广东省深圳市普通高中2020学年高二数学下学期5月月考试题(10)20

下学期高二数学5月月考试题10

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分, 共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的

1．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )

A．15 B．20 C．25 D．30

2．已知数列{a

n }的前n项和S

n

＝a n－1(a是不为0的实数)，那么{a

n

}

( )

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．可能是等差数列，也可能是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

3．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁

I

A”的 ( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．函数f(x)＝4cos x－ex2的图象可能是

( )．

5．正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，E、F分别是AA

1

、AB的中点，则EF与对角面BDD

1

B

1

所成角的度数是( )

A．30°B．45°

C．60°D．150°

6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

A.4

5

B.

3

5

C．－3

5

D．－

4

5

7．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

8．若直线x

a

＋

y

b

＝1经过点M(cosα，sinα)，则( )

A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1

C.1

a2

＋

1

b2

≤1 D.

1

a2

＋

1

b2

≥1

9．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

10、已知F

1、F

2

是两个定点，点P是以F

1

和F

2

为公共焦点的椭圆和双曲线的

一个交点，并且PF

1⊥PF

2

，e

1

和e

2

分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )

A.1

e2

1

＋

1

e2

2

＝4 B．e2

1

＋e2

2

＝4

C.1

e2

1

＋

1

e2

2

＝2 D．e2

1

＋e2

2

＝2

二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．

11．复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．

12．已知2＋2

3

＝2

2

3

，3＋

3

8

＝3

3

8

，4＋

4

15

＝4

4

15

，…，若

6＋a

t

＝6

a

t

(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t

＝________.

13．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)在(0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．

14．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．

15．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．

①当x＝3

2

时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极

小值；④当x＝1时函数取得极大值．

16.已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中点为

M(x

0，y

)，且y

≥x

＋2，则

y

x

的取值范围为________．

17．若函数f(x)＝13x 3－a 2

x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f(x 1)－

f(x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．

三、解答题：本大题有4小题, 共42分． 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18．(本题满分10分)

已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．

19．(本题满分10分) 如图，在梯形ABCD 中，

//AB CD ，2===CB DC AD ，ο30=∠CAB ，

A

B

C

D

E M F

H

四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，

3=CF ．

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ； （Ⅱ）设点M 为EF 中点， 求二面角C AM B --的余弦值．

20．(本题满分10分)

已知x

x

x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=

∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：

1

()()2f x g x >+；

（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

21．(本题满分12分)

已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为

半径的圆与直线0

x y

-+=相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2)

→

→

⋅OB

OA的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分, 共30分）

1、解析：在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数

为30.故选D.

答案：D 2、C

3、解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A∪B ＝I”是“B＝∁I A”的必要不充分条件．

答案：B

4、解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又f(0)＝4

－1＝3>0，排除C ，故选A. 答案 A

5、解析：如下图，∵EF ∥A 1B ，∴EF 、A 1B 与对面角BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故

∠A 1BM ＝30°.

∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.故选A. 答案：A

6．解析：由⎩⎨

⎧

y 2

＝4x

y ＝2x －4

得：y 2

－2y －8＝0, y 1＝4，

y 2＝－2.则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0) |AF|＝4－12

＋42＝5， |BF|＝1－12

＋－2－02

＝2

|AB|＝

4－1

2

＋

4＋2

2

＝3 5

cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|2

2|AF|·|BF|

＝25＋4－452×5×2＝－4

5

.

7、解析：写出逆命题，可知B 中b 与β不一定垂直．选B. 答案：B

8、解析：由点M(cosα，sinα)可知，点M 在圆x 2＋y 2＝1上，又直线x a ＋y

b ＝

1经过点M ，所以|ab|a 2＋b

2

≤1⇒a 2＋b 2≥a 2b 2，不等式两边同时除以a 2b 2

得1a 2＋1b 2≥1，故选D.

答案：D

9、解析： 因BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B 、C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．

答案： D

10、解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 则⎩⎨

⎧

|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②

.

①2＋②2得2(|PF 1|2＋|P F 2|2)＝4a 2＋4m 2，

又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2

，得2＝1e 21＋1

e 22

，故选C.

答案：C

二、填空题：（本大题有7小题，每题4分，共28分） 11、解析：z ＋1＝

－3＋2i

i

＝－3＋2i

i

i 2

＝2＋3i ，∴z ＝1＋3i ，∴实部为1

12、解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为

n ＋n n 2－1

＝

n

n

n 2

－1

，所以当n ＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41. 答案：41

13、 解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝－

2x ＋1

ax －1

x .根据

题意，只要使F(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立即可，①当a≤0时，F′(x)≥0，函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≤0在(0，＋∞)上不可能恒成立；②当a>0时，令F′(x)＝0，得x ＝1a 或x ＝－12(舍去)．当0

a 时，F′(x)>0，函

数F(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当x>1a 时，F′(x)<0，函数F(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ，＋∞上单调

递减．此时F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＝ln 1a ＋1a －1.令h(a)＝ln 1a ＋1a －1，

则h′(a)＝－1a －1a 2<0，所以h(a)在(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0，所以ln

1

a ＋1

a

－1≤0成立的充要条件是a≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)

14、解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a∥b ，且α⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b”，此命题为真命题．

答案：2

15、解析：从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f′(x)>0；当x ∈(1,2)时，f′(x)<0；当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．

答案：①

16、解析：如下图所示，点M 在射线AB 上，射线AB 的方程为y ＝－12x －

12⎝ ⎛⎭⎪⎫x≤－53，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－53，13，根据y 0x 0的几何意义可知y 0x 0的取值范围是(－12，

－1

5 ]．

答案：(－1

2

，－

1

5

]

17、解析：问题等价于在[0,1]内f(x)

max －f(x)

min

≤1恒成立．f′(x)＝x2－a2，

函数f(x)＝1

3

x3－a2x的极小值点是x＝|a|，若|a|>1，则函数f(x)在[0,1]上单调

递减，故只要f(0)－f(1)≤1即可，即a2≤4

3

，即1<|a|≤

23

3

；若|a|≤1，此时

f(x)

min ＝f(|a|)＝

1

3

|a|3－a2|a|＝－

2

3

a2|a|，由于f(0)＝0，f(1)＝

1

3

－a2，故当

|a|≤

3

3

时，f(x)

max

＝f(1)，此时只要

1

3

－a2＋

2

3

a2|a|≤1即可，即a2

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2

3

|a|－1≤

2

3

，

由于|a|≤

3

3

，故

2

3

|a|－1≤

2

3

×

3

3

－1<0，故此时成立；当

3

3

<|a|≤1时，此时f(x)

max

＝f(0)，故只要2

3

a2|a|≤1即可，此式显然成立．故a的取值范围是[－

2

3

3，

2

3

3]．

答案：[－2

3

3，

2

3

3]

三、解答题：(本大题有4小题, 共42分．)

18、

解：解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m

2－0

×1

＝－1，

解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r ＝|MP|＝

2－0

2

＋0－2

2

＝2 2.

故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l′的方程为y ＝－x －m. 由⎩⎨⎧

y ＝－x －m ，x 2

＝4y

得x 2＋4x ＋4m ＝0.

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切； ②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．

综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切．

解法二：

(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.

依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则

⎩

⎨⎧

4＋m 2＝r 2，

|2－0＋m|2＝r ，

解得⎩⎨

⎧

m ＝2，r ＝2 2.

所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．

19、(1)证明：ο60,2=∠===ABC CB DC AD

则4=AB ，122=AC ，则得222BC AC AB +=

AC BC ⊥∴，Θ面⊥ACEF 平面ABCD ，

面I ACEF 平面ABCD AC =

⊥∴BC 平面ACEF ． ……7分

（II ）过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,

则CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，13,3==HB CH ，

13

13

3cos =

∠CHB ，则二面角C AM B --的余弦值为

13

13

3． 20、

解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，x

x x x f 1

11)(-=

-

=' ……1分 ∴当10<

当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 …………3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令2

1

ln 21)()(+=+

=x x x g x h ，2

/ln 1)(x x x h -=， …………6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ………7分 ∴min max |)(|12

1

21211)()(x f e e h x h ==+<+=

= ………9分 ∴在（1）的条件下，1

()()2

f x

g x >+……………………………10分

（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，

/1()f x a x =-

x

ax 1

-=

① 当0≤a 时，(]e x ,0∈，所以0)(/

31)()(min =-==ae e f x f ，e

a 4

=

（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……12分 ②当e a

<<

10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1

(e a 上单调递增

3ln 1)1

()(min =+==a a

f x f ，2e a =，满足条件. ……14分

③ 当

e a

≥1

时，(]e x ,0∈，所以0)(/

a 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……15分 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3 .……16分

21、(1)解：由题意知12c e a ==，∴222222

14c a b e a a -===，即2243a b =

又b =

=2243a b ==，

故椭圆的方程为22

143

y x +=

(2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-

由22

(4)

14

3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=

由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：21

4

k <

设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则22121222

326412

4343k k x x x x k k -+==++， ① ∴

22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++

∴2222

212122

22

64123287(1)41625434343

k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++u u u r u u u r ∵

2

104k <≤，∴28787873443

k --<-+≤，∴13

[4)4OA OB ⋅∈-u u u r u u u r ， ∴OA OB ⋅u u u r u u u r

的取值范围是13

[4)4

-，．

(3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E(x 2，－y 2) 直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=

--，令y = 0得：11

2112

()

y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12

121224()

8

x x x x x x x -+=+- 由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)．