人教版高二下五月月考数学试题及答案解析(重点中学2021届高二)

2021届高二下五月月考数学试卷

班级:

姓名:

1. A.

、单选题 已知复数z 满足(1 2i)z 4 3i ,则z 的共轲复数是 2.

A. 3.

B. z 的实部为 复数 z

C. 1 2i

D. 1 2i

B. 有6名男医生、 A. 60 种 4. A. (1 x)7 42 5. 函数y A. 6.

曲线 A. 2x 7. 函数 A. 1,1 8. 若函数

A. 9. ,下列说法正确的是 i _W 2 C. D. z 在第一象限

5名女医生，从中选出 B. 70 种 的展开式中x 2的系数是 B. 35 ln x 4

.. ——的图象大致是

x

fr

0 1 -x 2 f(x )

2名男医生、 C. B.

x 在点1,0处的切线方程为 B. 2x y 2 0 In x 的单调递减区间

为

B. 3x B. 用数学归纳法证明不等式 左边增加的项数是

A. 10. A. 2k 若不等式 (,0) 0.

1

m 的极小值为 -1

2

1

名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有

D. 150 种

75种 C. C. 2x y C. 1,

-1,则函数 1

C.一

3 1

n 2 1 D. 2x

D. 0

,

f (x)的极大值

为

D. n n 是正整数，n n k 到n k 1变化时, B. 2k 2xlnx x 2

B.( 1 ax 对 ,1]

C. 2k

D. 2k 1 [1, )恒成立，则实数 C. (0,) a 的取值范围是 D. [1,) 11 .汉代数学家赵爽在注解 《周髀算经》时给出的 赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝 如右下图所示的弦图中, 由四个全等的直角三角形和一个正方形构成. 颜色，则不同的涂色方案有 现有五种不同的颜色可供涂色, 要求相邻的区域不能用同一种 A. 180 C. 420 D. 480 X

1 0 1 P

a b c

B. 192 12.已知随机变量 X 的分布列如下表: 其中a, b, c 0.若X 的方差D

1

一对所有

3

0.

1

都成立，则

C.

D. b

二、填空题

13.已知复数z=9i" (aC R)的实部为B贝U a=.|z|=.

i

14.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为

15.函数f x xlnx的极小值为.

2 1

16.已知函数f(x) ax xln x在［-,)上单倜递增，则实数a的取值氾围是. e

, 一11

17.在二项式x 1 的展开式中，系数最大的项是 ,系数最小的项的系数是.

18.已知多项式(x 2)m(x 1)n a o ax a2x2L a m n x m n满足a0 4, a1 16,则m n

, a o a1 a2 L a m n .

19.已知函数f(x) In x m,若函数的极小值不小于0,则实数m的取值范围为. x

三、解答题

20.由数字0, 1, 2, 3, 4组成一个五位数^

(1)若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；

(2)若的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0的个数，求X的分布列及数学期望

21.有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0, 1, 2,现从中任意抽取一张，将其上数字记作x,然后放回，再抽取一张，其上数字记作y,令x y.求：

(1) 所取各值的分布列；

(2)随机变量的数学期望与方差.

* 22.在各项均为正数的数列a n中，数列的前n项和为S n ,满足S n 1 na n n N

(1)求a i, 32, a3的值并猜想数列的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

，，、，a 1 ，

23.已知函数f(x) lnx—— 1, a R. x

(1)当a 2时，求函数f(x)在点2, f (2)处的切线方程;

(2)若当x 0, f(x) 3,求a的取值范围.

24.已知函数f x ln x ax.

(1)讨论f x的单调性；

-a -，、 1 …―(2)若f(x) a —恒成立，求a的取值范围.

e

2021届高二下五月月考数学试题答案解析、单选题

1,已知复数z满足(1 2i)z 4 3i , 则z的共轲复数是

A. 2 i

B.

C. 1 2i

D. 1 2i

2i z 口2 i, 1

2i 所以z

2.在复平面内, 复数

2—i ,下列说法正确的

是

B. D. z在第一象限

【解析】Qz 1 3i 2

z位于第四象限，z的实部为1 3i

A

、

C

、

D错误;

3 210

---------- 5

2 2

B正确,

3 .有6名男医生、5名女医生, 从中选出2名男医生、名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有

A. 60 种

B. 70 种

C. 75 种

D. 150 种

4. (1

A. 42

因二15x5=75，故应选x)7的展开式中x

B.

2 2

x2的系数为C7

5.函数

lnx4

y 也工的图象大致是

的系数是

35

C.

C. 28

D. 21

故选D.

B. D.

【解析】 因为函数

lnx 4 . ................. 一，,

y ——为奇函数，排除 B, C;又函数y

lnx 4

—的零点为

x

1和1 ,故

选:A.

6.曲线 x 在点1,0处的切线方程为 A. 2x B . 2x y 2 0 C . 2x y 2 0 D. 2x y 2

即2x 由已知,

' 2 .................... y 3x 1,故切线的斜率为 y 2 0.故选：D. 7.函数y ln x 的单调递减区间为

A. 1,1 B . 0,1

C. x 2

1

8.若函数f (x) 3x m 的极小值为 A. 3 B . -1 【解析】f'(x)

3x 2

3(x 1)(x 1) •. 1是极大值点，1 是极小值点，于是有 从而f( 1) 1 3 1 3,即极大值为 ............. - 1 9.用数学归纳法证明不等式 1 - 2 左边增加的项数是 A. 2k B. 2k 1 1时, k 时，不等式左边

为:

1

,

0, -1,则函数 C. 显然当

f(1)

3.

不等式左边为：1

x1 2,所以切线方程为 y

2(x 1)

,

D. 0

,

且定义域满足x

f (x)的极大值

为

D.

1 2n

C. 2k 1

2k 1

.故

选:

1 时，f'(x)

n n 是正整数, D. 2k

x 1时, f'(x) 0,

1变化

时,

左边增加的项数为：2k

1

2k

2k

.

1

k

2k 1 1

1 2k 1 1

1 2k

2 1

10 .若不等式2xlnx …x 2

ax 对x [1,)恒成立，则实数a 的取值范围是

A. ( ,0)

B. ( ,1]

C. (0, )

D. [1,)

【答案】B

【解析】由2xlnx (x)

2

ax, x [1,),可知a, 2ln x x .

2

设h(x) 2ln x x,x [1,)，则h(x) — 1 0 ,所以函数h(x)在[1,)上单调递增, x

所以h(x)min h(1) 1.所以a, h(x)min 1 .故a 的取值范围是(，1] .故选：B

时给出的 赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中， 由 现有五种不同的颜色可供涂色， 要求相邻的区域不能用同一种颜

【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂 5块区域至少需要 3种颜色.

3

若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有 C 5 ,相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色

方案数为C 53A 3

3

60 (种)

4

若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有 C 5 ,相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形

不同色，此时共有不同的涂色方案数为

C 54C 2A 4 240 (种)

若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为 综上，共有不同的涂色方案数为 420 (种).

故选：C.

12.已知随机变量 X 的分布列如下表：

【答案】C

192

C. 420

D. 480

11.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》

四个全等的直角三角形和一个正方形构成.

5

A 120 （种）

又a b c 1,所以X 的方差D X

2

2a 1 b 1 b

2

1 b

4 a

1 b ,

2

1 b

因为a 0,1 b ，所以当且仅当a

」b 时，D X 取最大值1 b , 2

p

1 1

2 又D

X

一对所有a 0,1 b 成立，所以1 b

一,解得b 一,故选:D.

3

3

3

二、填空题

13 .已知复数z=La_ (aC R)的实部为 曲,贝U a=.|z|=

i

1 ai (1 ai)( i)

—

［解析】- z=——=- ------ 母一〃二a T 的实部为 J3,

，a

二百，则即|百i l=J (出)2 ( 1)2

2.故答案为：73; 2

14 .从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为

【答案】30.

【解析】若从0、2中选一个数字是0,则组成三位数有 C 2A 2 12个；

若从0、2中选一个数字是2,则组成三位数有 C ；A ； 18个，故一共有30个. 故答案为：30.

15 .函数f x xlnx 的极小值为 .

-

1 【答案】

1

其中a, b, c 0.若X 的方差D X

「1

「2

A. b —

B. b —

3 3

1

一对所有a

0,1 b 都成立，则

3

「1

u

2 C. b —

D. b —

【解析】由X 的分布列可得X 的期望为E X a c ,

e

1 【解析】依题意，得f (x) lnx 1, x (0,).令f (x) 0,解得x -.

e

一， 1 ，，、- 1 ，，、… 所以当 x 0,—时，f (x) 0；当 x -, 时，f (x) 0. e e ~…，,

1 1 1 所以当x —时，函数f(x)有极小值

—.故答案为：—

e

e

e

2

1

f (x) ax xln x 在[一, e

................ …… 一 . 1 1 单调递减，g(x)的最大值为g(1)=1, 2a 1,a —,故填a -.

2 2

. 一

11

17.在二项式 x 1 的展开式中，系数最大的项是 ,系数最小的项的系数是

【答案】462x 5

462

【解析】x 1 11

的展开式的通项为：T r 1 C 1r 1x 11

r 1

当r 6时，系数最大，项为462x 5;当r =5时，系数最小为 462. 故答案为：462x 5; 462.

, a 0 a 1 a 2 L

a m n .

【答案】5 72

【解析】

; 多项式 x 2 m x 1 n

a 0 a [x a ?*2 L a m n x m n

满足 a 0 4, a 1 16

，令 x 0,得 2

m

1n a 0 4 ,则 m 2

该多项式的一次项系数为 4C n 1n

4C ： 11n

1 16

16.已知函数 )上单调递增，则实数a 的取值范围是

In x 2ax In x 1 0,解得 In x 1

2a

In x 1 1 ------ 在一

x e

上恒成立，构造函数

——,g x

x

1

Inx 八,解得x=1, g x 在一，1上单倜递增在1,

0 e

18.已知多项式(x 2)m (x 1)n

2

a 0 a 1x a 2x

a m n x m n

满足 a 。 4, a 1 16 ,则 m n

(x 2)m (x 1)n

x 2 4x 4)( x 1)n

0,123,4,

故答案为5, 72

ln x m,若函数的极小值不小于

0,则实数 m 的取值范围为

x

期望.

5

—(2)详见解析

8

由0, 1, 2, 3, 4组成的五位数共有 A

5 A 4 9

6 (个)，

其中是偶数的，第一类，个位是 0,有A 4 24 (个)；

. ..................................... 一一

1

,

,

~

1

5位，各数位上数字为0的概率均是一，且相互独立，所以X ~ B(4,-).

5 5 所以 P(X i) C 4(1)i (1 1)4 i ,i 5 5

2

令 x 1 ,得(1 2) (1 1)3 a 。a 1 a 2

a m n 72

19.已知函数 f(x) 【解析】由f

m

ln x 一得 f

x m

~2

x

0时, 0,函数y x 单调递增，函数无极值;

0时,

m,

所以当

0,m m,

依题意有:

故答案为: 三、解答题

20.由数字 (1)若 (2)若

时，f x 时，f x

m 时, ln m

0,1 函数y 2, 3 0,函数y

0,函数 f x 单调递减;

y f x 单调递增. f x 取极小值，且为 f m ln m

1

m —,因此，实数m 的取值范围是

4组成一个五位数

的各数位上数字不重复，求

是偶数的概率;

1.

的各数位上数字可以重复，记随机变量

X 表示各数位上数字是 0的个数, 求X 的分布列及数学

(1) (1) 第二类，个位是2或4,有C 2c 3A 3

36(个)，所以 是偶数的概率为 P

24 36 96 (2)因为首位一定不为 0,第2位至第

所以X 的概率分布列为

4

.

5

大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上 0, 1, 2,现从中任意抽取一张，将其上

数字记作x,然后放回，再抽取一张，其上数字记作

y,令 x y .求：

(1) 所取各值的分布列； (2)随机变量

的数学期望与方差

, ”

1 1

1

1是指两次取的卡片上都标着

1,其概率为P( 1)---;

3 3 9

… …~ c 、 - 1 1 2

1,另一个标着2,其概率为P( 2) 2

—— —；

3 3 9'

1 1 1

4”是指两次取的卡片上都标有 2,其概率为P( 4)---.

3 3 9

⑵E()

1 E(X) 4 — 5

21.有三张形状、 【答案】(1)见解析(2) E()

D()

16 9

【解析】(1)随机变量 的可能取值有0, 1, 2, 4,

0 ”是指两次取的卡片上至少有一次为 0,其概率为

P(

0) 1

2 ”是指两次取的卡片上一个标着

1,

x a 1

2 5 2 1 2 2 2 D( ) (0 1)2 - (1 1)2 - (2 1)2 - (4 1)2 9 9 9

16 6 22.在各项均为正数的数列 a n 中，数列的前n 项和为 S n, 满足 S n

*

1 na n n N

(1)求 a1，a2, a 3的值并猜想数列的通项公式; （2）用数学归纳法证明你的猜想 a 2 a 3 1 -- 一，猜想a n 12 (2

)

见解析.

【解析】

（i ）a 1 a 1 a 1 a 2 S 2 a 1 2a 2

1 1 a 2—,同理 a3 —, 6 12

由a 1

2 1 z-^,a

3 2

3 1 12

a n

（2）①当 n 1时, a

i 1 …八

一,猜想成立; 2 ②假设当 k 时, 猜想成立，即a k

则当 1时, a k 1 S k 1 S k 1 k 1 a k 1 ka k

所以 即当 a k 1

ka k,则 a k 1 k k 1 k 2

1时猜想也成立.综合①②可知对于一切 n N 8, a n

1 nvr

都成立.

23.已知函数 f (x) In x (1)当 a 2时，求函数 f （x ）在点2, f （2）处的切线方程; （2）若当x 0, f(x) 3,求a 的取值范围. 1 y -x In 2 1 ； (2)

4

【解析】（1）

-- 1

当 a 2 时，f(x) In x - 1 x (x) 1

f(2) 4

3 一 ，、一

f 2 2 1n 2

'所以切线万程为

ln2 1

； (2)当 x 0

f(x) 3,即只需 f (x)min 3 f'(x )

当a 1时，即

a 1 0, f (x) 0, f(x)在 0,

上增，无最小值，舍去,

当 a 1 时，即

a 1 0, f (x) 0,得 x a 1, f(x) 0,得0 x a 1,

此时f (x)在 1, a 1上减，在 a 1, 上增， 即 f(x)min f a 1 2 1n a 1 3,解得 a 1 e,

综上a , 1 e .

24.已知函数 f x In x ax.

(1)讨论f x 的单调性；

…，、

1

(2)若f(x) a —恒成立，求a 的取值范围.

e

【答案】(1)见解析；(2) [1,).

e

・ 1

【解析】(1)易知x 0 , f (x) — a ,

x

(i)当a 0时f (x )>0对任意的x 0恒成立;

1

(-,)上单调递减. a

(ii)当a 0时，若

f ,x ) >0

,

综上，当a

x 在(0,)上单调递增;

(2) 由 f(x) a 1 e' 得1nx ax

0恒成立,

e_ x

1n x

恒成立,

令 g(x) In

x 则/、 g (x)

令

h(x)

e_ x

In x

In x

x __ (x 1n x

e ____ 1)2

1 1, e (x 1)2

0时,

， 1 、, _

在(0,」)上单调递增,

a

, 1 1

则h(x) — - 0 ,

x x

•♦・ h x在(0,)上单调递减，

又「h e 0,

•.在0,e 上h x 0,即g (x) >

0 ：

在(e,)上h x 0,即g (x)>0 ,

）上单调递减,

g x在0,e上单调递增，在(e,

1

•• g(x)max g(e)-, e

一1 ，一一 (1)

故a ―,即a的取值范围为［―,).

e e