恒成立、存在性问题集锦
近年高考热点及难点问题
—— 恒成立、存在性问题题型及解法
“存在性”与“恒成立”问题是近年来高考中的热点及难点问题，这类题目是逻辑问题，也是对选修中“推理与证明”的理性的考查，表现形式一般是函数的问题，对于这类问题的区分与解法下面举例说明。 已知函数]1,0[,27
4)(2
∈--=
x x
x
x f ,函数)
1(],1,0[,23)(23
≥∈--=a x a x a x x g .
易知,a
x g a
a x f 2)(321,3)(42
-≤≤---≤≤-
。
（1）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使)
()(10x f x g =成立，求a 的取值范围. 略解：由题意，]2,321[]3,4[2
a a a ---⊆--，解得，2
31≤
≤a .
（2）若存在]1,0[,2
1∈x x ，使得)
()(21x g x f =成立，求a 的取值范围.
略解：只要两个函数的值域交集不空即可，即⎩⎨⎧≥-≥-1
42a a ，∴ 2
1≤≤
a .
（3）若存在]1,0[,21∈x x ，使得)
()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.
略解：只要
min
max )()(x g x f >，即⎩⎨
⎧≥-->-1
32132
a a a ，∴
1≥a .
（4）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使)
()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.
略解：只要
min
min )()(x g x f >，即⎩⎨
⎧≥-->-1
32142
a a a ，∴ 1>a .
（5）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使)
()(21x g x f <成立，求a 的取值范围.
略解：只要
max
max )()(x g x f <，即⎩⎨
⎧≥->-1
32a a ，∴ 2
31<
≤
a .
（6）若对任意的]1,0[,21∈x x ，都有)
()(21x g x f <成立，求a 的取值范围. 略解：（这是恒成立问题）只要min
max )()(x g x f <，解得φ∈a . （7）若对任意的]1,0[,2
1∈x x ，都有)
()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.
略解：（这是恒成立问题）只要max
min )()(x g x f >，解得2
>a
.
（8）若存在]1,0[,2
1∈x x ，使得1|)()(|21<-x g x f 成立，求a
的取值范围.
略解：变形—构造，存在]1,0[1∈x ，]1,0[2∈x
⎩⎨
⎧+<+<⇒⎩⎨⎧+<+ m i n m a x m i n 1221)(1)()(1)(1)()(1 )()(x f x g x g x f x f x g x g x f 即⎩⎨⎧-+<---+<-) 3(1321)2(142 a a a ，∴ 2 51< ≤ a . （9）对任意的]1,0[,21∈x x ，1|)()(|21<-x g x f 都成立，求a 的取值范围. 略解：⎩⎨ ⎧<-<-1 )()(1)()(min max min max x f x g x g x f ，解得φ∈a . （10）对任意的]1,0[,21∈x x ，1|)()(|21<-x g x g 都成立，求a 的取值范围. 略解：1|)()(| min max <-x g x g ，解得φ ∈a . 逻辑关系是数学推理的本质，只有认清逻辑关系，才能把问题转化，才能更简约求真，这是对核心概念（函数即对应）的体现。 附： 例1．设函数2 ln )(,2)(2 2 +-=+=x x a x g ax x f ，其中R a ∈，0>x 。 （1）若2 =a ，求曲线) (x g y =在点（1，)1(g ）处的切线方程； （2）是否存在负数a ，使) ()(x g x f ≤对一切正数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围； 若不存在，请说明理由。 （1）由题意可知：当2 =a 时，2 ln 4)(2 +-=x x x g ，则x x x g 18)(- ='，曲线) (x g y =在点（1， ) 1(g ）处的切线斜率7 )1(='=g k ，又6)1(=g ，∴所求切线方程为17-=x y （2）设函数2 2 ln )()()(x a x ax x g x f x h -+=-= ) 0(>x ，假设存在负数a ，使 ) ()(x g x f ≤对一切 正数 x 都成立。即当 >x 时， ) (x h 的最大值小于等于零。 )0(1 221)(2 22 >++-= -+ ='x x ax x a x a x a x h 令0)(='x h 可得a x a x 1,2121 = - =（舍）。当a x 210-<< 时，)(,0)(x h x h >'单调递增；当a x 21- >时，)(,0)(x h x h <'单调递减。∴)(x h 在a x 21- =处有极大值，也是最大值。 ∴ )21()(max ≤- =a h x h 解得4 32 1- - ≤ e a ，∴存在负数a ，它的取值范围是4 32 1--≤ e a 。 注：此题若改为是否存在负数a ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ， )()(21x g x f ≤都成立？若存在， 求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。只需在区间]2,1[上，min max )()(x g x f ≤即可。 例2．已知函数 ) (12 3)(2 3 R x x ax x f ∈+- =，其中0 >a 。若在区间]2 1 ,21[- 上，0)(>x f 恒成立， 求a 的取值范围。 方法一．（最值法） ) 1(333)(2 -=-='ax x x ax x f ，令 )(='x f ，解得0=x 或a x 1= ， 以下分两种情况讨论： （1）若20≤ 11≥a ，当x 变化时， ) (),(x f x f '的变化情况如下表： 当]2 1,21[- ∈x 时，0)(>x f 等价于 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧>>-0)21(0)21(f f ，解得55<<-a ∴20≤ >a ，则 110< < 。当x 变化时， ) (),(x f x f '的变化情况如下表： 当]2 1,21[- ∈x 时，0)(>x f 等价于 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧>>-0)1(0)21(a f f ，解得 5 2 2< 2- ∴52< 方法二．（分离参数法）原式即12 32 3-> x ax ，当0=x 时，10 2 302 3 -⨯> ⨯a ，则R a ∈； 当]2 1, 0(∈x 时，3 112 3x x a - ⨯ > 恒成立，令= )(x g 3 112 3x x - ⨯ ，] 2 1, 0(∈x 。∵026 3)(4 2 >+-= 'x x x g ∴)(x g 在区间]2 1 ,0(上是增函数，5 )21 ()]([max -==g x g ，则5 ->a 。 当)0,2 1[- ∈x 时，3 112 3x x a - ⨯ < 恒成立，令= )(x h 3 1123x x -⨯ ，)0,2 1[- ∈x ，∵0 26 3)(4 2>+-= 'x x x h ∴)(x h 在区间)0,2 1[- 上是增函数，5 )2 1()]([min =- =h x h ，则5 综上，55<<-a ，∵0 >a ∴a 的取值范围是（0,5） 例3．已知R a ∈,不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上恒成立,求a 的取值范围. 解：设 ax x x f -)1(ln )(+=， 1 ) -1-(-)(+= 'x a a x a x f （1）若0 )(>'x f ，函数 ) (x f 为增函数，则在区间1),(0上0 )0()(=>f x f ∴ax x >+)1(ln ∴不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上不恒成立。 （2）若0 =a ，在区间1),(0上0)1(ln <+x 不恒成立 （3）若10< -1>a a ，在区间) -1, 0(a a 上 )(>'x f ，函数 ) (x f 为增函数，∴ )0()(=>f x f ∴ax x >+)1(ln ，∴区间1),(0上定有x 使不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上不成立。 （4）若1≥a ，则在区间1) ,(0上 )(<'x f ，函数 ) (x f 为减函数∴0)0()(= ∴ax x <+)1(ln ，∴区间1),(0上不等式ax x <+)1(ln 恒成立。 综上，1≥a 记为所求。 注：用分离参数法无法解决。由a a -1可知，a 应从0,1分区间考虑 例4已知函数 )(ln -)(a x x x f +=的最小值为0,其中0 >a 。 （1）求a 的值； （2）若对任意的),0[+∞∈x 有2 )(kx x f ≤成立，求实数k 的最小值。 （1） ) (x f 的定义域为),(-+∞a ， a x a x a x x f ++= +='1-1 - 1)(，由 )(='x f ，得a a x --1>=， 当x 变化时， ) (),(x f x f '的变化情况如下表： 因此， ) (x f 在a x -1=处取得最小值，故由题意0 -1)-1(==a a f ，∴ 1=a 。 （2）当0 ≤k 时，取1=x ，有0 2ln -1)1(>=f ，故0 ≤k 不合题意。 当0 >k 时，令2 -)()(kx x f x g = ，即2 -)1(ln -)(kx x x x g += 1)] 2-1(-2[-2-1)(+= += 'x k kx x kx x x x g ，令0)(='x g ，得1 -22-1,021 >= =k k x x 1．当21≥k 时， )(,022-1<'≤x g k k 在),0(+∞上恒成立，∴)(x g 在),0[+∞上单调递减。从而对任意的),0[+∞∈x ，总有0 )0()(=≤g x g ，即 2 )(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立。∴2 1≥ k 符合题意。 2．当2 10< < k 时， 22-1>k k ，对于0 ),22-1, 0(>'∈(x)g k k x ，故)(x g 在)22-1, 0(k k 上单调递增。 ∴当取) 22-1, 0(0k k x ∈时，0 )0()(0=> g x g ，即 2 0)(kx x f ≤不成立。∴2 10< < k 不合题意。 综上，k 的最小值为2 1。 恒成立问题（或存在性问题）可分三种情况，1．分离参数，这是最简单的；2．需分类讨论的分离参数，各种情况求出的参数范围应求交集；3．以上二法均不能解决，则用例3或例4的方法（作差，改变函数形式以利于求导）。 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 经典问题： 问题一：任意与任意 【例1】设()x x x a x f ln += ，()32 3--=x x x g ，如果对于任意的s ，?? ????∈2,21t ，都有()()t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围。 【例2】已知函数()()()x x x g R m mx ex x x f ln , 13123= ∈++-= 。 （1）求函数()x f 的单调区间； （2）若对()+∞∈?,0,21x x ，()()2'1x f x g <恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】已知函数(),1682 k x x x f -+=()x x x x g 4522 3 ++=，其中R ∈k ,对任意 1x ， []3,32-∈x ，都有()()21x g x f >成立，求实数k 的取值范围。 【变式2】设0>a 函数(),2 x a x x f +=()x x x g ln -=，如果对任意 1x ，[]e x ,12∈，都 有()()21x g x f >成立，求实数a 的取值范围。 【变式3】已知函数()(),13 123 R ∈++-= m mx ex x x f ()x x x g ln =，若对任意 1x ，()∞+∈，02x ，都有()()2'1x f x g <成立，求实数m 的取值范围。 问题二：任意与存在 【例1】已知函数()()(),ln 2122 12R ∈++-= a x x a ax x f ()x x x g 22 -=，若对任意 (]201，∈x ，均存在(]202，∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【例2】已知()，2 x x f =()m x g x -?? ? ??=21，若对任意的 []3,11-∈x ，存在[]202， ∈x ，使得()()21x g x f ≥，求实数m 的取值范围是___________。 【例3】已知函数()()1ln 12+++=ax x a x f 。 （1）讨论函数()x f 的单调区间； （2）设()322++-=bx x x g ，当3 1 - =a 时，若对()+∞∈?,01x ，[]2,12∈?x 使得()()21x g x f ≤，求实数b 的取值范围。 【变式1】已知函数()(),ln R ∈+=a x ax x f ()222 +-=x x x g ，若对任意 ()∞+∈， 01x ，均存在[]102， ∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【变式2】已知函数(),222 +-=x x x f ()x ax x g ln +=，若1->a 且对任意 []1,01∈x ， 均存在[]e x ，12∈，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 恒成立与存在性问题方法总结 导读：一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。 1、构建一次函数 众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k 的取值范围。 解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，解之得k∈（- ，+∞）。 例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。 解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。 （1）当x -1=0时，x=±1。 当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。 （2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，所求的x∈（）。 2、构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。 例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。 解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。 若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立； 若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0 ∴a的'取值范围为［0，+∞）。 3、构建形如f（x）=ax+ 的函数 通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）=ax+ 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论： （1）f（x）=ax+ 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0，上递减，在，+∞上递增。 存在与恒成立 1.恒成立问题： （1）;)(f D ,)(f ,x min A x A x D >>∈?上则在区间恒成立均有 （2）;)(f D ,)(f ,x max B x B x D <<∈?上则在区间恒成立均有 （3）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x min >∴-=>∈?x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （4）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x max <∴-=<∈?x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D >>∈?∈?则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D <<∈?∈?则恒成立均有 （7）;)()(g ,()()(,x x min max 2121C x g x C x g x g D <-<-∈?则常数）恒成立均有， 2.存在问题： （1）;)(f ,)(f ,x ax 00A x A x D m >>∈?则成立使不等式 （2）;)(f ,)(f ,x in 00B x B x D m <<∈?则成立使不等式 （3）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x ax 000>∴-=>∈?m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （4）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x in 000<∴-=<∈?m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D >>∈?∈?则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D <<∈?∈?则恒成立均有 3.恰成立问题： （1）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f A x A x >?> （2）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f B x B x >∈?∈?则成立使得总若 （2）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x max max 2121x x x x D <<∈?∈?则成立使得总若 （3）;)()()()(,()()(,x ,x min max min max 2121? ??<-<-<-∈?∈?C x g x f C x f x g C x g x f E D 则常数）恒成立 均有 （4）;)()()()(,()()(,x ,x max min max in 2121?? ?<-<-<-∈?∈?C x g x f C x f x g C x g x f E D m 则常数）成立使得 （5）;)()(,()()(,x x min max 2121C x g x g C x g x g D >->-∈?则常数）恒成立均有， （6）; )()(f )()(,()()(f E x ,x min max min max 2121C x g x C x f x g C x g x D <->->-∈?∈?或则常数）成立，使得 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ?? ∈+∞???? ，，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??--+ ??? ≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．18a >- C ．1 8 a > D ．0a < 【例5】 已知不等式()11112 log 1122123 a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2- D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(][)14-∞-+∞U ，， B ．(][)25-∞-+∞U ，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞U ， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 【例12】 若不等式lg 21lg() ax a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围． 【例13】 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围. 恒成立问题与存在性问题 一、恒成立问题： 不等式恒成立问题化归为最值问题 1、不等式()x f a >对I x ∈恒成立()max x f a >⇔ 2、不等式()x f a <对I x ∈恒成立()min x f a >⇔ 变量分离后化归为最值问题型 1.(,)0F x a > 对()x I a f x ∈⇔>一切恒成立对m ax ()x I a f x ∈⇔>一切恒成立 2.(,)0F x a >对()x I a f x ∈⇔<一切恒成立对m in ()x I a f x ∈⇔<一切恒成立 二、存在性问题化归为最值问题 不等式有解问题： 1、不等式()x f a >在I x ∈有解⇔I x ∈∃，使得()x f a >成立()max x f a >⇔ 2、不等式()x f a <在I x ∈有解⇔I x ∈∃，使得()x f a >成立()min x f a >⇔ 三、方程()x f a =有解问题 方法1：化为求函数的值域 方程()0,=a x F 在I x ∈有解⇔()x f a =I x ∈有解 方程()x f a =在I x ∈有解⇔a 的取值范围为函数()x f 的值域， 方法2：化为零点问题求解 方法3：化为图像交点问题求解 实战演练： 1、已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b + ≥ +恒成立，则 m 的最大值 ２、定义在R 上的函数()x x x f -=3 3 1，设()x m x x g - =ln ，' [1,],()()x e g x f x ∀∈<使 求实数m 的范围。 ３、定义在R 上的函数()x x x f -= 33 1，设()x m x x g - =ln ， ' 1212[1,],()()x e x g x f x ∀∈∃∈<[1,2]使，求实数m 的范围 ４、设2 38 ()(2)2 x x f x x -+= ≥，()1g x kx =+， （1）若0[2,)x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的范围 （2）若12[2,),(2,)x x ∀∈+∞∃∈+∞，使得12()()f x g x =则实数k 的范围 ５、已知函数()()1522>+-=a ax x x f （1）若()x f 的定义域和值域均为[]a ,1，求实数a 的值。 （2）若()x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的[]1,1,21+∈a x x ，总有()()421≤-x f x f ，求实数a 的取值范围。 ６、已知()()x f x a ax x f , 312 3 -=的定义域为Ｒ。函数()()x g x x x g , 3 342 += 的定义 域为 []2,0。（１）求()x g 的值域；（２）设0>a ，若对任意 [][]()()0,2,0,2,00101=-∈∈x f x g x x 使总存在，求实数a 的取值范围。 高中数学 恒成立、存在性问题的等价转化方法 此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立，或不等式、方程有解，求参数的取值范围”等问题，我们不妨将之称之为“恒成立”问题与“有解”问题。“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关，当函数的最大或最小值不存在时，该如何思考？ 例1)2,1(∈∀x ， 0ln 2 12>--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 )2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∀x ，x x a ln 2 12-<. ∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,2 1(-,∴21≤a . 例2 ),1(+∞∈∀x ，0ln 2 12<--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 ),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ⇔),1(+∞∈∀x ，x x a ln 2 12->. ∵),1(+∞∈x 时, 函数x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为),2 1(+∞,∴Φ∈a . 例3 )2,1(∈∃x ，0ln 2 12>--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 )2,1(∈∃x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∃x ，x x a ln 2 12-<. ∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,21(-,∴2ln 2->a . 小结 当函数)(x f 的最值不存在时的“恒成立”和“有解”问题可以这样处理: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则 I x ∈∀，)(x f a <⇔m a ≤； I x ∈∃，)(x f a <⇔n a <； I x ∈∀，)(x f a ≤⇔m a ≤； I x ∈∃，)(x f a ≤⇔n a <； I x ∈∀，)(x f a >⇔n a ≥； I x ∈∃，)(x f a >⇔m a >； I x ∈∀，)(x f a ≥⇔n a ≥； I x ∈∃，)(x f a ≥⇔m a >； (2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则 三一文库（https://www.360docs.net/doc/1619294510.html,）/总结〔恒成立与存在性问题方法总结〕 高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、 二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结 合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能 力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的 作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问 题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问 题方法总结，欢迎来参考！ ▲一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性 质来解决的问题。 1、构建一次函数 众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数 在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间 内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求 实数k的取值范围。 第1页共5页 解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x） 在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立； 若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f （2）＞0， 解之得k∈（- ，+∞）。 例2：对≤2的一切实数，求使不等式2x-1＞（x -1） 都成立的x的取值范围。 解：原问题等价于不等式：（x -1）-（2x-1）＜0，设f （）=（x -1）-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（） 或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。 （1）当x -1=0时，x=±1。 当x=1时，f（）＜0恒成立；当x=-1时，f（）＜0不 成立。 （2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（） ＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上， 所求的x∈（）。 2、构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用 二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本 复杂的问题变得容易解决。 例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a 的取值范围。 25 恒成立问题存在性问题 1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小数形结合法等解题方法求解． 2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型 (1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)； (3)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C； (4)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|. 1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元数形结合、函数与方程等思想方法． 2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类 (1)∃x∈D，f(x)>C；(2)∃x∈D，f(x)>g(x)； (3)∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)＝g(x2)； (4)∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)>g(x2)． 3．存在性问题处理方法 (1)转换求函数的最值；(2)分离参数法； (3)转换成函数图象问题；(4)转化为恒成立问题． 1、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,2 1[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范 围． 变更主元，0101)(≤-++⋅= b x a x a ϕ，]2,21[∈a 得b 的取值范围是4 7≤b ． 2,已知两函数 2)(x x f =，m x g x -⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=21)(，对任意 []2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数 m 的取值范围为 高三数学专题——恒成立与存在性问题 高三复专题——恒成立与存在性问题 知识点总结： 1.___成立问题： 1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A； 2) 若对于D中的任意x，都有f(x) 5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值； 6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1) 6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1) ［ ；「)。 14. -x 1 恒成立问题和存在性问题 / 2 1若函数f(x)二2x 2ax - -1的定义域为R,则a 的取值范围是 ____________________________ 。答：［—1, 0］ ---------------- 3 2•设函数y 二1 2x a 4x ，若函数在(一二，1］上有意义，求实数 a 的取值范围。答：a_-。 4 3•若关于x 的不等式x 2+9+|x 2 _3xpkx 在［1,5］上恒成立，则实数 k 的范围为 . 答：k 兰6 4.若曲线f(x)=ax 3+l nx 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _____________________ .答：a<0 1 2 5•若f(x) x bl n(x ・2 )在(-1,+ ：：)上是减函数，则b 的取值范围是 _________________________ 。答：(-：：，-1］ 2 J 3 - ax 1 6 .已知函数f (x) (a =1).若f (x)在区间0,1丨上是减函数，则实数a 的取值范围 a -1 是 ______________ .答： -：：,0 一. 1,31 7•已知函数f (x) =log a (2 - ax)在［0, 1］上是减函数，则a 的取值范围是 __________________ 。答：(1, 2) &函数y=log 1(x -2mx 3)在(-：：,1)上为增函数，则实数 m 的取值范围是 . 答：1^m 乞2 2 9.函数y = log a x(a >0且a 式1)在［2,邑)上恒有I y |>1，则a 的取值范围是 。答：(1,1)U (1,2) 2 10•若关于x 的方程a 2x (1 lg m)a x ^0( a 0 ,且a = 1)有解，则m 的取值范围是 ___________________________ 。 答：0 ::: m 乞 10” 11•设f (x^3ax -2a 1,a 为常数，若存在 x 。•(0,1)，使得f(/) = 0，则实数 a 的取值范围是 = ------------ 。答：(虫‘口) (?，+乂)。 12.如果关于x 的方程(2無-2)2 -a-2 = 0有实数根，那么实数a 的取值范围是 _________________ 。答：［-1,2) 13•已知函数 f (x)的值域[0, 4](x [-2,2])，函数 g(x)二 ax-1,x [-2,2]， -x< ［-2,2］, x 0 • ［-2,2］使得g(x 0) = f (x 1)成立，贝y 实数a 的取值范围是 —。答：(-二丄：］ 2 2 兀 応 已知函数 f (x)=x ,(x [-2,2])， g(x)=a 2sin(2 x ：—) 3a, x [0,—]， 6 2 x 4 已知函数f (x) =lg(5％ m)的值域为R ，则实数m 的取值范围是 5 任意性存在性恒成立专题 知识总结 (1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max 存在与恒成立问题 题型一不等式的恒成立问题 例1已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法． 例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 破题切入点(1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)． (2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围． 题型三存在与恒成立的综合性问题 例3已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝1 8时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫3 2； (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：ln 3－ln 2 5≤α≤ ln 2 3. 破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题． 总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思． (2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题． (3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题． 1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 专题——恒成立与存在性问题 在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题．两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法． 知识点总结： (1)恒成立问题 1. ∀x ∈D,均有f (x )>A 恒成立，则f (x )min >A ； 2. ∀x ∈D,均有f (x )﹤A 恒成立，则 f (x )ma x g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) >0，∴ F (x )min >0 4. ∀x ∈D,均有f (x )﹤g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) ﹤0，∴ F (x ) ma x ﹤0 5. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立，则f (x )min > g (x )ma x 6. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) 导数应用——“恒成立问题”练习 1. 已知函数()ln f x x x =． （I ）求函数()f x 的单调递减区间； （II ）若2 ()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2 (,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程 解（Ⅰ） '()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <- 1 0x e ∴<< ∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e ； （Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6 ln a x x x ≤++ 设6 ()ln g x x x x =++则222 6(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-== 当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增； ∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； （Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴ 00 002 ln ln 11x x x x e =++即200ln 10e x x ++= 设2 ()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 ∴()0h x =最多只有一个根，又2 222 111( )ln 10h e e e e =⨯++=∴0 21x e = 2212( ,),1,T k e e -∴=-∴切线方程为222 211 ()0y x x y e e e +=--++=即 2.（1）求函数ln y x =在点处(1,0)处的切线方程； （2）若不等式ln 1x ax ≤-对(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）已知x x x g a x x x f ln 1)(,)1 (21)(--=++= .若存在)1](,1[,21>∈a a a ξξ,使得 3|)()(|21≤-ξξg f ,求实数a 的取值范围。 解：（1）01=--y x （2）法一：原问题等价于 a x x ≤+1ln 对),0(+∞∈x 恒成立，即max ln 1 ()x a x +≤ 令),0(,1ln )(+∞∈+=x x x x g ，由2ln ()0x g x x -'==得1=x 1,()0;1,()01x f x x f x x ''<>><∴=时时是极大值点 高三数学跨越一本线精品 问题二函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越 来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下： (1)恒成立问题 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x(完整版)恒成立存在性问题
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7【题组七】双变量的恒成立与存在性问题
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