【必考题】高一数学下期末试题附答案

【必考题】高一数学下期末试题附答案

一、选择题

1．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3

D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3

2．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，

()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3

2

BQ CP ?=-，则λ=（ ）

A ．

12

B ．

12

± C ．

110

± D ．

322

± 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若

sin 5sin 2A c

B b

=，7sin B =

，57ABC S =△，则b =（ ） A ．23

B ．27

C ．15

D ．14

4．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个

单位长度，得到曲线C 2

6．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()2

10216()122x

x x f x x ?≤≤??

=????

> ????

?，若关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24??

-- ??

? B ．11,24??

-

- ??

? C ．1111,,2448??

??

-

--- ? ???

??

D ．11,28??

-

- ???

7．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ?=，点C 在AB 上，且30AOC ?∠=，设

OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则

m

n

的值为（ ） A ．

13

B ．3

C ．

33

D ．3

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．20

B ．10

C ．30

D ．60

9．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线

:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,

2

B ．3(0,]4

C ．32

D ．3[,1)4

10．与直线40x y --=和圆2

2

220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()2

2

112x y +++= B ．()()2

2

114x y -++= C ．()()2

2

112x y -++=

D ．()()2

2

114x y +++=

11．已知圆()()2

2

:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=?，则m 的最大值为（ ） A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

12．如图，在△ABC 中, 1

3AN NC =,P 是BN 上的一点,若29

AP m AB AC ??→??→??→=+,则实数m 的值为( )

A ．

B ．

C ．

19

D ．

二、填空题

13．在直角ABC ?中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ?中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示）

14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.

15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =4

5

，cos C =513，a =1，则

b =___.

17．等边ABC ?的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 18．(

)()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45?

?

?

?

?

+++++=__________．

19．函数2cos 1y x =

+的定义域是 _________.

20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．

三、解答题

21．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；

（2）若2c =，且ABC ?为锐角三角形，求+a b 的取值范围.

22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ?

?=+>>< ??

?的部分图象如图所示.

（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 23．已知ABC ?中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；

(2)若2b =，求a c +的取值范围. 24．设函数2

()cos 2sin 3f x x x π?

?=+

+ ??

?

． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；

（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3

B =

，124C f ??

=- ???

，且C 为锐角，求

sin A ．

25．以原点为圆心，半径为r 的圆O 2

2

2

:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. （1）直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的方程；

（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ?=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.

26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:

(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;

(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】

试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第

天）人数的平均数

为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感

染人数总数为

，又由于方差大于，故这

天中不可能每天都是，可以有一天大于

，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙

地不符合，故丁地符合.

考点：众数、中位数、平均数、方差

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】

∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，

∴()()

BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ?=+?+=?-?-?+?

()()22

11AB AC AB AC AB AC λλλλ=?---+-?

()()232441212222

λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A. 3．D

解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简

sin 5sin 2A c

B b

=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c

，由sin B =

，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于

sin 5sin 2A c B b

=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5

2a c =

由于在ABC

中，sin B =

，ABC S =△

1sin 2ABC

S ac B =

=

联立521

sin 2

sin 4a c ac B B ?

=??

?=?

??=?

?

，解得：5a =，2c = 由于B

为锐角，且sin B =

，所以3cos 4B ==

所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：

cos cos OM OP x x ==

M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1

()cos sin sin 22

f x x x x ==

对应图像为B 故答案选B 【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

5．D

解析：D 【解析】

把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π

6

）=sin （2x +

2π

3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ω?=+∈是奇函数π()k k Z ??=∈；函数sin()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π

π+

()2

k k Z ??=∈；函数cos()()y A x x R ω?=+∈是奇函数π

π+()2

k k Z ??=∈；函数cos()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π()k k Z ??=∈.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21

04

t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】

由题意，作出函数()y f x =的图像如下，

由图像可得，1

0()(2)4

f x f ≤≤=

关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，

20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；

且114t =，2104

t << 又

12a t t -=+

11,24a ??∴∈-- ???

故选：B 【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：

30AOC ?∠=

3cos ,2

OC OA ∴<>=

3OC OA OC OA

?∴

=

()3

2

mOA nOB OA mOA nOB OA

+?∴=+ 2

2

2

2

2

32m OA nOB OA

m OA mnOA OB n OB OA

+?∴

=

+?+ 1OA =，3OB =，0OA OB ?=

22

32

3m n ∴

=

+ 229m n ∴=

又

C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n

∴= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：

可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322

S =

??=

∴三棱锥体积：1115

410332

V Sh ==?

?= 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.

9．A

解析：A 【解析】

试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，

2a =，设(0,)M b ，则45b d =

，所以

44

55

b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又

22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <

≤

．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

10．C

解析：C 【解析】

圆2

2

220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线

40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直

线40x y --=

=，设所求圆的圆心为

()

,a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得

1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为

()()

2

2

112x y -++=.

故选C ．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．

11．B

解析：B

【解析】

由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.

考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据共线关系用基底AB AC

→→

，表示

AP

→

，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m

的值. 【详解】

如下图，∵,,B P N 三点共线，∴

，∴，即

,

∴

①,又∵1

3

AN NC =

，∴，

∴28=99

AP m AB AC m AB AC →

→

→

→

→

=++②，

对比①，②，由平面向量基本定理可得：．

【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决

解析：

12n

m

【解析】 【分析】 【详解】

由题意得ABC ?的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()2

2

221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积

之和为

211=22π

π?? ，由几何体概型概率计算公式可知1122

,1342

n n m m ππ=∴=??，故答

案为

12n

m

. 【方法点睛】

本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

14．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥 解析：

112

【解析】 【分析】

由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】

由题意可得，底面四边形EFGH

为边长为

2

的正方形，其面积2

12EFGH S ==??

， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为1

2

d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212

M EFGH V -=??=. 【点睛】

本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-

1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式

解析：1

n

-

【解析】

原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=?-=，整理为：

1

111n n S S +-= ，即

111

1n n S S +-=-，即数列1n S ??

????

是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1

n S n

=-

. 【点睛】这类型题使用的公式是1

1

{

n n n S a S S -=-

1

2

n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是

消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.

16．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：

2113

【解析】

试题分析：因为45

cos ,cos 513

A C =

=，且,A C 为三角形的内角，所以312

sin ,sin 513

A C ==，

63

sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65

B A

C A C A C A C π=-+=+=+=

，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13

a B

b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

17．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知

在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-

【解析】 【分析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()

1,3C ， 则：()2,0AB =，()

1,3BC =-，2AB BC ?=- 且2AB =，10BC =， 据此可知AB 在BC 方向上的投影为

2

12

AB BC AB

?-=

=-.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题 解析：232

【解析】 【分析】

根据式子中角度的规律，可知()

45045,045αβαβ+=?<

tan tan tan 4511tan tan αβ

αβ

+=

=-，变形有()()1tan 1tan 2αβ++=，由此可以求解．

【详解】

根据式子中角度的规律，可知()

45045,045αβαβ+=?<

tan tan tan 4511tan tan αβ

αβ

+=

=-，变形有()()tan 1tan 12αβ++=．所以

()()1tan11tan 442?

?

++=，()()1tan 21tan 432?

?

++=， ，()()1tan 221tan 232?

?

++=，1tan 452+=，

()()()()()23

1tan11tan 21tan31tan 441tan 452

?

?

?

?

?

+++++=．

故答案为：232． 【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．

19．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出

解析：()222,233k k k Z ππππ??-+∈????

【解析】 【分析】

由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】

函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1

cos 2

x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233

k x k k Z ππππ-

≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ?

?-+∈???

?. 【点睛】

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图

【解析】

试题分析：该三棱锥底面是边长为2

，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2

，腰为

．

考点：三视图．

三、解答题

21．(1) 3

C π

=

.(2) .

【解析】 【分析】

（1）根据题意，由余弦定理求得1

cos 2

C =

，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π??

+=+ ??

?

，再根据ABC ?为锐角三角形，求得6

2

A π

π

<<

，利用三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，

由余弦定理可知，222cos 1

22

a b c C ab +-==，

又∵(0,)C π∈，∴3

C π

=

.

（2

）由正弦定理可知，2sin sin sin 3

a b A B

π===

，即,a A b B ==

∴sin )a b A B +=

+2sin sin 3A A π???=+- ?????

2cos A A =+4sin 6A π?

?=+ ???

，

又∵ABC ?为锐角三角形，∴02

2032A B A πππ?<

??

，即，

则

23

6

3A π

π

π<+

<

，所以4sin 46A π?

?<+≤ ??

?，

综上+a b

的取值范围为. 【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

22．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）单调增区间为,36k k ππππ??

-++?

???

,(k Z ∈)；x 取值集合|,3x x k k Z ππ??

=-+∈?

???

,(k Z ∈) 【解析】 【分析】

（1）先由函数()y f x =的最大值求出A 的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T ，于此得出2T πω=

，再将点,26π??

???

代入函数()y f x =的解析式结合φ的范围得出φ的值，于此可得出函数()y f x =的解析式； （2）解不等式()2222

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-+≤+

≤

+∈可得出函数()y f x =的单调递增

区间，由()226

2

x k k Z π

π

π+=-

+∈可求出函数()y f x =取最小值时x 的取值集合．

【详解】

（1）由图象可知，2A =. 因为

51264T ππ-=，所以T π=.所以2π

π=ω

. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π

，所以2sin(2)26

?π

?+=， 解得=

+2()6

k k Z ?π

π∈. 又因为2π

?<

，所以=

6?π，所以()2sin(2)6f x x π=+.

（2）222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36

k x k ππ

ππ-+≤≤+,k Z ∈，

()f x 的单调增区间为,36k k ππππ??

-

++????

,(k Z ∈)，

()f x 的最小值为-2，取得最小值时x 取值集合|,3x x k k Z π

π?

?

=-

+∈???

?

,(k Z ∈). 【点睛】

本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函

数()()sin 0,0y A x b A ω?ω=++>≠的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，max min

2

y y b +=； （2）求ω：2T

πω=

； （3）求?：将顶点或对称中心点代入函数解析式求?，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查． 23．（1）3

B π

=；（2）(]2,4.

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：

() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：

()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B

的值即可；

（2）由

sin 3

b B =

得出a A =，c C =，得到

a c A C +=

+，进而得到sin 6a c A π+=+?? ???，再根据角的范围得到

sin 6A π?

? ??

?+的范围即可.

【详解】 (1)

由()20a c cosB bcosC --=，

可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，

2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，

可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，

(0,)A π∈，0sinA >，

∴可得1

2

cosB =

， 又由(0,)B π∈得：3

B π

=，

(2)

sin b B =

a A =，c C =， 2

3

A C π

+=

，

]sin sin()a c A C A A B ∴+=

=++

1sin sin()sin sin 32A A A A A π??=

++=+??????

14sin cos 4sin()226A A A π?=+=+????

，

203A π

<<

，5666

A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π????

+

∈ ? ??

???

， ∴a c +的取值范围(]2,4.

【点睛】

本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

24．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44??

-+???

?，k Z ∈（3【解析】 【分析】

()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．

()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．

()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．

【详解】

() 1函数

()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-?

?=++=+=+ ??

?，

故它的最小正周期为

2π

π2

=．

()2对于函数()1

f x 2

=+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得

ππ

k πx k π44

-

≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44?

?

-

+???

?

，k Z ∈．

()

3ABC 中，若1

cosB 3=，sinB 3

∴==．