等腰三角形、角平分线、中垂线

一、角平分线、中垂线

例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，则BCE ?的周长为．

例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF

例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD

例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．

例5 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3，

21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD

训练一下：

1．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.

2．如图，在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF

3．如图，在ABC ?中，AB=AC ，ο36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF

4．如图，ABC ?中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD

5．如图，在ABC ?中，ο90=∠ABC ，ο

60=∠ACB ， BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF

二、等腰三角形、等边三角形

（1）求角的度数

例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.

（2）证明角相等

例、已知：如图，AB=AD ，∠B=∠D 。求证：AC 平分∠BCD 。

（3）证明线段相等

例、如图所示,已知△ABC 和△CDE 是等边三角形求证:BD=AE

（4）证明问题

例、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．

训练一下：

1、如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边，在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE 。连结AE 交BD 于M ，连结CD 交BE 于N ，连结MN 得△BMN ，试判断△BMN 的形状？为什么？

2、如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF.试判断∠B 与∠CAF 的大小关系，并说明理由.

3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 上，点D 在AC 的延长线上，且CD ＝EB ，ED 交BC 于M.求证：EM ＝DM.

M E D C B A E M D

C B A

F C D B A

4、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长

BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．

5、如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）

的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．

在图（1）中，点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321．

在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．

（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）

（2）证明图（2）所得结论；

（3）证明图（4）所得结论．

（4）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， RS =n ，BC =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为：；图（4）与图

（6）中的等式有何关系？

作业：

1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是．

（1）B B ′⊥ （2）BC= B ′C

（3）ACB ∠=AC ∠ B ′ （4）ABC ∠=∠A B ′C

2．在ABC ?中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，若ο25=∠B ，AD=CD ，则ο25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，ACB ∠= ．

3．在ABC ?中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，交AC 于D ．若BDC ?的周长为24，AB=14，则BC= ；若ο40=∠A ，则DBC ∠= ．

4．在ABC ?中，ο120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，若BC=9cm ，则APQ ?的周长为 cm.

5．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为．

6．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ?的周长为．

7.已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，A B ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AC ＝DF ，BF ＝CE 。求证：GF ＝GC 。

培优一下：

等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．

1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（）．

A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

2．如图，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′＝AB＝B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．D是AB边上的点，且AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝________．

4. 如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E是等边三角形ABC的AC边延长线上一点，且EB＝ED．那么CE与AD相等吗？试说明理由．

线段垂直平分线和角平分线(经典)

七年级线段的垂直平分线与角平分线一、线段垂直平分线 (一）、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等例题 1、如图，已知AB = AC = 14cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D 。 1）若△DBC 的周长为24cm ，则BC = （） cm ； 2）若BC = 8cm ，则△BCD 的周长是（）cm 。课堂练习 1、在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，D ，BE=6，则△BCE 的周长是．（1题图）（2题图）（3题图） 2、如图,AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. 3、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么 △BCD 的周长是_______cm. 4、如图，已知点D 在AB 的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC 的周长是 cm 。 5、如图（2），在ABC Rt ?中，090=∠ABC ，030=∠B ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中等于060的角有个，分别是： . C B A D E 300 D E B C A 图（2）

6、如图（3），在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，则 . 7、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是( ) 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，垂足为E ．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC 的度数和CD 的长． 9、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ，（1）∠PCD=∠PDC 吗？为什么？（2）OP 是CD 的垂直平分线吗？为什么？ 10、如图所示，点A 、点B 和点C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，请给予说明理由。 A B C 500B C N A 图（3）

初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线

三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】 1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。 2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明 3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法. 【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。【本节知识点】 1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等. 3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线. 【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴二、填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.

3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________. 4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度. 5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm. （4）（5）三、选择题 1.下列各语句中，不是真命题的是 A.直角都相等 B.等角的补角相等 C.点P在角的平分线上 D.对顶角相等 2.下列命题中是真命题的是 A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 B.相等的角是对顶角 C.余角相等的角互余 D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC 的平分线上，以上结论中，正确的是 A.只有① B.只有② C.只有①和② D.①，②与③ 四、解答题

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线一、知识概述 1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么

过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）

等腰三角形、角平分线、中垂线doc资料

等腰三角形、角平分线、中垂线一、角平分线、中垂线例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为 28，BC=8，则BCE ?的周长为．例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．例5 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3，

21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD 训练一下： 1．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm. 2．如图，在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF 3．如图，在ABC ?中，AB=AC ，ο36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF

4．如图，ABC ?中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD 5．如图，在ABC ?中，ο 90=∠ABC ，ο 60=∠ACB ， BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF 二、等腰三角形、等边三角形（1）求角的度数例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数. （2）证明角相等

中垂线与角平分线

中垂线判断 ( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内. ( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点. ( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°. ( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点. ( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上. 选择 1.到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点 2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( ) A.17° B.34° C.68° D.136° 4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( ) A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( ) A．6个 B.5个 C.4个D3个填空 1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上. 2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= . BE= . 3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则 BC 4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= . 5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= . 6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的. 角平分线同步练习判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.

垂直平分线与角平分线典型题#(精选.)

线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1 图2

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。课堂笔记：针对性练习：已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A

角平分线与线段中垂线

角平分线与线段中垂线教学目标：整理基础知识与基本方法，巩固典型题型。教学重点：典型题目的解答与变型。教学过程：一、基础知识汇总（10分钟）（学生填，学生纠正，教师规范） 1、角平分线上的点到相等 2、线段中垂线上的点到相等 3、到角两边距离相等的点一定在上 4、到线段两端点距离相等的点一定在上 5、作出下列角的平分线与线段的中垂线（保留作图痕迹） 6、三角形内角平分线交点到距离相等，是三角形的圆心. 7、三角形三边中垂线交点到距离相等，是三角形的圆心. 二、典型题目 1、请做出△ABC的外接圆与△DEF的内切圆（5分钟）（学生做图，教师巡视） 2、如图：请在直线AB上找一点P，使PC＋PD的长度最短。（5分钟） 3．已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P. 求证：P在∠A的平分线上．（5分钟） 4、在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分对边BC为3cm和4cm的两部分. 求：平行四边形ABCD的周长.（5分钟）

5、如图已知在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ，过点P 分别作PN ⊥AB 于N ，PM ⊥AC 于点M ．求证：BN ＝CM ．（5分钟）三、小结：阅读与巩固第一部分知识点，梳理本节例题思路。（5分钟）课后作业： 1、如图：BP 、CP 是△ABC 的角平分线，过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于点D 、E ，AB ＝10，AC ＝8,则△ADE 的周长为 . 2、如图：已知BP 、CP 是△ABC 的角平分线，∠A ＝80°. 则∠P 的度数为 3、如图：已知在△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC ＝135°，则∠DAE ＝_______ 4、如图：∠AOB=60°,OC 为角平分线，OD ＝6，E 、F 分别为OC 、OB 上的两动点，求：DE ＋EF 的最小值. 5、如图，OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD=PE.求证：∠+∠=?PDO PEO 180。 *6、已知：AD 是等边△ABC 的高，AB=6，某人沿AD 以每秒2个单位的速度前进到E ，然后再从E 点每秒一个单位的速度直线前进到B ，问当AE 为多少时，这个人从A 到E 再到B 所用的时间最短？ A B C P M N Q C A B E D M N

用角平分线构造全等三角形

善于构造活用性质几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1．显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例1 三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．证明：过点I 作IH ⊥AB ,IG ⊥AC ,IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH =IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH =IF ∴IG =IF （等量代换）又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ， PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． D C B A E H I F G

【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，?故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．【证明】过P作PE⊥AC于E． ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，即BP是∠MBN的平分线． 2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3 △ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB?上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB． ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“H L”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE． ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．

三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点

证明：三角形三边中垂线必交与一点在三角形ABC中作AB和AC的中垂线，交于O点则由中垂线性质可知AO=BO，AO=CO 故BO=CO 过O作BC的垂线，垂足为D，则由BO=CO与OD=OD可证得Rt三角形ODB全等于Rt 三角形ODC 故BD=CD，即OD为BC的中垂线则AB和AC、BC的中垂线都交于O

证明：三角形三个内角角平分线必交与一点设三角形ABC，首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点，设为D，分别过点D作三边垂线，AB BC AC上的垂足为E F G 由角平分线定理，DE=DF，DE=DG 所以DF=DG，由逆定理，CD也为角平分线证明：三角形三边高线必交于一点 1如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG 延长交BC与F，现在要证明AF⊥BC。由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以∠DAG=∠DEG 同理有DEBC四点共圆，所以有∠BCD=∠DEG 所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=90度所以AF⊥BC

2利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。1.塞瓦定理的逆定理设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF 交于一点。 3.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点证明：三角形三边中线必交于一点三角形ABC的中线BE和CD交点O，连接并延长AO交BC于F，证明：F是BC中点。作BG平行DC交AO延长线于G 则因D为AB中点,所以O为AG中点连接GC,则在三角形AGC中,OE是中位线 OE平行GC 所以BOCG为平行四边形 F平分BC，F是BC中点。

中考专题：垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝ BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A

中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大)

中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用一、知识点回顾 1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. 2、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 1、等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 4、等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 D 2 1P C A B E O

二、典型例题讲解 1、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上. 2、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。求证： 90o ACB ∠= 3、如图，已知：在,90,30o o ABC C A ?∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。求证：AF=FG=BG 。 4、如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。求证：FG//AC A F E A M E F B A C D F B A

全等三角形与角平分线专题讲解

C E O D B A 2 1C E D B A 214 3 O A 全等三角形专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．

垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．

4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________．第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．

8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．

线段的垂直平分线与角平分线专题复习教程文件

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。图1 图2

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 图4

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线 ◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例） ①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >2 1MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线 . 为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有?? ???===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS 从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上 ◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例） ①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ； ②选一半径满足r >2 1AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ； ③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.

为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有?? ???===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO （两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线. ◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例） ①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N； ②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q； ③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.

角平分线和线段垂直平分线的性质

1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 一、选择题：图1

1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于（） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（） A ．PD>PC B ．PD