高中数学——恒成立与存在性问题(教案)

恒成立与存在性问题

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨

≤⎪⎩在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,

D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()max min f x g x ≥

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()min max f x g x ≤

8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设()x f 在区间[],a b 上的值域为A ，()x g 在区间[],c d 上的值域为B ,则A B ⊆.

9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；

10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；

专题训练：

1．函数()221f x ax x =++，若对任意)1,x ∈+∞⎡⎣，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是 。 【答案】当1x ≥时，由()0f x >，利用参变量分离法得出212

a x x

>--， 令1t x

=

，则01t <≤，则2

2a t t >--，构造函数()22211y t t t =--=-++， 该函数在(]0.1t ∈上单调递减，所以30y -≤<，所以，0a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)0,+∞， 故答案为[)0,+∞

2．若函数)1,0)(2(log )(2

≠>+=a a x x x f a 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

内恒有0)(>x f ，则)(x f 的单调递增区间为

( ) (A)1,4⎛⎫-∞-

⎪⎝⎭ (B)1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

(C)()0,+∞ (D)1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】因为函数)1,0)(2(log )(2

≠>+=a a x x x f a 在区间10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

内恒有0)(>x f ，则)(x f 的单调递增区间

1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

，故选：D

3.已知函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =. （1）求()0f 的值； （2）求()f x 的解析式； 【答案】(1)()02f =-；(2)()()12f x x x =+-.

(1)解:因为函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立 且()10f =，所以令1,0x y ==代入上式得()()102f f -=，所以()02f =-。 (2)解:因为函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立 所以令0y =代入上式得()()()01f x f x x -=+ 又由(1)知()02f =-，所以()()12f x x x =+- 4.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足2(log )1

x a f x x -+=+.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性；

（3）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 【答案】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，由()f x 满足()()f x f x -=-， 所以()()00f f -=-，即()00f = 在2(log )1

x a f x x -+=

+中，令1x =得出()2

01

0a f -=

=，所以1a =

令2log x t =，则2t

x =

()()21

21

t t t y f t R ++-=∈=

所以()21

21

x x f x +-+=

（2）减函数，

证明：任取12,x x R ∈，12x x <，120x x x =->，

由()()()()()

1212121

212222121

212121221x x x x x x x

x f x f x --++-=-=-++++ 12x x <，

12220x x ∴<<，

12220x x -∴<，()()1210212x x +>+

()()120f f x x -∴<

该函数在定义域R 上为减函数

（3）由2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<，得22

(2)(2)f t t f t k -<--，

()f x 是奇函数，

22(2)(2)f t t f k t ∴-<-， ()f x 是减函数，

∴原问题转化为2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，

4120k ∴∆=+<，得1

3

k <-即为所求

5．已知函数(

)2log ,f t t t ⎤=∈⎦

.

（1）求()f t 的值域G ；

（2）若对于G 内的所有实数x ，不等式2

2

221x mx m m -+-+≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1

,32

⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）)

1,46,2⎛⎫⎡

-∞++∞ ⎪

⎣⎝⎭

解：(1)

()2log f t t =在t ⎤∈⎦上是单调递增，

222log log log 8t ∴≤≤，

即

()1

32

f x ≤≤， ()f t ∴的值域G 为1,32⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

(2)由题知2

2

221x mx m m -+-+≤在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立

⇔222210x mx m m -+-+≥在1,32x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立.

令()22221g x x mx m m =-+-+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，只需()min 0g x ≥即可

而()()2

21g x x m m =--+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

（i ）当12m ≤

时，()2min 121

3104

g x g m m ⎛⎫==-++≥ ⎪⎝⎭， 21250m m -∴+≥，解得52m ≥或1

2

m ≤ 1

2m ∴≤

（ii ）当132m <<时，()()min 210g x g m m ==-+≥，解得12m ≤与1

32

m <<矛盾

(iii)当3m ≥时，()()2min 10830g x g m m ==+-≥，解得4m ≥或4m ≤，而3m ≥,

4m ∴≥综上,实数m 的取值范围是)

1,46,2⎛

⎫⎡

-∞++∞ ⎪

⎣⎝⎭

6.已知函数()243x x a f x =-++，()52g x mx m =+-

（1）若)(x f y =在[11]

-，上存在零点，求实数a 的取值范围； （2）当0a =时，若对任意的1]4[1x ∈，，总存在2]4[1x ∈，，使)(1x f ＝)(2x g 成立，求实数m 的取值范围；

【答案】（1）80a -≤≤；（2）3m ≤-或6m ≥ 解：(1)()f x 的对称轴为2x =，

所以()f x 在[]1,1-=上单调递减，且函数()f x 在[]1,1-存在零点， 所以()()10

10f f ≤⎧⎪⎨

-≥⎪⎩即080

a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得[]8,0a ∈-

故实数a 的取值范围为[]8,0-，

(2)由题可知函数()f x 的值域为函数()g x 的值域的子集

()243f x x x =-+，[]1,4x ∈，()[]1,3f x ∈-，

以下求函数()52g x mx m =+-的值域:

①0m =时，()52g x m =-为常函数,不符合题意； ①0m >时，()[]5,52g x m m ∈-+，∴51

523

m m -≤-⎧⎨

+≥⎩，解得6m ≥；

③0m <时，()[]52,52g x m m ∈+-，解得3m ≤-. 综上所述，m 的取值范围为]

(

),36,-∞-+∞⎡⎣

7.已知函数2

2

()32(1)5f x x k k x =--++，2

()2g x k x k =+，其中k R ∈． （1）设函数()()()p x f x g x =+，若()p x 在()0,3上有零点，求k 的取值范围；

（2）设函数(),0,

()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨<⎩

是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数2x （21x x ≠），

使得21()()q x q x =？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()5,2k ∈--；（2）5k =

解：(1)因()p x 在()0,3上有且只有一个零点，所以()0p x =在()0,3上有实数解，且无重根， 由()0p x =得()()

2

21325k x x x +=--+，

()2325212139104213x x k x x x -+-+⎡⎤

∴==-+-⎢⎥+⎣⎦

+，

令21t x =+，有()1,7t ∈，记()9h t t t

=+

， 则()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10h t ∈， 于是()[)216,9

21

10x x +

∈++，得(5,2]k ∈--； 而当2k =-时有()p x 在()0,3上有两个相等的实根1x =，故舍去，所以()5,2k ∈--； (2)当0x <时有()()()

2

2

3215q x f x x k k x ==--++；

当0x >时有()()22q x g x k x k ==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠； 下面讨论0k ≠的情形，记(),A k =+∞，()5,B =+∞

(i)当10x >时，()q x 在()0,+∞上单调递增，所以要使21()()q x q x =成立 只能20x <且A B ⊆，因此有5k ≥；

(ii)当10x <时，()q x 在()0,+∞上单调递减，所以要使21()()q x q x =成立 只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤，综上5k =；

当5k =时A B =，则对于所有的10x <，1()q x B A ∈=，即存在20x >，使得21()()q x q x =成立， 因为()q x 在()0,+∞上单调递增，所以2x 的值是唯一的;

同理，10x ∀<，即存在唯一的非零实数2x （21x x ≠），要使21()()q x q x =成立,所以5k =满足题意.