关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题
关于高考数学中的恒成
立问题与存在性问题 Last revised by LE LE in 2021
“恒成立问题”的解法
常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。 一、函数性质法
1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函
数的图象（直线）可得上述结论等价于⎩
⎨⎧
>)(0
)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()
0f x <，则有
⎩⎨
⎧((n f m f 例1.p ,求使不等式2x x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于
0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
10
3422
x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.
2.二次函数：
①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00
a >⎧⎨∆<⎩（或0
a <⎧⎨
∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少
有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )
A ．(0，2)
B ．(0，8)
C ．(2，8)
D ．(－∞，0)
选B 。
例3.设2
()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2
()()22F x f x a x ax a =-=-+-，
（1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ∆=-+>时，由图可得以下充要条件：0(1)021,
2
f a
⎧⎪∆>⎪-≥⎨
⎪-⎪-≤-⎩ 即(1)(2)0
301,a a a a -+>⎧⎪
+≥⎨⎪≤-⎩ 32a ⇒-≤<-; 。 例4.关于x 的方程9(4)340x x
a +++=恒有解，求a 的范围。
解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。
1212
(4)040
x x a x x ∆≥⎧⎪
∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-.
3.其它函数：
()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界
≥0）；
()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界≤0）.
例5．设函数321
()(1)4243
f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。
解：（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3
1)2(23+⋅++-=a a a 24434
23++-=；a f 24)0(=
则由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1
f a f a 即1,4(3)(6)03240.
a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩16a ⇒<< ∴(1,6)a ∈。
二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分
离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例6．已知函数323
()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．
（1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，
都成立，求实数x 的取值范围． 解：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，
都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，
都成立。设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。
220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。 所以对
∀(0)a ∈+∞，
，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立时参数
λ的取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，求得λ的取值范围。 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。
例7．当(1,2)x ∈时，240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
解: 当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得24x m x +<-.令244
()x f x x x x
+=
=+，则易知()f x 在(1,2) 上是减函数，所以4()5f x <<，所以24
5x x
+->-，∴5m ≤-. 例8.已知x R ∈
时，不等式cos 254sin a x x +<-a 的取值范围。
解：原不等式即为：214sin 2sin 5x x a +-<-45-a -a+5
大于214sin 2sin x x +-的最大值，因为214sin 2sin 3x x +-≤，
∴53a ->
2a >+2
20
54054(2)a a a a ⎧-≥⎪
⇔-≥⎨
⎪->-⎩
或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 四、数形结合（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例9．若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a
(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥
选
B 。
例10.当|(1,2)x ∈)时， 2(1)log a x x -<恒成立，求a 答案：12a <≤.
例11.已知关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一解，
求实数a 的取值范围。
解：原问题即为：方程2208630x x x a +=-->有唯一解。
令2120y x x =+，2863y x a =--,则如图所示，要使1y 和2y 在x 轴上有
唯一交点，则直线必须位于1l 和2l 之间。（包括1l 但不包括2l )。
当直线为1l 时，1636a =-
;当直线为2l 时，1
2
a =-，
∴a 的范围为1631
[,)62
-
-。 另解：方程21263x x a +=--在方程(,20)(0,)x ∈-∞-+∞上有唯一解有唯一解。
五。根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。
例12.若()sin()cos()f x x x αα=++-为偶函数，求α的值。 解：由题得：()()f x f x -=对一切x R ∈恒成立，
对一切x ∈R 恒成立．．．
，∴只需也必须cos sin 0αα+= ∴4
k π
απ=-.（k Z ∈)
(完整版)恒成立存在性问题
专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为
恒成立问题与存在性问题(最新精华)
恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(--
高中数学x恒成立、存在性问题解决办法
恒成立、存在性问题解决办法总结 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m a x ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题在数学中，函数是一种描述两个集合之间的对应关系的工具。函数中的公式通常包含变量，通过给定变量的值，可以计算出函数的值。然而，在函数的研究和应用中，我们会遇到一些函数恒成立与存在性的问题。 首先，函数中的恒成立问题是指函数中一些等式对于所有变量的取值都成立。这意味着，无论我们取函数中的任意变量值，方程都会成立。如果我们证明了一些等式在整个定义域上都成立，那么我们就称它为函数中的恒成立等式。 例如，对于任意实数x，函数f(x)=x^2-x+6中的等式f(x)=f(2)始终成立。我们可以验证当x取任意实数时，等式都成立。这说明f(x)=f(2)是这个函数中的恒成立等式。 其次，函数中的存在性问题是指函数是否存在合适的定义域和值域。函数的定义域是指所有可能的输入值，而值域是指函数输出的所有值。在研究函数时，有时候我们需要确定一个函数是否存在，并找到合适的定义域和值域。 例如，考虑函数f(x)=1/x，在x=0时，函数的定义域不存在，因为0作为除数是不合法的。然而，在其他任意实数x上，函数都有定义，并且值域是实数集合。因此，函数f(x)=1/x在定义域上存在，并且值域为实数。 解决函数中恒成立与存在性问题的方法和技巧如下： 1.使用代数方法：我们可以通过代数运算和等式推导来证明函数中的恒成立等式。根据等式的性质和规律，我们可以对等式进行变形和化简，证明等式在所有变量取值下都成立。 2.使用图形方法：对于一些函数，我们可以通过绘制图形来分析函数的行为和性质。通过观察函数的图形，我们可以判断函数是否存在，以及函数中是否存在一些等式。 3.使用定义和性质：函数的定义和性质是解决函数恒成立与存在性问题的重要依据。我们可以运用函数的定义和性质，结合数学推理和逻辑推导，来证明函数中的恒成立等式和存在性问题。 4.使用反证法：当我们无法通过直接证明函数的恒成立等式或存在性问题时，可以尝试使用反证法。假设恒成立等式不成立或函数不存在，然后推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。 5.使用数学归纳法：对于一些函数中的恒成立等式，我们可以使用数学归纳法来证明。通过证明等式在一些初始值上成立，然后根据等式的递推关系，证明等式在下一个值上也成立。这样，我们可以通过递推关系扩展到整个定义域，从而证明等式在整个定义域上都成立。 总结起来，函数中的恒成立与存在性问题是数学中重要的研究内容。我们可以通过代数方法、图形方法、定义和性质、反证法和数学归纳法等方法和技巧来解决这些问题。通过深入研究和理解函数的性质和定义，我们可以更好地理解函数的特点和行为。 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 2020 年恒成立、存在性问题解决办法 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 三一文库（https://www.360docs.net/doc/1919294509.html,）/总结〔恒成立与存在性问题方法总结〕 高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、 二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结 合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能 力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的 作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问 题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问 题方法总结，欢迎来参考！ ▲一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性 质来解决的问题。 1、构建一次函数 众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数 在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间 内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求 实数k的取值范围。 第1页共5页 解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x） 在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立； 若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f （2）＞0， 解之得k∈（- ，+∞）。 例2：对≤2的一切实数，求使不等式2x-1＞（x -1） 都成立的x的取值范围。 解：原问题等价于不等式：（x -1）-（2x-1）＜0，设f （）=（x -1）-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（） 或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。 （1）当x -1=0时，x=±1。 当x=1时，f（）＜0恒成立；当x=-1时，f（）＜0不 成立。 （2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（） ＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上， 所求的x∈（）。 2、构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用 二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本 复杂的问题变得容易解决。 例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a 的取值范围。 25 高三数学跨越一本线精品 问题二函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越 来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下： (1)恒成立问题 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x 专题——恒成立与存在性问题 在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题．两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法． 知识点总结： (1)恒成立问题 1. ∀x ∈D,均有f (x )>A 恒成立，则f (x )min >A ； 2. ∀x ∈D,均有f (x )﹤A 恒成立，则 f (x )ma x g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) >0，∴ F (x )min >0 4. ∀x ∈D,均有f (x )﹤g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) ﹤0，∴ F (x ) ma x ﹤0 5. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立，则f (x )min > g (x )ma x 6. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) ［ ；「)。 14. -x 1 恒成立问题和存在性问题 / 2 1若函数f(x)二2x 2ax - -1的定义域为R,则a 的取值范围是 ____________________________ 。答：［—1, 0］ ---------------- 3 2•设函数y 二1 2x a 4x ，若函数在(一二，1］上有意义，求实数 a 的取值范围。答：a_-。 4 3•若关于x 的不等式x 2+9+|x 2 _3xpkx 在［1,5］上恒成立，则实数 k 的范围为 . 答：k 兰6 4.若曲线f(x)=ax 3+l nx 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _____________________ .答：a<0 1 2 5•若f(x) x bl n(x ・2 )在(-1,+ ：：)上是减函数，则b 的取值范围是 _________________________ 。答：(-：：，-1］ 2 J 3 - ax 1 6 .已知函数f (x) (a =1).若f (x)在区间0,1丨上是减函数，则实数a 的取值范围 a -1 是 ______________ .答： -：：,0 一. 1,31 7•已知函数f (x) =log a (2 - ax)在［0, 1］上是减函数，则a 的取值范围是 __________________ 。答：(1, 2) &函数y=log 1(x -2mx 3)在(-：：,1)上为增函数，则实数 m 的取值范围是 . 答：1^m 乞2 2 9.函数y = log a x(a >0且a 式1)在［2,邑)上恒有I y |>1，则a 的取值范围是 。答：(1,1)U (1,2) 2 10•若关于x 的方程a 2x (1 lg m)a x ^0( a 0 ,且a = 1)有解，则m 的取值范围是 ___________________________ 。 答：0 ::: m 乞 10” 11•设f (x^3ax -2a 1,a 为常数，若存在 x 。•(0,1)，使得f(/) = 0，则实数 a 的取值范围是 = ------------ 。答：(虫‘口) (?，+乂)。 12.如果关于x 的方程(2無-2)2 -a-2 = 0有实数根，那么实数a 的取值范围是 _________________ 。答：［-1,2) 13•已知函数 f (x)的值域[0, 4](x [-2,2])，函数 g(x)二 ax-1,x [-2,2]， -x< ［-2,2］, x 0 • ［-2,2］使得g(x 0) = f (x 1)成立，贝y 实数a 的取值范围是 —。答：(-二丄：］ 2 2 兀 応 已知函数 f (x)=x ,(x [-2,2])， g(x)=a 2sin(2 x ：—) 3a, x [0,—]， 6 2 x 4 已知函数f (x) =lg(5％ m)的值域为R ，则实数m 的取值范围是 5 恒成立与存在性问题方法总结 恒成立与存在性问题方法总结 高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问题方法总结，欢迎来参考！ 一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。 1、构建一次函数众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1:若x€（-2 , 2）,不等式kx+3k+1 >0恒成立，求实数k 的取值范围。 解：构建函数 f (x) = kx+3k+1 ，则原问题转化为 f (x) 在x €( -2 , 2)内恒为正。若k=0，则f (x) =1> 0恒成立；若"0,贝U f (x)为一次函数，问题等价于 f (-2 )> 0, f (2)> 0, 解之得k€ (- , +8)。 例2:对m<2的一切实数m,求使不等式2x-1 >m (x - 1)都成立的x 的取值范围。 解：原问题等价于不等式：(x -1 ) m- (2x-1 )v 0,设 f ( m) =( x -1 ) m-( 2x-1 )，则原问题转化为求一次函数f (m或常数函数在［-2 , 2］内恒为负值时x的取值范围。 ( 1 )当x -1=0 时, x=±1 。 当x=i时，f (m>< 0恒成立；当x=-i时，f (m>< 0不成立。 (2)当x- i工0时，由一次函数的单调性知：f(m< 0 等价于f(-2)< 0,且f(2)< 0,即< x< ；综上,所求的'x €()。 2、构建二次函数二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题,使原本复杂的问题变得容易解决。 例3:若x>0, lg (ax +2x+1 )€R恒成立，求实数a的 取值范围。 解:构造函数g( x) = ax +2x+1 ，则原问题等价于:当x>0时，g (x)恒大于0。 若a=0 且x>0,贝» g (x) = 2x+1 > 0 恒成立； 若a z0,贝U g (x)为二次函数，当a v 0时，显然当x>0时不能使g (x)恒大于0,仅当a>0时，要使当x>0 时，g (x)恒大于0,只 第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 【课前热身】 第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在 性问题 (本讲对应学生用书第21~22页) 1.(必修5 P69练习3改编)不等式x2+x-2<0的解集为. 【答案】(-2，1) 【解析】方程x2+x-2=0的根为x1=-2，x2=1，故不等式x2+x-2<0的解集为(-2，1). 2.(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a=，b=. 【答案】-1 12 7 12 【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-1 12， b=7 12. 3.(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是. 【答案】(0，8) 【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以Δ=a2-4×2a<0，所以0 4.(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)*(x+a)<1对 任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围是. 【答案】 13 - 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即 2 1 - 2 x ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭+ 2 3 - 4 a a ⎛⎫ + ⎪ ⎝⎭>0恒成立，于是 a2-a-3 4<0恒成立，解得- 1 2 浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题 高中数学中的“恒成立”与“存在性”是高中数学中重要的概念。它们都涉及到数学中的思维技巧，也是指导学生使用抽象来解决数学问题的重要原则。两者有着非常重要的关系，本文将着重分析这两个概念的内涵，以及它们之间的关系，为学生未来学习数学打下基础。 “恒成立”是数学概念的重要组成部分，它表明数学定理是恒定不变的，不会随时间和空间的改变而改变。例如，二次方程的根的求解，根据拉格朗日的二次方程定理，我们可以得出根的公式，这个公式在不同的时空中都是恒成立的。此外，还有欧几里得定理、勾股定理、费马定理等，都是恒成立的定理。 “存在性”指的是某一定理能够被证明，可以提供证明定理存在的方式。这一概念的基础是对定理的规则推理，通过推理这些规则，可以得出一些数学定理的存在性。最常用的证明定理存在性的方式是证明反证法，即先假定定理的假设是错误的，考虑假设的反面，如果计算的结果恰好矛盾，则说明定理是存在的。 从数学概念的定义来看，“恒成立”与“存在性”之间存在有机结合关系。首先，“存在性”先于“恒成立”，因为“存在性”是定理能够被证明的基础，是定理恒定的前提，而“恒成立”则是“存在性”的结果。而“恒成立”则是证明“存在性”的重要工具，根据“恒成立”，通过运用既定的数学公式，可以将定理（或者命题）转化为更简单的推理，来证明定理的存在性。 另外，“恒成立”与“存在性”也是高中数学知识中最重要的两 大原则。从数学思维的角度上讲，“存在性”鼓励学生考虑问题的反面，用反证法思考，并有手段地证明或证伪定理，从而运用更多的数学工具来解决问题；而“恒成立”则鼓励学生把固有的数学思维方式发挥出来，从而帮助他们加深对定理的理解，提高数学思维的能力。 综上所述，“恒成立”与“存在性”的综合问题在数学思维中都起着重要的作用。它们是数学概念的组成部分，也是证明、推理、解决数学问题的重要原则，对学生学习数学有着重要的作用。因此，学生应该加强对“恒成立”与“存在性”综合问题的学习，以提高数学思维能力，帮助他们运用有效的思维方式解决数学问题。 导数背景下的恒成立与存在性问题 “恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。 一、 若对∀x I ∈，)(x f a >恒成立，则只需max )(x f a >即可； 若对∀x I ∈，)(x f a <恒成立，则只需min )(x f a <即可； 例1. 已知函数)30(ln )(≤<+ =x x a x x f ，若以其图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2 1≤ k 恒成立，求实数a 的取值范围. 二、 若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a >，则只需min )(x f a >即可； 若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a <，则只需max )(x f a >即可； 例2：已知函数ax ax x f 2)(2+=，x e x g =)(，若在),0(+∞上至少存在一个实数0x ，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围. 三、若对I ∈∀21,x x ，使得不等式a x f x f <-)()(21（a 为常数）恒成立，则只需 a x f x f <-min max )()(即可 例3：已知函数)1()1(2 1ln )(2e a x a x x a x f ≤<+-+=.证明：对于(]a x x ,1,21∈∀，恒有1)()(21<-x f x f 成立. 存在与恒成立问题 题型一不等式的恒成立问题 例1已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法． 例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 破题切入点(1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)． (2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围． 题型三存在与恒成立的综合性问题 例3已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝1 8时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫3 2； (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：ln 3－ln 2 5≤α≤ ln 2 3. 破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题． 总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思． (2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题． (3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题． 1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) “恒成立问题”与“存在性问题”的大体解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的大体类型 恒成立、能成立、恰成立问题的大体类型 一、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 二、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩ 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方式：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 五、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 六、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 八、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B. 九、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的大体类型 在数学问题研究中常常碰着在给定条件下某些结论 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的概念域为 全部实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为 M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩ 在上恒成立在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f mi n mi n ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题
专题 恒成立和存在性问题
恒成立与存在性问题
2020 年高中数学恒成立、存在性问题解决办法
恒成立与存在性问题方法总结
【跨越一本线】高三数学 问题：2.2函数中存在性与恒成立问题(含答案)
高中数学第三讲：恒成立与存在性问题
恒成立问题和存在性问题
恒成立与存在性问题方法总结
高考数学(文)二轮复习专题三 不等式 第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 Word版含答案
浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题
导数背景下的恒成立与存在性问题
存在与恒成立问题
恒成立与存在性问题的解题策略
恒成立和存在性问题的解题策略