§ 4 不定积分习题与答案
第四章 不定积分
（Ａ）
１、求下列不定积分
１）?2x dx ２）?x x dx 2
３）dx x ?-2
)2( ４）dx x
x ?+2
2
1
５）??-?dx x
x
x 3
2532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos
７）dx x e x
)32(?
+
８）dx x x x
)1
1(2?-
２、求下列不定积分（第一换元法）
１）dx x ?-3
)23( ２）
?
-3
32x
dx
３）dt t
t ?
sin ４）?
)
ln(ln ln x x x dx
５）?x
x dx
sin cos ６）?-+x x e e dx
７）dx x x )cos(2
? ８）dx x x ?-4
3
13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x
?--2491
11）?-1
22x dx 12）dx x ?3
cos
13)?xdx x 3cos 2sin 14)?
xdx x sec tan 3
15) dx x x ?+2
3
9 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17)
dx x
x ?
-2
arccos 2110 18)dx x x x
?
+)
1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法）
１）dx x
x
?+2
11 ２）dx x ?sin
３）dx x x ?
-42 ４）?>-)0(,222
a dx x
a x
５）?
+3
2
)
1(x dx ６）
?+
x
dx 21
７）
?-+
2
1x
x dx ８）
?-+
2
11x
dx
４、求下列不定积分（分部积分法）
１）inxdx xs ? ２）?
xdx arcsin
３）?xdx x ln 2
４）dx x
e
x
?
-2
sin 2
５）?xdx x arctan 2 ６）?
xdx x cos 2
７）?xdx 2
ln ８）
dx x x 2
cos 2
2?
５、求下列不定积分（有理函数积分）
１）dx x x ?+3
3
２）?-++dx x x x 1033
22
3）
?+)1(2x x dx
（Ｂ） １、
一曲线通过点)3,(2
e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲
线的方程。
２、
已知一个函数)(x F 的导函数为
2
11x -，且当1=x 时函数值为π2
3
，试求此函数。
３、
证明：若
?+=c x F dx x f )()(，则
)0(,)(1
)(≠++=+?
a c
b ax F a
dx b ax f 。
４、 设)(x f 的一个原函数为
x
x
sin ，求?'dx x f x )(。
５、
求下列不定积分
１）dx x
?
2
cos 2
２）dx x ?-2sin 1
３）?
+dx x x
211arctan
４）dx x
x x ?+-11 ５）?++))((2222b x a x dx
６）dx x a x x ?-2
7）
?+dx x
x
x ln 1ln 8）?
+dx x xe x 2
32arctan )
1(
（Ｃ）
１、求以下积分
１）?
-dx e xe x x 1
2)?
+x
x dx
sin 2)2sin(
３）dx e e x x ?2arctan ４）dx x x ?+435
1
５）dx x x
x ?+-1
8
5 ６）dx x x x x ?+cos sin cos sin
第四章 不定积分 习 题 答 案
（Ａ）
１、（１）c x +-1 （２）c x +--
23
3
2
（３）
c x x x ++-423
123
（４）c x x +-arctan （５）c x x
+--3
ln 2ln )32(52 （６）c x x ++-)tan (cot （７）c x e x
++ln 32 （８）
c x
x ++4
27)7(4
２、（１）c x +--4
)23(81 （２）c x +--32
)32(2
1
（３）c t +-cos 2 （４）c x +ln ln ln （５）c x +tan ln （６）c e x
+arctan
（7）
c x +)sin(212 （８）c x +--41ln 43
（9）c x
+2
cos 21 (10)c x x +-+24941
32arcsin 21 (11)
c x x ++-1
21
2ln 221
(12)c x
x +-3sin sin 3 (13)
c x x +-5cos 101cos 21 (14)c x x +-sec sec 31
3 (15)
c x x ++-)9ln(292122 (16)c +3
2arctan 321 (17)c x
+-
10
ln 210arccos 2 (18)c x +2)(arctan 3、(1)c t t +-cot csc ln （2）c x x x +--)sin cos (2
（3）c x
x +--)2
arccos 24(tan 22
(4)c x a a
x a x a +--)(arcsin 22222
(5)
c x
x ++2
1 (6)c x x ++-)21ln(2
(7)
c x x x +-++)1ln (arcsin 212 (8)c x
x x +-+-211arcsin
4、(1)c x x x ++-sin cos (2)c x x x +-+21arcsin
(3)
c x x x +-3391ln 31 (4)c x
x e x ++--)2sin 42(cos 1722 (5)c x x x x +++-)1ln(6
161arctan 312
23 (6)c x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2
（7）c x x x x x ++-2ln 2ln 2
(8)
c x x x x x x +-++sin cos sin 21612
3 5、(1)c x x x x ++-+-3ln 2792
3312
3 (2)c x x +++-5ln 2ln
(3)c x x ++-)1ln(21ln 2
(4) c x x x x +-+-+-arctan 2
1)1ln(411ln 21ln 2
(5)c x x x x ++++++-3
1
2arctan 3311ln 2122
(B)
1、 设曲线)(x f y =，由导数的几何意义：x y 1='，c x dx x
+=?ln 1，点)3,(2
e 代入即可。
2、 设函数为)(x F ，由2
11)()(x
x f x F -=
='，得
C x dx x f x F +==?arcsin )()(，代入)2
3
,1(π即可解出C 。
3、 由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故
c b ax F a
dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+?)(1
)(),(])(1[。 ４、把)(x f '凑微分后用分部积分法。
５、（１）用倍角公式：2
cos 12cos
2
x
x += （２）注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。
（３）利用)cot (11
,cot 1arctan 2
x arc d dx x
x arc x -=+=。 （４）先分子有理化，在分开作三角代换。
（５）化为部分分式之和后积分。 （６）可令t a x 2
sin 2=。
（７）可令,sin )(2t a b a x -=-则t a b x b 2cos )(-=-。 （８）令t x =+ln 1。 （９）分部积分后移项，整理。 （１０）凑x
e
arctan 后分部积分，再移项，整理。
（１１）令t x
=2
tan
。 （１２）变形为
?
-?--4
)2(2
3
x x x dx 后，令
t x x =--2
3
， 再由2211t x =--
，两端微分得tdt dx x 2)2(1
2
=-。
（Ｃ）
1） 解：令1-=x e u ，则du u
u
dx u x 2
2
12),1ln(+=
+= 所以原式du u
u u u du u ??+-+=+=2
2
22
14)1ln(2)1ln(2 c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22
c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412
2）解：方法一：
原式???==+=2
cos 2tan )
2(tan 412cos 2sin )2(4
1)cos 1(sin 22
3x x x d x x x d x x dx c x x x d x x
++=+=?2
tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122 方法二：令t x
=2
tan
方法三：变形为
?+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx
，然后令u x =cos
再化成部分分式积分。 3）解：原式)(arctan 2
12?--
=x
x e d e ])
1()(arctan [21222?+--=-x
x x x
x e e e d e e （令u e x
=）])1(arctan [21222?+-
-=-u u du
e e x
x
]1arctan [212
22??++--=-u du u du e e x x []
c e e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2
1
2
4）解：原式)](1
1)(11[31)(131********
433x d x x d x x x d x x ???+-++=+=
)]1()1()1()1([3
1341
334
3
3++-++=??-x d x x d x
c x x ++-+=43
3473)1(9
4
)1(214
5）解：原式??-++=+-=----2)()(2122222443x x x x d dx x
x x x ，令2
2-+=x x u c u u u du ++-=-=
?22
ln 2412212 c x x x x ++++-=1
212ln
2
412
4
24
6）解：原式dx x
x x x ?+-+=
cos sin 1
1cos sin 221
dx x
x dx x x x x ??+-++=cos sin 121cos sin )cos (sin 212 ?++
--=)
4
sin()
4(2
21)cos (sin 21ππ
x x d x x
?+-++-=)
4
(cos 1)
4cos(221)cos (sin 212π
x x d x x
)4cos(])
4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=?x d x x x x c x x x x ++-+++-=)
4
cos(1)
4cos(1ln 241)cos (sin 21ππ
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
大学高等数学第四章 不定积分答案
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成
正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π ，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
§4不定积分习题与答案
第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx
５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
第4章不定积分(自测题答案)
《高等数学》单元自测题答案 第四章 不定积分 一、填空题： 1、2ln 2 22 x x ； 2、2 2 ； 3、C x +-2 2 )1(21 ； 4、C x ++1tan 2； 5、C x x ++3 3 1ln 31． 二、选择题： 1、C ； 2 、C ； 3、B ． 三、计算下列不定积分： 1、解 ?? ??+- = +-+= += +x x x x x x x x x x de e de e e de e e dx e e )111(111112 C e e e d e de x x x x x ++-=++- = ??)1ln()1(11 。 2、解 ? ?? +- += +-dx x x dx x x dx x x x 2 2 2 1arctan 11arctan C x x x xd x x d +- += - ++= ??2 2 2 2 )(arctan 2 1)1ln(2 1arctan arctan 1)1(2 1。 3、解 令t x sin =，则tdt dx cos =，且 ??? ? -+-= +=-+= -+dt t t t t dt t t t tdt x dx )cos 1)(cos 1() cos 1(cos cos 1cos sin 11cos 112 2 ? ? ? ?? -- = - = -= dt t t t t d dt t t dt t t dt t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1sin sin sin cos sin cos sin cos cos C x x x x C t t t ++-+ - =+++-=arcsin 11cot sin 12。 4、解 令12-= x t ，则)1(2 12 += t x ，tdt dx =，且 ?? ?? +- = +-+= += +-dt t dt t t dt t t dx x )1 11(1 111 1 121 C x x C t t +-+--=++-=)121ln(12|1|ln 。 5、解 ????? - =- ==dx x e x e x d e x e de x dx x e x x x x x x 2 1 2cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )2 c o s 2c o s (212s i n 2c o s 21 2 s i n ??- -=- =x d e x e x e de x x e x x x x x ?-- =dx x e x e x e x x x 2sin 4 12 cos 212 sin 所以，C x e x e dx x e x x x +- = ?)2 cos 2 12 sin (542 sin 。
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分（Ａ） １、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１） ?dx2?dx)(x?22x1?４）３） 2x ??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos 13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７） ２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５） ?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７） 3x3 x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９） dx?3?dxxcos21?2x12）11 ） 3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13) ??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15) 3x1 ??dxdx)x?(x12x?117) 18) x2arccos arctanx10 精品文档． 精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１） ?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３） 2x24x? dx dx??32)1(x?x21?６）５） dxdx??22?1?x1?x1?x７）８） ４、求下列不定积分（分部积分法） ??xdxarcsinxsinxdx１）２） x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）
?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22 ５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１） 3x?2?dx210??3xx２） dx?2)?x(x1 3 ） （Ｂ） 2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。时函数值为 精品文档． 精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。xsin??dxx(xf) )(xfx。4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１） 1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４） dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx ?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7） ?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx ?dx?dx341x?x2e４）３） 5x x earctan ??dxdx8xxsincos?1?x５）６） 5x?xxxsincos 精品文档． 精品文档不定积分第四章 答案习题 （Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
高等数学第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将
第四章不定积分试题与答案
第四单元 不定积分 一、填空题 1、? dx x x =___________。 2、?x x dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。 4、 ?-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、?+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ?sin =___________。 7、?xdx x sin =___________。 8、?xdx arctan =__________。 9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。 10、? =''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。 12、 ?=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的. （A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?； （C ） ()()x f x df =? ； （D ） ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ?等于（ ） （A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。
3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若?+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ） （A ）c x +35 56；（B ）c x +35 59；（C ）c x +3 ；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++)ln 41 21 (2；（B ）c x x ++)ln 21 41(2； （C ）c x x +-)ln 21 41(2；（D ）c x x +-)ln 41 21(2。 6、设c x dx x f +=?2)(，则=-?dx x xf )1(2（ ） （A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2； （C ）c x +--22)1(21 ；（D ）c x +-22)1(21 。 ７、=+-?dx e e x x 11 （ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。 10、=?-??dx x x x 23223（ ） （A ）C x x +?-)23(23ln 23； （B ）C x x x +?--1)23 (23； （C ）C x +?--)23 (2ln 3ln 2 3； （D ）C x x +?--)23 (2ln 3ln 23。