数学方法篇：待定系数法

数学方法篇二：待定系数法

对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：

一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

例1.若2x6x k

++是完全平方式，则k=【】

A．9 B．－9 C．±9 D．±3

二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

例2.

已知

a13

=，则

a b

的值是【】

A．

B．

C．

D．

三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。

例3.分解因式：2x x2

+-＝。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：

例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m

－n＋3)2的值等于．

例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S

△BOC

=2，求点C的坐标．

例 6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗

﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．

（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；

（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？

例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原

点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，

EF＝3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式；

(2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说

明理由．

例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，

﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：

例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦

举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

年份1896 1900 1904 (2012)

届数 1 2 3 …n

表中n的值等于．

例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个

图案中阴影小三角形的个数是．

例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，

如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公

差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二

阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，

6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶

等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．

六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形

对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，

通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例12.如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果

AB2

BC3

=，那么tan

∠DCF的值是___________ ．

例13.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’

经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，

的值为【】

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例14.等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为

边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：AM=AN；

（2）设BP=x。①若，BM=

，求x的值；

②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此

时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

待定系数法求递推数列通项公式

用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形对应系数待定递推数列数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠）例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列 12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n n a =-。启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？

人教B版高中数学必修一【学案12】待定系数法

学案十三待定系数法一、三维目标： 1、知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法； 2、能力目标：（1）尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质。二、教学重点与难点重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。三、教学方法采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P61—P62，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标。 1. 待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________. 2. 利用待定系数法解决问题的步骤： ○ 1确定所求问题含有待定系数解析式. ○ 2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○ 3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3.正比例函数的一般形式为_____________________, 一次函数的一般形式为___________________________。 4. 用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式： ○ 1 一般式：c bx ax y ++= 2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○ 2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）.

中考数学待定系数法解题技巧

中考数学待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确定所求问题含待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x =，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x = + (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0)

用待定系数法求函数表达式

21.3用待定系数法确定一次函数表达式【教材分析】本节是冀教版数学八年级下册第二十一章第三节内容.在此之前学生已经能够根据实际问题的意义写出函数表达式,并且知道一次函数的意义及其性质,本节是在此基础上学习确定一次函数的表达式的方法,这一节内容在本章及初中的函数学习中都占有重要地位. 【教学目标】（1）知识与技能：1、能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法. 2、会用解二元一次方程组的方法求y=kx+b中的待定系数k与b. （2）过程与方法：经历观察、猜测、探索、合作交流等过程，锻炼学生的总结归纳能力，培养学生数形结合的数学思维. （3）情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神、合作精神. 【教学重难点】重点：利用待定系数法求一次函数的表达式难点：待定系数法的探索过程【教学方法和手段】 1、综合采用启发式、讨论式、探究式的教学方法 2、借助多媒体课件运用联想、猜测、观察、讨论等多种教学手段【教学过程设计】 (一) 创设情境利用多媒体课件出示温故而知新的画面,出示复习问题 1 、请你给大家说一说一次函数和正比例函数的意义 2、请你为大家描述一下一次函数和正比例函数图像的特点 3 、请你在平面直角坐标系中画出正比例函数y=2x和一次函数y=2x+3的图像（设计意图:问题1、2 为本课课题服务的.在质疑中发现问题,在问题中展开教学,可以激活学生的数学思维,在解决问题中深化学生对知识的理解.） (二)尝试与探索通过正比例函数和一次函数表达式,我们可以画出它们的函数图像;反过来,如果给你一个函数图像,你能求出它的函数表达式吗?我们一起来看下面两个问题. 1、抛出问题 (1)现有位同学画了如图所示的一条直线，但是他忘记了写表达式，

2020高考数学解题方法攻略特殊证法理科

【文库独家】数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在30分左右。这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测2012年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识交汇】 1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。 2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、

用待定系数法确定一次函数

用待定系数法确定一次函数教学目标 1.使学生了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数；能由两个条件确定解析式或者能根据函数的图象确定一次函数的解析式。 2、通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性；进一步提高分析概括、总结归纳能力；利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力。 3、积极思考、勇跃发言，养成良好学习习惯；独立思考、合作探究，培养科学的思维方法。重点会用待定系数法确定一次函数的表达式难点从图象上捕捉信息教学方法引导法，探究法，分析法，归纳法教学过程：一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x 的图象（引入新课）在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。二、合作交流、解读探究 1.求右图中直线的函数表达式。分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，二条可设它的表达式为y=kx,将三条点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k 、b 的二元一次方程组，从而确定了k 、b 的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。即如果有一个系数，只要利用一点坐标列出关于k 的一元一次方程即可；如果有2个系数，则要用2个点的坐标列出关于k,b 的二元一次方程组。探究：已知:一次函数的图象经过点(0，-1)和点(1，1),求出一次函数的解析式. 解：设一次函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿，把点＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿代入解析式得＿＿k+b=＿＿ k=＿＿＿＿k+b=＿＿解得， b=＿＿把k=____，b=____ 代入y=kx+b 中，得一次函数解析式为__________. 问：通过以上各题，你能归纳出求一次函数解析式的步骤了吗？就是先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程，求出未知系数，从而得到所求结果。归纳：这种求一次函数的解析式的方法叫待定系数法，它的步骤可归纳为： “一设二列三解四还原”．具体的说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y ＝kx +b （k ≠0）；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组；图2 图1

高中数学解题基本方法--待定系数法

高中数学解题基本方法--待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2 ，最小值为－ 1 2 ，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x2－y2 4 ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是 ____________。

无锡新领航教育高三二轮专题辅导(6)数学方法之特殊证法

【专题六】数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在30分左右。这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测2013年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识归纳】 1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。 2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 3．数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命

第 10 讲待定系数法(高中版)

第 10 讲待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．； 3．；。其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

初中数学竞赛：待定系数法

初中数学竞赛：待定系数法【内容提要】 1、多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1), x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7). 都是恒等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2). 求：①a+b+c ； ②a －b+c. 解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4. ②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0. 2、恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n － 1+……+b n －1x+b n 那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n . 上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4. ∴a=2, b=－2, c=－4. ∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0. 3、待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 【例题】例1. 已知：2 3)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值. 解：去分母，得

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题专题六：数学方法之特殊证法3

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题专题六：数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在30分左右。这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识交汇】 1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。 2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反

高中数学-函数待定系数法练习

高中数学-待定系数法练习课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.

故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得解得故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()

待定系数法

初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要 1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1), x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7). 都是恒等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2). 求：①a+b+c ； ②a －b+c. 解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4. ②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0. 2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n 那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n . 上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4. ∴a=2, b=－2, c=－4. ∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0. 3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 二、例题例1. 已知：2 3)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值. 解：去分母，得 x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3). 根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－3 1. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝15 8. 当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝5 4. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）. 例2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 解：用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d

待定系数法求解析式

待定系数法求函数解析式【要点梳理】一．已知三点求抛物线解析式例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．五．求平移后新抛物线解析式例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线，并写出新抛物线解析式．【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式：（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添加一个适当的条件，把原题补充完整．【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解析式．

湘教版八年级数学下册用待定系数法确定一次函数表达式教案

4.4 用待定系数法确定一次函数表达式教学目标知识与技能 1．学会用待定系数法确定一次函数表达式． 2．了解两个条件确定一个―次函数；一个条件确定一个正比例函数．过程与方法 1．经历待定系数法的运用过程，提高研究数学问题的技能． 2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体验数形结合思想，具体感知数形结合思想在一次函数中的运用．情感、态度与价值观能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识应用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．重点难点重点：待定系数法确定一次函数表达式．难点：灵活运用有关知识解决相关问题．教学设计 —、创设情景 1．复习：画出函数y=3x，y=3x-1的图象． 2．反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？可以有不同取法吗？ 3．引入新课：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题．二、探究新知 1．设直线的表达式是y=kx+b，因为此直线经过点P(-20，5)，Q(10，20)，因此将这两个点的坐标代入，可得关于k、b的方程组，进而确定了k、b的值，确定了表达式．(写出解答过程)

2．反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定函数的表达式需要两个条件．初步运用，感悟新知．已知一次函数的图象经过点(3，5)和(-4，-9)，求这个一次函数的表达式．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b． ∵y=kx+b的图象过点(3，5)和(-4，-9)． ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1．像这样先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知数的系数，进而求出函数表达式的方法，叫作待定系数法．例题解析例1 温度的测量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度测量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度测量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法把华氏温度换算成摄氏温度？例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图. (1)求y关于x的函数表达式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？三、综合运用 1．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，-1)，则该函数图象必经过点( ) A．(-1，1) B．(2，2) C．(-2，2) D．(2，-2) 2．若直线y=kx+b平行于直线y=3x+2，且在y轴上的截距为-5，则k=_____，b=______．3．写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2，3)．

高中数学第二章函数2.2.3待定系数法练习

2.2.3 待定系数法课时跟踪检测 [A 组基础过关] 1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2) D ．(－3，－2) 解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6 x ，过(3，－2)点．故选C ．答案：C 2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 ＋1 B ．y ＝x 2 ＋1 C ．y ＝－x 2－1 D ．y ＝x 2 －1 解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2 ＋1，故选A ．答案：A 3．函数y ＝ax 2 ＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( ) 解析：y ＝ax 2 ＋bx 的图象过原点，故A 错；由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b 2a >0， ∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错；两图象的交点为? ?? ??－b a ，0，故选D ．

答案：D 4.如图，抛物线y ＝－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( ) A ．－53 B ．0 C ．－5 3 或0 D ．1 解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)，则x 1，x 2是方程－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根，即x 2 －2(m ＋1)x －m －3＝0， ∴????? x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2， ∴????? －2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2 2＝－m －3， ∴m ＝0，m ＝－5 3(舍)，故选B ．答案：B 5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8， ∴? ?? ?? a 2 ＝9，ab ＋b ＝8，∴? ?? ?? a ＝3， b ＝2或? ?? ?? a ＝－3， b ＝－4，故选D ．答案：D 6．已知抛物线y ＝ax 2 与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．答案：? ?? ??－14，14 7．反比例函数y ＝12 x 的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数

用待定系数法求一次函数解析式

14.2.2 一次函数(3) 用待定系数法求一次函数解析式教学目标 1．知识与技能会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数. 2．过程与方法经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合． 3．情感、态度与价值观培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度．重、难点与关键 1．重点：待定系数法求一次函数解析式． 2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题. 3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、?加减法解一次函数中的待定系数．教学方法采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵．教学过程一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x, 的图象 2引入新课：在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 332y x =-+图1 图2 y=2x 332 y x =-+

二．提出问题，形成思路 1.求下图中直线的函数表达式。图1 图2 分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y=kx ,将点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。初步应用，感悟新知【例1】 1.已知一次函数的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求（1）这个一次函数的解析式；（2）当x=5时，函数y的值. 【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b．【教师活动】分析例题，讲解方法．【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考．解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．依题意得：解得这个一次函数的解析式为y=-3x-2．像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。

高中数学特殊证法归纳

高中数学特殊证法归纳【知识交汇】 1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。 2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 3．数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 4．不等式的证明方法（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”与“作商法”，比