高三数学专题——恒成立与存在性问题
高三复习专题——恒成立与存在性问题
知识点总结：
(1)恒成立问题
1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x 3. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) >0，∴F(x)min >0 4. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) ﹤0，∴F(x) ma x﹤0 5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)ma x 6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) (2)存在性问题 1. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) ma x >A； 2. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x) min 3. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)=f(x)- g(x)，∴F(x) ma x >0 4. ∃x0∈D,使得f(x0) 5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) ma x > g(x) min 6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) (3)相等问题 1. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)m in>g(x)m in 2. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) (5)恰成立问题 1. 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D； 2.若不等式f(x) ► 探究点一 ∀x ∈D ，f (x )>g (x )的研究 例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【思路分析】等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决． 简解：（1）由12012232 ++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是 320< ► 探究点二 ∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究 对于∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究，先设h (x )＝f (x )－g (x )，再等价为∃x ∈D ，h (x )max >0，其中若g (x )＝c ，则等价为∃x ∈D ，f (x )max >c . 例 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 【解答】 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (x ))处的切线方程为 8x －y －2＝0. (2)解法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭ ⎫x －23a (1≤x ≤2)， 当23a ≤1，即a ≤32时，f ′(x )≥0，f (x )在[1,2]上为增函数， 故f (x )m in ＝f (1)＝11－a ，所以11－a <0，a >11，这与a ≤32矛盾． 当1<23a <2，即32 当1≤x <23a ，f ′(x )<0；当23a 所以x ＝23a 时，f (x )取最小值， 因此有f ⎝⎛⎭ ⎫23a <0，即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0，解得a >3352，这与32 4a <0，解得a >92，这符合a ≥3. 综上所述，a 的取值范围为a >92. 解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2， 设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3， ∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，所以g (x )在[1,2]上是减函数． g (x )m in ＝g (2)，所以a >92. 【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax 2>x 3＋10中x 2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论． ► 探究点三 ∀x 1∈D ，∀x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究 例、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ； 方法2：变量分离，)( 10x x a b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a 简解： 方法1:对b x x a b x x g x h ++= ++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者． ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． ► 探究点四 ∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究 对于∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究，第一步先转化为∃x 2∈D ，f (x 1)m in >g (x 2)，再将该问题按照探究点一转化为f (x 1)m in >g (x 2)m in . 例、已知函数f (x )＝2|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8. (1)若方程f (x )＝2|m |在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m 的取值范围； (2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[4，＋∞)， 使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围． 【解答】 (1)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解， 得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解． 当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4， 即m <－2或m ＝0. 综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －m x ≥m ，2m －x x ①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ， ＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4>2m －8，解得4 所以4 ②当m >8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在⎣⎡⎦⎤4，m 2单调递增，⎣⎡⎦ ⎤m 2，m 上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增， g (4)＝6m －24>g (m )＝2m －8， 故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4>2m －8， 解得4 ③0 故f (x )≥f (m )＝(x )在[4，＋∞)上单调递增， 故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m <1，即72 ④m ≤0时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m ,4]上单调递增， 故f (x )≥f (m )＝(x )在[4，＋∞)上单调递增， 故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m <1，即m >72(舍去)． 综上，m 的取值范围是⎝⎛⎭ ⎫72，5∪(6，＋∞)． 【点评】 因为对于∀x ∈D ，f (x )>c ，可以转化为f (x )m in >c ；∃x ∈D ，c >g (x )，可以转化为c >g (x )m in ，所以本问题类型可以分两步处理，转化为f (x )m in >g (x )m in . ► 探究点五 ∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究 对于∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究，若函数f (x )的值域为C 1，函数g (x )的值域为C 2，则该问题等价为C 1⊆C 2. 例、设函数f (x )＝－13x 3－13x 2＋53x －4. (1)求f (x )的单调区间； (2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a .若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围． 【解答】 (1)f ′(x )＝－x 2－23x ＋53，令f ′(x )>0，即x 2＋23x －53<0， 解得－53 ⎫－∞，－53和(1，＋∞)． (2)由(1)可知：当x ∈[0,1]时，f (x )单调递增， ∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[f (0)，f (1)]，即f (x )∈[－4，－3]． 又g ′(x )＝3x 2－3a 2，且a ≥1，∴当x ∈[0,1]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，∴当x ∈[0,1]时，g (x )∈[g (1)，g (0)]，即g (x )∈[－3a 2－2a ＋1，－2a ]， 又对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 0)成立 ⇔[－4，－3]⊆[－3a 2－2a ＋1，－2a ]，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3a 2－2a ＋1≤－4，－3≤－2a ， 解得1≤a ≤32. 恒成立与存在有解的区别： 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ； 方法总结： 1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为∀x ∈D ，f (x )>c ，可以转化为f (x )m in >c ；∃x ∈D ，c >g (x )，可以转化为c >g (x )m in ；∃x ∈D ，c ＝g (x )，可以转化为c ∈{y |y ＝g (x )}，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理． 2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题． 练习: `1.已知两函数()2728f x x x c =--，()322440g x x x x =+-。 （1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； 2.设函数3221()23(01,)3 f x x ax a x b a b R =-+-+<<∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。 3.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足： ()[]()01x ln 1f 2y =⋅++⋅'+-. （1）求函数y ＝f (x )的表达式； （2）若x ＞0，证明：f (x )＞2x x ＋2； （3）若不等式32)(2 1222--+≤bm m x f x 时，x ∈[-1,1]及b ∈[-1,1]都恒成立，求实数m 的取值范围． 函数与导数 14 导数及其应用 恒成立及存在性问题 一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用： ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。 ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。 考点透析： 1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； 3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础； (2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性： 1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数. 2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数． 3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定． 4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域； 【考点讲解】 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 恒成立、存在性问题解决办法总结 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m a x ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 高三复习专题——恒成立与存在性问题 知识点总结： (1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 2020 年恒成立、存在性问题解决办法 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 高三数学专题——恒成立与存在性问题 高三复专题——恒成立与存在性问题 知识点总结： 1.___成立问题： 1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A； 2) 若对于D中的任意x，都有f(x) 5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值； 6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1) 6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1) ［ ；「)。 14. -x 1 恒成立问题和存在性问题 / 2 1若函数f(x)二2x 2ax - -1的定义域为R,则a 的取值范围是 ____________________________ 。答：［—1, 0］ ---------------- 3 2•设函数y 二1 2x a 4x ，若函数在(一二，1］上有意义，求实数 a 的取值范围。答：a_-。 4 3•若关于x 的不等式x 2+9+|x 2 _3xpkx 在［1,5］上恒成立，则实数 k 的范围为 . 答：k 兰6 4.若曲线f(x)=ax 3+l nx 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _____________________ .答：a<0 1 2 5•若f(x) x bl n(x ・2 )在(-1,+ ：：)上是减函数，则b 的取值范围是 _________________________ 。答：(-：：，-1］ 2 J 3 - ax 1 6 .已知函数f (x) (a =1).若f (x)在区间0,1丨上是减函数，则实数a 的取值范围 a -1 是 ______________ .答： -：：,0 一. 1,31 7•已知函数f (x) =log a (2 - ax)在［0, 1］上是减函数，则a 的取值范围是 __________________ 。答：(1, 2) &函数y=log 1(x -2mx 3)在(-：：,1)上为增函数，则实数 m 的取值范围是 . 答：1^m 乞2 2 9.函数y = log a x(a >0且a 式1)在［2,邑)上恒有I y |>1，则a 的取值范围是 。答：(1,1)U (1,2) 2 10•若关于x 的方程a 2x (1 lg m)a x ^0( a 0 ,且a = 1)有解，则m 的取值范围是 ___________________________ 。 答：0 ::: m 乞 10” 11•设f (x^3ax -2a 1,a 为常数，若存在 x 。•(0,1)，使得f(/) = 0，则实数 a 的取值范围是 = ------------ 。答：(虫‘口) (?，+乂)。 12.如果关于x 的方程(2無-2)2 -a-2 = 0有实数根，那么实数a 的取值范围是 _________________ 。答：［-1,2) 13•已知函数 f (x)的值域[0, 4](x [-2,2])，函数 g(x)二 ax-1,x [-2,2]， -x< ［-2,2］, x 0 • ［-2,2］使得g(x 0) = f (x 1)成立，贝y 实数a 的取值范围是 —。答：(-二丄：］ 2 2 兀 応 已知函数 f (x)=x ,(x [-2,2])， g(x)=a 2sin(2 x ：—) 3a, x [0,—]， 6 2 x 4 已知函数f (x) =lg(5％ m)的值域为R ，则实数m 的取值范围是 5 导数背景下的恒成立与存在性问题 “恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。 一、 若对∀x I ∈，)(x f a >恒成立，则只需max )(x f a >即可； 若对∀x I ∈，)(x f a <恒成立，则只需min )(x f a <即可； 例1. 已知函数)30(ln )(≤<+ =x x a x x f ，若以其图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2 1≤ k 恒成立，求实数a 的取值范围. 二、 若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a >，则只需min )(x f a >即可； 若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a <，则只需max )(x f a >即可； 例2：已知函数ax ax x f 2)(2+=，x e x g =)(，若在),0(+∞上至少存在一个实数0x ，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围. 三、若对I ∈∀21,x x ，使得不等式a x f x f <-)()(21（a 为常数）恒成立，则只需 a x f x f <-min max )()(即可 例3：已知函数)1()1(2 1ln )(2e a x a x x a x f ≤<+-+=.证明：对于(]a x x ,1,21∈∀，恒有1)()(21<-x f x f 成立. 三一文库（https://www.360docs.net/doc/3c19215555.html,）/总结〔恒成立与存在性问题方法总结〕 高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、 二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结 合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能 力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的 作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问 题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问 题方法总结，欢迎来参考！ ▲一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性 质来解决的问题。 1、构建一次函数 众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数 在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间 内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求 实数k的取值范围。 第1页共5页 解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x） 在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立； 若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f （2）＞0， 解之得k∈（- ，+∞）。 例2：对≤2的一切实数，求使不等式2x-1＞（x -1） 都成立的x的取值范围。 解：原问题等价于不等式：（x -1）-（2x-1）＜0，设f （）=（x -1）-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（） 或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。 （1）当x -1=0时，x=±1。 当x=1时，f（）＜0恒成立；当x=-1时，f（）＜0不 成立。 （2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（） ＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上， 所求的x∈（）。 2、构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用 二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本 复杂的问题变得容易解决。 例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a 的取值范围。 25 恒成立与存在性问题方法总结 恒成立与存在性问题方法总结 高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问题方法总结，欢迎来参考！ 一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。 1、构建一次函数众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1:若x€（-2 , 2）,不等式kx+3k+1 >0恒成立，求实数k 的取值范围。 解：构建函数 f (x) = kx+3k+1 ，则原问题转化为 f (x) 在x €( -2 , 2)内恒为正。若k=0，则f (x) =1> 0恒成立；若"0,贝U f (x)为一次函数，问题等价于 f (-2 )> 0, f (2)> 0, 解之得k€ (- , +8)。 例2:对m<2的一切实数m,求使不等式2x-1 >m (x - 1)都成立的x 的取值范围。 解：原问题等价于不等式：(x -1 ) m- (2x-1 )v 0,设 f ( m) =( x -1 ) m-( 2x-1 )，则原问题转化为求一次函数f (m或常数函数在［-2 , 2］内恒为负值时x的取值范围。 ( 1 )当x -1=0 时, x=±1 。 当x=i时，f (m>< 0恒成立；当x=-i时，f (m>< 0不成立。 (2)当x- i工0时，由一次函数的单调性知：f(m< 0 等价于f(-2)< 0,且f(2)< 0,即< x< ；综上,所求的'x €()。 2、构建二次函数二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题,使原本复杂的问题变得容易解决。 例3:若x>0, lg (ax +2x+1 )€R恒成立，求实数a的 取值范围。 解:构造函数g( x) = ax +2x+1 ，则原问题等价于:当x>0时，g (x)恒大于0。 若a=0 且x>0,贝» g (x) = 2x+1 > 0 恒成立； 若a z0,贝U g (x)为二次函数，当a v 0时，显然当x>0时不能使g (x)恒大于0,仅当a>0时，要使当x>0 时，g (x)恒大于0,只 高三数学跨越一本线精品 问题二函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越 来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下： (1)恒成立问题 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x 任意性存在性恒成立专题 知识总结 (1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max 专题3.12 恒成立、存在性问题 1．恒成立、存在性问题的求解思路： （1）转化为基本函数（曲线）问题：数形结合，利用函数图象或曲线性质求解，如一次函数端点法，二次函数判别式、指对函数切线法、根式平方联想圆等等； （2）分离参数法：转化为函数最值问题求解； （3）变换主元法：参数与变量角色转化，以参数为自变量，构建函数再求解． 2．不等式恒成立问题的求解策略： （1）分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤）； （2）数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； （3）讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立． 3．不等式能恒成立求参数值(取值范围)的求解策略： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．对于已知函数()y f x =的单调性求参数问题： （1）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递增，转化为区间D 上()0f x '≥恒成立； （2）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递减，转化为区间D 上()0f x '≤恒成立； （3）已知可导函数()f x 在区间D 上存在增区间，转化为()0f x '>在区间D 上有解； （4）已知可导函数()f x 在区间D 上存在减区间，转化为()0f x '<在区间D 上有解． 【预测题1】已知函数()ln x f x x -= ． 专题8：恒成立与存在性问题 1．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得 0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[,1)2e - B ．33[,)24 e - C ．33[,)24 e D ．3[,1)2e 【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-， 由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方， ()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+， ∴当1 2x <- 时，()0g x '<，当12 x >-时，()0g x '>， ∴当1 2 x =-时，()g x 取最小值1 22e --， 当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---，解得 3 12a e < 故选：D ． 2．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在两个整数1x ，2x ，使得1()f x ，2()f x 都小于0，则a 的取值范围是( ) A ．2 5[ 3e ， 3)2e B ．3[2e - ， 3)2e C ．2 5[ 3e ，1) D ．3[2e ，1) 【解析】函数()(21)x f x e x ax a =--+， 其中1a <， 设()(21)x g x e x =-，y ax a =-， 存在两个整数1x ，2x ， 使得1()f x ，2()f x 都小于0， ∴存在两个整数1x ，2x ， 使得()g x 在直线y ax a =-的下方， ()(21)x g x e x '=+， ∴当1 2 x <- 时，()0g x '<， ∴当1 2 x =-时，121[()]()22min g x g e -=-=-． 当0x =时，(0)1g =-，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过(1,0)，斜率为a ，故(0)1a g ->=-， 且1(1)3g e a a --=-<--，解得3 2a e < ．(2)2g a a ---，解得253a e ， a ∴的取值范围是2 5 [ 3e ， 3 )2e ． 故选：A ． 1 高考数学-恒成立、存在性问题（存在量词） 例1)2,1(∈∀x ，0ln 2 12>--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 )2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∀x ，x x a ln 2 12-<. ∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,2 1(-,∴21≤a . 例2 ),1(+∞∈∀x ，0ln 2 12<--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 ),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ⇔),1(+∞∈∀x ，x x a ln 2 12->. ∵),1(+∞∈x 时, 函数x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为),2 1(+∞,∴Φ∈a . 例3 )2,1(∈∃x ，0ln 2 12>--a x x ，则实数a 的取值范围是 . 分析 )2,1(∈∃x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∃x ，x x a ln 2 12-<. ∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,2 1(-,∴2ln 2->a . 小结 当函数)(x f 的最值不存在时的“恒成立”和“有解”问题可以这样处理: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则 I x ∈∀，)(x f a <⇔m a ≤； I x ∈∃，)(x f a <⇔n a <； I x ∈∀，)(x f a ≤⇔m a ≤； I x ∈∃，)(x f a ≤⇔n a <； I x ∈∀，)(x f a >⇔n a ≥； I x ∈∃，)(x f a >⇔m a >； I x ∈∀，)(x f a ≥⇔n a ≥； I x ∈∃，)(x f a ≥⇔m a >； (2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则 I x ∈∀，)(x f a >⇔Φ∈a ； I x ∈∀，)(x f a ≥⇔Φ∈a ； I x ∈∃，)(x f a <⇔R a ∈； I x ∈∃，)(x f a ≤⇔R a ∈； (3)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n -∞, 则 I x ∈∀，)(x f a <⇔Φ∈a ； I x ∈∀，)(x f a ≤⇔Φ∈a ； I x ∈∃，)(x f a >⇔R a ∈； I x ∈∃，)(x f a ≥⇔R a ∈. 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 核心思想: 1.恒成立问题的转化: ()a f x >恒成立⇒()max a f x >; ()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2.能成立问题的转化: ()a f x >能成立⇒()min a f x >; ()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3.恰成立问题的转化: 若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立⇒)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ; 若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立⇒ )(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4. 设函数()x f ,()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥; 设函数()x f ,()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤; 设函数()x f ,()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥; 设函数()x f ,()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤; 5.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在 函数()y g x =图象上方; 若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00 a <⎧⎨ ∆<⎩）; ②.若二次函数2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. 一﹑主参换位法 例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取 值范围． 二﹑二次不等式恒成立问题 例2．已知关于的不等式对一切实数恒成立，求 实数的取值范围． 例3．已知函数()()()2 2241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与 40≤≤p 342 -+>+p x px x x x 03)1(4)54(2 2>+---+x m x m m x m高考数学(理)函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题(解析版)
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