点训练（三） 1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE； （2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论； （3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由． 2．阅读材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC ＝3.6，求BC的长． 小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）． （1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题： ①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；
②△BDE是三角形； ③BC的长为． （2）参考小明的想法，解决下面问题： 已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB； （2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． ①若点M在DE上，连接MC且DC＝DM，请判断△MCD的形状，并给出证明； ②若点N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数． 4．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）如图1，当AD＝AF时，求证：BD＝CF； （2）如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．
2021年中考数学压轴题专项训练14：相似三角形(含答案)
相似三角形 1．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8． （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求AC 长． 【解析】解：（1）△BAD△△BCA ，理由如下： AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1， ∴121 ,=242BD AB AB BC ==， ∴ 1 =2 BD AB AB BC =， 又 △B=△B ， ∴△BAD△△BCA ； （2）由（1）得： 1 =2 AD AC ，即2AC AD =， AD +AC =8， ∴28AD AD +=，解得：83 AD = ， ∴163 AC = ． 2．如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，5BC =，D 是AB 上一点，2BD =，E 是BC 上一动点，连接DE ，作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F .
（1）求证：DBE ECF ∆∆； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； 【解析】（1）证明：△AB AC =， △B C ∠=∠； △DEF B ∠=∠，∠+∠=∠+∠CEF DEF B BDE ， △BDE CEF ∠=∠. △DBE ECF ∆∆. （2）△DBE ECF ∆∆（已证）. △::BD CE BE CF =； △F 为AC 的中点，6AC =， △3CF =. 设BE x =，则5CE x =-；又2BD =， △()2:5:3x x -=，解得2x =或3. 故BE 长为2或3. 3．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？ （2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？ 【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN△△LBA，△MN LC AB LD =． （1）△像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m， △3550 4.9LD =，解得：LD=7． △拍摄点距离景物7 m． （2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm， △35LC 24 =，解得：LC=70． △相机的焦距应调整为70mm． 4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若△AFG＝△ACD．
相似三角形的性质专项提升训练(重难点培优)-九年级数学下册尖子生培优题典(原卷版)【人教版】
九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】 相似三角形的性质专项提升训练（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•南安市期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（） A．25：9B．9：25C．5：3D．3：5 2．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（） A．1B．2C．8D．16 3．（2022秋•济南期中）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（） A．B．C．D．6 4．（2022秋•长安区校级月考）如图，在ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（） 甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法； 乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法； 丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法．
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对 5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（） A．B．C．10D． 6．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（） A．x2+h2＝c²B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+ 7．（2022•兴庆区校级一模）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（） A．3B．4C．2D．3 8．（2021秋•锦江区期末）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（）
2020--2021学年九年级数学中考专项复习 ：三角形 培优训练(含答案)
2021中考数学几何专项：三角形培优训练 一、选择题 1. 下列式子错误 ．．的是() A. cos40°＝sin50° B. tan15°·tan75°＝1 C. sin225°＋cos225°＝1 D. sin60°＝2sin30° 2. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店() A.① B.② C.③ D.④ 3. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是() A.24 B.30 C.36 D.42 4. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是() A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 5. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有() A．1种B．2种 C．3种D．4种 6. 如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=130°,∠ECA=135°,那么∠A的度数是() A.75° B.80° C.85° D.90°
7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6， 将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于() A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 8. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越 大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是() A.x=y+z B.x=y-z C.x=z-y D.x+y+z=180 9. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭 头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是() 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为() A．70°B．108° C．110°D．125° 二、填空题 11. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》专题提升训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》专题提升训练（附答案）1．小刚和小涛在广场散步，两人提议用地砖的长，各自的身高及路灯下的影长来测路灯的高度，如图，已知广场地面由边长为1米的正方形地砖铺成，小刚的身高为AB为1.8米，小涛的身高DE为1.6米，现测得小刚影长BC为1块地砖的长，小涛影长为2块地砖的长，两人的距离BE为10块地砖的长，PQ⊥QG，AB⊥QG，DE⊥QG，请根据以上信息，求出路灯的高PQ的长．（结果精确到1米） 2．学校为了满足初三学生中考体育训练，在网球场旁边修建了一面排球墙MN，练习时，三位学生站在离墙均为1.5米远的A、B、C处垫球，站在C处的小明想测出这个排球墙有多长，他发现左边的同学A距离自己两步，右边的同学B距离自己三步，当小明后退一步到D点时，发现自己、左边的同学A和墙的左端点M恰好共线，此时自己和右边的同学B、墙的右端点N也共线，小明的一步约为0.5米．同学们，小明能否根据以上数据测出排球墙的长度？若能，请求出墙MN的长度；若不能，请说明理由． 3．刘备想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子．针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，刘备边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得刘备落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m （点A、E、C在同一直线上）．已知刘备的身高EF是1.75m．请你帮刘备求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
4．为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝1.6米，观察者目高CD＝1.5米，求树AB的高度． 5．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点记为M，已知AB＝4m，CD＝6m，求点M离地面的高度MH． 6．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.9m，窗高CD＝1.1m，并测得OE＝0.9m，OF＝3m，求围墙AB的高度． 7．如图，在高5m的房顶A处观望一幢楼的底部D，视线经过小树的顶端E，又从房底部B 处观望楼顶C，视线也正好经过小树的顶端E，测得小树的高度EF为4m，求楼的高度CD．
2021春九年级数学中考一轮复习《相似三角形的应用》自主复习达标测评(附答案)
2021春九年级数学中考一轮复习《相似三角形的应用》自主复习达标测评（附答案）1．如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（） A．1.25米B．2米C．4米D．6米 2．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD ＝5米，则旗杆的高度为（） A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米 3．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF 的长为（） A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm 4．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（） A．B．C．D．
5．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（） A．B．C．1D．2 6．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.6m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为0.9m，又测得地面的影长为2.7m，请你帮她算一下，树高是（） A．7m B．6m C．4.5m D．5.4m 7．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 8．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（） A．4 m B．m C．5m D．m
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的判定与性质(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的判定与性质（附答案）1．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A．：B．2：3C．4：9D．8：27 2．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．16 4．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（） A．20B．22C．24D．26 5．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D． 7．如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，
则下列结论不成立的是（） A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45°C．D． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（） A．25B．30C．35D．40 9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（） A．＝B．＝C．＝D．＝ 10．一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（） A．一种B．两种C．三种D．四种
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形—8字形相似》专题提升训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形—8字形相似》专题提升训练（附答案）1．如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF＝∠BAC． （1）求证：EB2＝EF•EC； （2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的长． 2．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD 于点G，连结CF． （1）求证：AF＝CF； （2）求证：AF2＝EF•GF； （3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长． 3．图①、图②、图③都是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 要求：（1）如图①，＝； （2）如图②，在BC上找一点F使BF＝2； （3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．
4．如图，在▱ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点E．（1）求证：△BCF∽△DEC． （2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝． 5．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB； （2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD 上，AE＝AD，连结BE交AC于点M． （1）sin∠ABO的值为． （2）求AM的长． 7．如图，点F为▱ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．（1）求证：△ADF∽△ECF； （2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．
2021中考数学专题复习相似三角形的应用能力提升训练题2(附答案详解)
2021中考数学专题复习:相似三角形的应用能力提升训练题1（附答案详解） 1．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（ ） A ．3．25m B ．4．25m C ．4．45m D ．4．75m 2．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m 长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，则这棵树高约有多少米( ) A ．6.4米 B ．5.4米 C ．4.4米 D ．3.4米 3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边D E 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边D F ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ） A ．12m B ．13.5m C ．15m D ．16.5m 4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆B E 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB m =，12.8BC m =，则建筑物CD 的高是( ) A ．17.5m B ．17m C ．16.5m D ．18m
5．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（ ） A ．13 B ．12 C ．2倍 D ．3倍 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 7．如图一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得影子DE 的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB 为（ ） A ．8米 B ．6米 C ．4.5米 D ．3米 8．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）. A ．18米 B ．16米 C ．20米 D ．15米 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边D E 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20E F cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ） A ．4米 B ．4.5米 C ．5米 D ．5.5米
2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练(含答案)
2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）1．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD相交于点F （1）求证：； （2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由； （3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式． 2．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明； ②求证：＝．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG 上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3， （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求tan∠GFH的值．
4．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H． （1）求证：△A1DE∽△B1EH； （2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系． 5．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE． （1）证明：四边形OEFG是平行四边形； （2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN． ①若OE＝，OG＝1，求的值； ②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要 求证明）
2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练【含答案】
2021 年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合 压轴题》培优提升专项训练 1.现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B' 放在另一块三角板ABC 斜边AB 的中点处，并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转．（1）当两块三角板相对位置如图①，即AC 与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点 E 时，求证：△AB′D∽△BEB′： （2）当两块三角板相对位置如图②，即AC 边的延长线与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，△AB′D 与△BEB′还相似吗？（直接给出结论．不需证明）（3）在图②中，连结DE，试探究△AB′D 与△B′ED 是否相似，并说明理由或给出证明． （4）在图①中，若△ABC 改为角C 等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′＝°时，仍有△AB′D∽△BEB′． 2.已知Rt△ABC 中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P 在AB 上滑动，直角的两边分别交线 段AC，BC 于E．F 两点 （1）如图1，当＝且PE⊥AC 时，求证：＝； （2）如图2，当＝1 时（1）的结论是否仍然成立？为什么？ （3）在（2）的条件下，将直角∠EPF 绕点P 旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF 的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数．
3.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，动点P 从A 点出发，沿AC 向点C 移动，速度为每秒2 个单位长度，同时，动点Q 从C 点出发，沿CB 向点B 移动，速度为每秒1 个单位长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）当t＝2.5 秒时，求△CPQ 的面积； （2）求△CPQ 的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q 移动的过程中，当t 为何值时，△CPQ 是等腰三角形？ 4.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC、BC 的长； （2）当点Q 在BC 上运动时，若△PBQ 与△ABC 相似，求时间t 的值； （3）当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，△PBQ 与△ABC 是否相似，请说明理由．
2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练2(附答案)
2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练2 1．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，在△ABC中，BA＝BC，AB＝kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE＝2EF．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE＝180°．探究线段AD与AE的数量关系并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现∠F AE与∠D也相等．” “通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．”…小伟： 老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H（如图2），若知道DH与AH的数量关系，可以求出的值．” （1）求证：∠CAD＝∠EAB； （2）求的值（用含k的式子表示）； （3）如图2，若DH＝AH，则的值为（用含k的式子表示）． 2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）证明：F A2＝FD•FB． （2）如图1．若CE＝CF．则试求的值． （3）如图2，过E作∠AEC的角平分线交AC于P，若AF＝2EF，PC＝2，求DF的长．
3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由． 4．【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC 于点G，H． 求证：＝； 【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若＝，则的值为； 【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则＝．
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练（附答案）1．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC； （2）如图2，若AB＝2BC，①求的值； ②连接AD，当S△ABC＝时，直接写出四边形ABCD的面积为． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B 作AB的垂线交AC的延长线于点F． （1）求证：＝； （2）过点C作CG⊥BF于G，若AB＝5，BC＝2，求CG，FG的长． 3．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E． （1）求证：△AMN是等腰三角形； （2）求证：AM2＝2BM•AN； （3）当M为BC中点时，求ME的长． 5．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm． （2）当t为何值时，四边形P ABQ的面积为19cm2． （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）求MH的长度； （2）求证：△MAH∽△MBA； （3）若D是边AB上的点，且△AHD为等腰三角形，直接写出AD的长．
2023年春九年级数学中考一轮复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练(附答案)
2023年春九年级数学中考一轮复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC，∠CBD+∠ADB＝90°，过点A 作AF⊥CD于F，AD、BC的延长线交于点G． （1）求证：∠ADB＝∠ACB； （2）求证：△ADB∽△CDG； （3）求证：BE2＝DE2+AD•DG． 2．矩形ABCD中，AC、BD为对角线，AB＝4cm，BC＝6cm，E为DC中点，动点P从点A 出发沿AB向点B运动，动点Q同时以相同速度从点B出发沿BC向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当PQ∥AC时，求运动时间t； （2）当PQ⊥BD时，求运动时间t； （3）当△BPQ∽△CEQ时，求运动时间t； （4）连接PE，△PQE的面积能否达到矩形ABCD面积的三分之一？若能，求出t的值； 若不能，说明理由． 3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点P从A出发，以1个单位每秒速度，沿射线AB 方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC方向运动，设运动时间为t秒，连结DP，DQ． （1）如图1．证明：DP⊥DQ． （2）作∠PDQ平分线交直线BC于点E； ①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连结PE，PQ，当△PBE与△PDQ相似时，求t的值． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P． （1）当点B为CQ的中点时，求PD的长； （2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长． 5．在矩形ABCD中，点E在边AD上，AE＝AB，BD⊥CE，垂足为F．（1）如图1，AD＝1，求AB的长； （2）如图2，连接AF，BE，求证：△AFD∽△BED； （3）如图3，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数． 6．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容．如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折．设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．