2021年中考复习相似模型(十字架,A字型,一线三等角)培优
相似三角形的（十字架，A 字型（8字型），一线三等角模型）培优练习
典例精讲
题型一、十字架模型
【问题引入】、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；
【问题拓展】、如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？
【证明总结】一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，是不是仍有AD
AB GH EF 的结论，请证明？
例1、如图把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
例2、如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ．求证：
AB
AD
GH EF =
； 【结论应用】如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN ，点M ，N 分别 在边BC ，CD 上，若
1511GH EF =，则
AM
BN
的值为 ； 【联系拓展】如图3，四边形ABCD 中，⊥ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5， AM⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求
AM
DN
的值．
例3、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则
AF
FC
的值为___________. 例4、在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，当AD=CD 时，求AE 的长为___________.
题型二、“A ”字型和“8”字型
已知：∠1=∠2 结论：△ADE∽△ABC 模型分析：如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A 型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。
例1、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若DC
BD ＝FA FC
=2，求BE ：EA 的比值.
反8型
8型
反A 型
A 型
1
2
A
D
B E
C
1
2
A
D
B
E C
1
2
A
D B
E
C
2
1
B
D
E A
C
反8型
8型
反A 型
A 型
1
2
A
D
B
E
C
1
2
A
D
B
E
C
图3
B
C
A E
D
图2B
C
A
E
D
1
图A
B
D
C
E
例2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 的值
题型三、 “K ”字型或一线三等角模型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。 结论：△ABC∽△CDE 模型分析
绕点A 旋转 ADE
D
E
B
A
C C
A B
E
D
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。
例1、如图在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，E 为AC 上一点，且∠ADE=60°，BD=1，CE=2
3
，则△ABC 的边长为 。
例2、如图，正方形ABCD 的边长为25，内部有6个全等的小正方形，小正方形的顶点E ，F ，G ，H 分别落在边AD ，AB,BC,CD 上,则每个小正方形的边长为 .
题型四、旋转相似模型
O
60
A
B
D
C
E
如图①，已知DE∥BC，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②，结论：△ABD∽△ACE。 模型分析：
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种题型。
例1、如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B'C' 交CD 边于点G ，连接BB'、 CC'，若 AD=7，CG=4， AB'=B'G ，则
CC'
BB'
= 例2、如图所示，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，则AG ∶DF =
A B
C
D
E
F
G
三、巩固训练
题型一、十字架模型
1、如图，把边长为AB ＝2
2、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
2、如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ⊥CF ，请求出
CF
DE
的值= ． _______.
第1题图 第二题图
3、已知四边形ABCD 中．E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （一）问题初探；
如图⊥，若四边形ABCD 是正方形，且DE⊥CF ．则DE 与CF 的数量关系是 ； （二）类比延伸
（1）如图⊥若四边形ABCD 是矩形．AB=m ，AD=n ．且DE⊥CF ，则CF
DE
= ．（用含m ，n 的代数式表示）
（2）如图⊥，若四边形ABCD 是平行四边形，当⊥B+⊥EGC=180°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． （三）拓展探究
如图⊥，若BA=BC=6，DA=DC=8，⊥BAD=90°．DE⊥CF ，请直接写出
CF
DE
的值．
A
D
B
E
C
O A
D B
E
C
题型二、“A ”字型和“8”字型
1、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDEE 的比是 。
2、如图， ，求 = 。（试用多种方法解）
3、 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，D 是边BC 的中点，E 在AB 上，且 AE ：
BE=2：1。
求证：
CE⊥AD。
4、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E ，F 分别在边AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是 边DC 上的一动点.
（1)连接AF ，CE ，求证：四边形AFCE 是菱形； （2)当△PEF 的周长最小时，求
CP
DP
的值； A
B
C
D
E
F
BD AE 1
CD DE 2==
AF BF
A
B
D
C
E
（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP=45°时，求CP 的长.
题型三、 “K ”字型或一线三等角模型
2、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 点重合），∠ADE=45°。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长。
3、【感知】如图①，在四边形ABCD 中，∠C ＝∠D ＝90°，点E 在边CD 上，∠AEB ＝90°，求证：
＝
．
【探究】如图②，在四边形ABCD 中，∠C ＝∠ADC ＝90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD
的
延长线上，∠FEG ＝∠AEB ＝90°，且＝，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH ＝GH ．
【拓展】如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB 十∠DEC ＝180°，且＝，过E 作EF
交AD 于点F ，若∠EFA ＝∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG ＝CG ．
题型四、旋转相似模型 1、(1)问题发现
如图1,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40∘，连接AC ，BD 交于点M.填空： ①
BD
AC
的值为___；②∠AMB 的度数为___. 类比探究
如图2,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90∘,∠OAB=∠OCD=30∘,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断
BD
AC
的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点M,若OD=1,OB=7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长。
2、如图（1），已知G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF ⊥CD，垂足为点F．
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，
.
2021年中考数学复习讲义：第七章 平行四边形 模型(三十)——十字架模型
第七章.平行四边形 模型（三十）——十字架模型 模型讲解 【结论】正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF 【类图】 口诀
典例秒杀 典例1 ☆☆☆☆☆ 如图，正方形 ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边 AB，CD，AD，BC上.小明认为∶若 MN=EF，则 MN⊥EF；小亮认为∶若 MN⊥EF，则MN=EF.你认为（） A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对【答案】B 【解析】①若 MN=EF，则必有 MN⊥EF，这句话是错误的，如图. 作 EG⊥BC，MH⊥CD，记 MH交EF 于点L， ∵EF＝MN,MH＝EG, ∴Rt△MHN≌Rt△EGF(HL), ∴∠EFG=∠MNH， 又∵∠EFG=ZELM，∴∠MNH=∠ELM, ∴∠NMH＋∠MNH＝∠NMH＋∠ELM＝90°，∴∠MOL＝90°,即 MN ⊥EF，
但EF不仅仅是这一种情况，如将图中的线段 EF沿直线 EG折叠 过去，得到的 EF´就是反例，此时有 MN=EF´，但是 MN 与EF´垂 直，因此小明的观点是错误的。 ②若 MN⊥EF，则 MN=EF，这句话根据十字架模型的结论可直接判断 是正确的. 故选B. 小试牛刀 1.（★★★☆☆）如图，在正方形 ABCD中，点E是 BC 上一点， BF⊥AE 于点H，交 DC于点F，若 AB=5，BE=2，则 AF=_______。 直击中考 1.如图，正方形 ABCD 中，E，F分别为BC，CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为G. （1）求证∶AE= BF.（2）若 BE=，AG=2，求正方形的边长.
初中几何模型 专题07相似三角形模型
数学模型-----相似三角形模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型． 一、模型类别 二、相关结论的运用 （一）模型1：A字型 图1平行A字型条件：DE//BC，图1结论：△ADE~△ABC； 图2斜交A字型条件：∠C=∠AED，图2结论：△ADE~△ABC； 典例精讲： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm．动点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN，设移动时间为t（单位：秒，0 AMP∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值． （2）过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH//AC，根据模型1：平行A字型的结论得出△PBH∽△ ABC，从而求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC−S△BPH”列出S与t的关系式S=4 5(t−3 2 ) 2 + 21 5 (0 专题相似三角形的常见模型 一、下面六个图中△ADE与△ABC均相似，在相应图的下方写出对应角，及对应边的比例式。 二、如图，若∠A=∠ECD=∠B,则△AEC∽△BCD,我们可以把这种类型的相似叫做 “一线三等角”型或“K字型”，请在下方空白处写上对应角，及对应边的比例式。 三、如图，已知△ABC∽△ADE，这种像是一边转一边缩小（或扩大的）相似，我们可以叫做“旋转”型。先写出对应角及对应边的比例式。连结BD,CE,你有什么新发现？你能证明吗？ 练习：1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若,DE＝4，则BC＝． 2.如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4． （1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB． 3.由36个边长为1的小正方形组成的6×6网格中，线段AB的两个端点都在格点上． （1）如图1，C，D也在格点上，连接AB，CD相交于点O，求的值和OC的长； （2）如图2，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点M，使得． 4.如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE； ②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是 5.如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长． 6.(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． (2)如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长． 7.如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣1，2），点B在第一象限，且 OB⊥OA，OB＝2OA，则B点的坐标为． 8.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝8，BD＝2， 则CF等于． 相似三角形的（十字架，A 字型（8字型），一线三等角模型）培优练习 典例精讲 题型一、十字架模型 【问题引入】、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长； 【问题拓展】、如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？ 【证明总结】一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，是不是仍有AD AB GH EF 的结论，请证明？ 例1、如图把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长. 例2、如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ．求证： AB AD GH EF = ； 【结论应用】如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN ，点M ，N 分别 在边BC ，CD 上，若 1511GH EF =，则 AM BN 的值为 ； 【联系拓展】如图3，四边形ABCD 中，⊥ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5， AM⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求 AM DN 的值． 例3、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则 AF FC 的值为___________. 例4、在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，当AD=CD 时，求AE 的长为___________. 题型二、“A ”字型和“8”字型 已知：∠1=∠2 结论：△ADE∽△ABC 模型分析：如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A 型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。 例1、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若DC BD ＝FA FC =2，求BE ：EA 的比值. 反8型 8型 反A 型 A 型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 2 1 B D E A C 反8型 8型 反A 型 A 型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 专题九相似三角形 模型47 “A”字模型 模型展示 基础模型 正“A字”型 怎么用？ 1、找模型在三角形中遇到“平行”，则考虑正“A字”模型 2、用模型“A字”模型用相似三角形结题 结论分析 结论:△ADE~△ABC 证明:△DE△BC， △△ADE=△ABC，△AED=△ACB. △△ADE~△ABC，△AD AB =AE AC =DE BC 模型拓展 斜“A字”型（共角） 满分技法 在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 上的点，若△ADE与△ABC相似，则分两种 情况: △△ADE=△ABC，此时为正“A字”型; △△ADE=△ACB，此时为斜“A字”型，然后再结合已知条件求解. 巧学巧记 相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. 典例小试 例1 如图，在上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，且头部影子重合于点A，(点拔：影子平行，则DE△BC)已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，(点拔：CD=1米，BC=1.8米，DE=1.5米)则甲的影长是( ) A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 考什么？ 相似三角形的判定与性质 思路点拨 根据题意得到DE与BC的位置关系，再直接使用结论即可求解. 例2 如图，在△ABC中，△BAC=△CBD，（点拔：在三角形中，遇一组角相等，再找一组等角，利用相似解题）CD=2，AC=6，则BC的长为( ) A.√3 B.2√3 C.3√3 D.4√3 考什么？ 相似三角形的判定与性质 例3 如图，在ABCD(点拨：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD)中，点E 在边AD上，且AE=ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△FED与ABCD 的面积之比为( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 考什么？ 平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定 思路点拨 根据平行四边形的性质及AE=ED,可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题,自己快动手试一试吧! 思路点拔 根据平行四边形的性质及AE=ED，可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题，自己快动手试一试吧! 实战实演 1.如图，在△ABC中，△B=45°，过点A作AD△AB交BC于点D，过点D作DE△AD 交AC于点E，若AB=4，DE=2，则CD的长为（） 冲刺2022-2023年中考数学微专题靶向培优 （“一线三等角”类全等或相似问题）分类专练 一、选择题. 1.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点 D在 BC 上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则 CF的长为（）. A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点.若 AG=2，BF＝3，∠GEF=90°，则 AE的长为（）. A.2 B.5 C.√5 D.√6 3.如图所示，O为四边形ABCD 的边 AB 的中点,∠A＝∠DOC＝∠B，AD=9，BC=8，则 AB的长是（）. A.6√2 B.6 C.12√2 D.17 4.如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点.若 AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则 AB的长为（） A.2√2 B.3 C.4 D.5 5. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数y= 6x （x ＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ）. A.y ＝﹣6x B.y=﹣4x C.y=﹣2x D.y= 2x 二、 填空题。 6. 如图，正方形 ABCD 中，AB=12， AE ＝14AB ，点 P 在 BC 上运动（不与 B ，C 重合），过点P 作 PQ ⊥EP ，交 CD 于点 Q ，则 CQ 的最大值为________. 7.如图，已知点A （0，4）、B （4，1）轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且 ，则点P 的坐标为 . x y C A B P O 《相似专题——“一线三等角”模型》教学设计一、【教材分析】 教学目标 知识 技能 经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”模 型的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本模 型。 过程 方法 1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； 2、体会由特殊到一般思想、分类讨论思想和化归思想方法。 情感 态度 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决 新问题. 教学 重点 归纳“一线三等角”模型的基本特征。 教学 难点 在不同的背景中识别“一线三等角”模型，以及灵活解决该模 型的相关问题。 学情分析该班级学生已完成了中考第一轮基本知识点的复习，对相似的判定以及相似性质的运用较熟练。为提升综合解决问题的能力，设计了“一线三等角”模型的专题训练。 教学内容分析《相似》一章的教学内容位于人教版九年级下册第二十七章，是中考的重要考点之一,而“一线三等角”模型也曾多次出现在中考的压轴题里面，因此有必要对“一线三等角”模型进行专题训练。 问题设计 师生活动 设计 意图 环节一·从特殊到一般 【归纳1】“K字型”条件：三个直角 结论：△CBE∽△EAD 学生回忆曾接触 过的K字型，教师 引导学生回答：K 字型题目一般给 出什么条件，能得 到什么结论。 通过回忆K字型的 条件与结论，为归纳 “一线三等角”模型 的基本特征作铺垫。 几何画板展示三个直角变为三个相等的锐角或钝角。 【归纳2】“一线三等角”条件： ①有三个相等的角； ②三等角顶点在同一直线上。 结论：△CBE∽△EAD ∠B的对应角为 ∠C的对应角为 ∠BEC的对应角为 BC的对应边为 BE的对应边为 CE的对应边为 则，学生思考：当三个 直角变为三个相 等的锐角或钝角 的时候，两三角形 相似的结论是否 还成立？教师引 导学生得出证明 两三角形相似的 过程，并归纳出 “一线三等角”模 型的基本特征。 学生找准相似三 角形的三对对应 角，三对对应边， 从而得出进一步 推论：对应边的比 相等。 通过几何画板动态 展示，让学生直观感 受“一线三等角”模 型的几种形态。学生 经历观察、比较、归 纳的学习过程，从本 质上把握“一线三等 角”模型的基本特 征。 学生体会由特殊到 一般思想、分类讨论 思想和化归思想方 法。 为下面解决“一线三 等角”模型的相关问 题作知识准备。 环节二·深入应用，能力提升 【例题】已知三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，P为BC上以动点（不与B,C重合）且∠APM=∠B，PM交AC于点M。 （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）若BP=2，求CM的长度。 【例题变式】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC中点，点E、点F分别在学生思考：是“一 线三等角”模型 吗？三个相等的 角在哪里？为什 么会相等？ 学生思考、写出解 题过程，教师必要 时进行点拨，展示 学生答题过程。 学生独立思考，写 出解题过程，教师 题目没有直接给出 三个相等的角，要在 隐藏条件中找出“一 线三等角”模型，找 出解决问题的突破 口。 再一次在隐藏条件 中找出“一线三等 微专题一线三等角模型 (建议时间：________分钟) 1. (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点D，E.求证：DE＝BD＋CE； (2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，在等边三角形DEF中，DE＝6，菱形ABFC的顶点A在边DE上，顶点B在△DEF的一个外角的平分线上，且BD＝2，∠FBA＝60°，求点C到直线DE的距离． 第1题图 2. (1)探索发现 如图①，在△ABC 中，点D 在边BC 上，△ABD 与△ADC 的面积分别记为S 1与S 2，试判断S 1S 2与BD CD 的数量关系，并说明理由； (2)阅读分析 小东遇到这样一个问题：如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，射线AM 交BC 于点D ，点E ，F 在AM 上，且∠CEM ＝∠BFM ＝90°，试判断BF ，CE ，EF 三条线段之间的数量关系． 小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决． 填空：①图②中的一对全等三角形为________； ②BF ，CE ，EF 三条线段之间的数量关系为________； (3)类比探究 如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点O ，点E ，F 在射线AC 上，且∠BCF ＝∠DEF ＝∠BA D. ①判断BC ，DE ，CE 三条线段之间的数量关系，并说明理由； ②若OD ＝3OB ，△AED 的面积为2，直接写出四边形ABCD 的面积． 第2题图 第一局部相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的根本模型认识 〔一〕A字型、反A字型〔斜A字型〕 〔平行〕B〔不平行〕 〔二〕8字型、反8字型 B C B C 〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕 〔三〕母子型 〔四〕一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景 〔五〕一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字 型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形 第二局部 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形中，∥，对角线、交于点O ，∥交延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2． 例2：：如图，△中，点E 在中线上, ABC DEB ∠=∠． 求证：〔1〕DA DE DB ⋅=2； 〔2〕DAC DCE ∠=∠． 例3：：如图，等腰△中，＝，⊥于D ，∥，分别交、于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2． 相关练习： 1、如图，为△的角平分线，为的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2． 2、：是△中∠A 的平分线，∠90°，是的垂直平分线交于M ，、的延长线交于一点N 。 求证：(1)△∽△; (2)2 · 3、：如图，在△中，∠90°，⊥于D ，E 是上一点，⊥于F 。 求证：· 4.在∆ABC 中，，高与交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长到G ，使，M 是的中点。 求证：∠=︒GBM 90 5．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕、〔3〕小题总分值各5分〕 ：如图，在△中，∠90°，2，4，P 是斜边上的一 A C D E B B G M F E H D C A 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角 与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C 模型介绍 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BP D． 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CP A，∠C＝180°－∠1－∠CP A，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB， ∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BP D．（证明同锐角） 【解题关键】构造相似或全等三角形. 考点一：一线三等角直角模型 【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD 的面积为cm2． 3 C D B P A 2 3 1 D B P A C 例题精讲 ➢变式训练 【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米． 【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为． 【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（） A．（，3），（﹣，4）B．（，3），（﹣，4） C．（，），（﹣，4）D．（，），（﹣，4） 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（） A．B．C．D． 模型探究 相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复. 模型一、A字型相似模型 A字型（平行）反A字型（不平行） 模型二、8字型与反8字型相似模型 模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型五、手拉手相似模型 考点一、A 字相似模型 【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A ． B ． C ． D ． ➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则 ＝ ． 例题精讲 【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM 并延长，交BC的延长线于D，则＝__________. 【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AF＝8，求AE的长度． 考点二、8字与反8字相似模型 【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值 ➢变式训练 【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（） A．B．C．D． 【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（） A．8B．10C．12D．14 【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝． 一线三垂直与一线三等角 一、基础知识回顾 1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180° 2)1 平角= 180 度 二、模型的概述： 1) 一线三垂直模型 [模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础构造1构造2 一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE = AD +EC 证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC ∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90° ∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90° ∴∠1 = ∠3 ∠1 = ∠3 在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90° AB = BC ∴∆ABD ≌∆BCE(AAS) ∴AD = BE,EC = BD 则DE = BE + BD = AD + EC 一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE = AD - EC 证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC ∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90° ∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90° ∴∠A = ∠CBE ∠A = ∠CBE 在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90° AB = BC ∴∆ABD ≌∆BCE(AAS) ∴AD = BE,EC = BD 则DE = BE - BD = AD - EC 一线三垂直其它模型 1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC 2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE 图1图2 2) 一线三等角模型 [模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。一线三等角类型： (同侧) 已知∠A = ∠CPD = ∠B = ∠α, CP = PD (异侧) 已知∠EAC = ∠ABD = ∠DPC = ∠α, CP = PD 证明：以右图为例 ∵∠ACP + ∠A + ∠CPA = 180°, ∠DPB + ∠CPD + ∠CPA = 180°而∠CAP = ∠CPD = ∠PBD = ∠α ∴∠ACP = ∠DPB 又∵CP = PD ∴∆ACP ≌∆BPD(AAS) 专题13 几何模型3—一线三等角模型 【模型介绍】 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 【解题关键】 构造相似或是全等三角形 【典型例题】 【题型一：一线三直角模型】 如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 【例1】如图1所示，已知△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC ，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ． （1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF =AE +BF ； （2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF 的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）见解析； （2）EF=AE−BF，证明见解析； （3）EF=BF−AE，证明见解析 【解析】 （1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°， ∴∠EAC=∠FCB， 在△EAC和△FCB中， {∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC ， ∴△EAC≌△FCB(AAS)， ∴CE=BF，AE=CF， ∵EF=CF+CE， ∴EF=AE+BF； （2）解：EF=AE−BF，理由如下： ∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°， ∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB， 在△EAC和△FCB中， {∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC ， ∴△EAC≌△FCB(AAS)， ∴CE=BF，AE=CF， ∵EF=CF−CE， ∴EF=AE−BF； （3）解：EF=BF−AE，理由如下： ∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°， ∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB， 专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE 证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅ 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等 证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅ 1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ． (1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长； (2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段 BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △． 2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状． 【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题4一线三等角模型 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BPD ． （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BPD ． 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BPD ． 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BPD ． 【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE =BD +CE ． 321D B P A C 3 C D B P A 3 21C P D B A 32 1 C D B A P 经典例题 解题策略 （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则 S△AEI=______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， {∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC ， ∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立． 专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型【模型展示】 非平行A字型 ∠AED＝∠B∠∠ADE∠∠ACB∠ AD AC＝ AE AB＝ DE BC. 非平行A字型 ∥ACD＝∥B∥∥ADC∥∥ACB∥ AD AC＝ AC AB＝ CD BC. 【题型演练】 一、单选题 1．如图，已知, ADE ABC若:1:3, AD AB ABC 的面积为9，则ADE的面积为（）A．1B．2C．3D．9 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出2 1=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可． 【详解】解：∥∥ADE∥∥ABC ，AD ：AB ＝1：3， ∥2 1=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥∥ABC 的面积为9， ∥1=99 ADE S ， ∥S ∥ADE ＝1， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键． 2．如图，在∥ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则∥ADE 与∥ABC 的面积之比为（ ） A ．4：25 B ．2：3 C ．4：9 D ．2：5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到∥ADE ∥∥ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∥AE =2，EC =3， ∥AC =AE +EC =5， ∥DE ∥BC ， ∥∥ADE ∥∥ABC ， ∥22 24525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3．如图，在∥ABC 中，∥C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将∥ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）相似三角形的常见模型
2021年中考复习相似模型(十字架,A字型,一线三等角)培优
中考数学几何模型专题专题九—相似三角形
2023年中考数学微专题靶向培优(“一线三等角”类全等或相似问题)分类专练
人教版九年级数学下册《相似专题“一线三等角”模型》教学设计
2022年人教版中考数学考点培优复习 第四章 三角形 微专题 一线三等角模型
相似三角形模型讲解一线三等角问题
一线三等角模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
2023届初中数学中考复习-一线三垂直与一线三等角
备战中考数学二轮专题归纳提升真题几何模型—一线三等角模型(解析版)
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)(原卷版)
一线三等角模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(解析版)
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版)