等腰三角形+角平分线

第一部分：知识点回顾

角平分线的性质及判定：

1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；

2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；

3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：

例：如图

角的平分线的性质定理的几何语言：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，

∴PD=PE

角的平分线的判定定理的几何语言：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上

等腰三角形的性质及判定：

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，

两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

2.等腰三角形的性质和判定

性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）

判定

(1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）

3.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

4.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

5.等边三角形有关判定

(1 )三条边都相等的三角形是等边三角形

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题

三角形的高中线与角平分线练习题综述

43 2 1E D C B A 1 C D B 三角形的高、中线与角平分线1 1 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ， PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )． (A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确 2、如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是( ) A. ∠3=∠4 B.∠B=∠DCE C.∠1=∠2. D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B. （1）试说明 CD 是ΔABC 的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。 4 如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数 5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由：因为 ∠1＝∠2 所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3 所以 ____∥____ ( ) 6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm

A．17 B．22 C．17或22 D．13 8．适合条件∠A=1 2∠B=1 3 ∠C的△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（） A．30° B．75° C．105° D．30°或75° 10．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 11．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________． 13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°， ∠BDC=80°，求∠C的度数．初一三角形的高、中线与角平分线2 1 如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）∠5的度数是多少？（3）求四边形ABCD各内角的度数． 2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠A＋∠C=________．

角平分线等腰三角形

角平分线与等腰三角形江苏刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图 3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥ AC ，分别交AB ，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．简析猜想： AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ．例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O 图3 图4 F C D E B A M 图2 F B A C D P E 图1 ① D ② C D C ④ F C D

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线一、知识概述 1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么

过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）

角平分线和平行线构成等腰三角形的探究

角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED

三角形的中线与角平分线

一．选择题（共10小题） 1．（2016秋?阿荣旗期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形 C．直角三角形D．周长相等的三角形【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 2．（2016秋?大安市校级期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线（） A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF 【分析】根据三角形的角平分线的定义得出．【解答】解：∵∠2=∠3， ∴AE是△ADF的角平分线； ∵∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线．故选D．【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段． 3．（2016春?蓝田县期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6， ∴BE=EC=6， ∵DE=2， ∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4．故选D．【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键． 4．（2017?泰州）三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键． 5．（2017?诸暨市模拟）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（）

用角平分线构造全等三角形

善于构造活用性质几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1．显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例1 三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．证明：过点I 作IH ⊥AB ,IG ⊥AC ,IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH =IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH =IF ∴IG =IF （等量代换）又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ， PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． D C B A E H I F G

【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，?故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．【证明】过P作PE⊥AC于E． ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，即BP是∠MBN的平分线． 2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3 △ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB?上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB． ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“H L”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE． ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．

三角形中线与角平分线专题(二)

.. 三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论：结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系．已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C

.. 应用举例：例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点， BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ， =∠n A . 图三图四例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点，如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．

三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)

2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用：学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线．通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点：能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点：在钝角三角形中作高． 4、教学关键：运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．

等腰三角形+角平分线

第一部分：知识点回顾角平分线的性质及判定： 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上等腰三角形的性质及判定： 1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”） 3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题

全等三角形与角平分线专题讲解

C E O D B A 2 1C E D B A 214 3 O A 全等三角形专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．

等腰三角形和角平分线

等腰三角形和角平分线 1、如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ ) A ．30° D ．32° C 36° D ．40° 第1题第3题第4题第5题 2、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ． 120°或150° D ．30°或120°或150 3、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则 ∠CBE 等于（） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 5、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 6、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为． 7、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是．第7题第8题 8、如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根． 9、如图，已知AE=BE,D 为AB 的中点，，，则 10、如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为_________. 11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为 D ，交BC 于 E ，BE=5，则AE=_______，∠AEC=________，AC=______. 12、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ． 12BF =3CF =AC =

三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论：结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系．已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C

应用举例：例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A . 图三图四例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点，如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．

角平分线与等腰三角形及答案

角平分线与等腰三角形 1．（2011?牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 2．（2010?西宁）（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．

3．（2007?福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 4．（2013?房山区一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和 BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE 和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_________（只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

解三角形题目的思考文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；常规解法及题根：（15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质：（1）平分角（2）到角两边距离相等（3）线段成比率中点性质与结论：（1）平分线段；（2）向量结论；（3）两个小三角形面积相等。题目解法搜集：解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7；在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。

20全等三角形中的角平分线-学生版

全等三角形中的角平分线中考要求知识点睛板块考试要求 A 级要求 B 级要求Ｃ级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边常是对应边．（４）有公共角的，公共角常是对应角．（5）有对顶角的，对顶角常是对应角. （6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边(或对应角）,一对最短边(或最小角）是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SA Ｓ)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(A ＳＡ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （３）边边边定理(S ＳS ）:三边对应相等的两个三角形全等. (４) 角角边定理(A ＡS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理（H Ｌ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 第十讲

例题精讲奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, 3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 【例1】如图，已知ABC ?的周长是21,OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于 D ，且3OD =,求ABC ?的面积．【例2】在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =,求证:AB AC =．【例3】如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠． A D O C B D C B A

中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大)

中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用一、知识点回顾 1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. 2、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 1、等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 4、等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 D 2 1P C A B E O

二、典型例题讲解 1、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上. 2、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。求证： 90o ACB ∠= 3、如图，已知：在,90,30o o ABC C A ?∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。求证：AF=FG=BG 。 4、如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。求证：FG//AC A F E A M E F B A C D F B A

专题复习：全等三角形与角平分线

专题全等三角形与角平分线?解读考点知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、 ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题 ?2年中考【2015年题组】 1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC ＝BD 【答案】D．

【解析】试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选D．考点：全等三角形的判定． 2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（） A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质． 3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得

(完整版)初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点

初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别）角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全说课讲解

全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等?对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种. 1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形. 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件 . 图四 M B 图一 M 图 M B 图三

典型例题精讲【例1】如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且PD丄BC于D, AB+ BC 2BD . 求证：BAP+ BCP 180 . 【解析】过点P作PE丄AB于点E. VPE± AB, PD 丄BC, BN 平分/ABC,：PE PD . 在Rt APBE 和Rt APBC 中， BP BP PE PD ???Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE BD . T AB BC 2BD , BC CD BD , AB BE AE , ? AE CD . ??PE丄AB, PD 丄BC ,? PEB PDB 90 . 在AFAE 和Rt APCD 中， PE PD PEB PDC , AE DC ? △AE织t A^CD , ? PCB EAP . ?/ BAP EAP 180 , ? BAP BCP 180 . 【答案】见解析.