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2016届高三文科数学模拟试卷(一）

第I 卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合{}

1A x x =≤，集合B Z =，则A

B =( )

A.{}0

B.{}11A x x =-≤≤

C.{}1,0,1-

D.? 1.解:集合{}

{}111A x x x x =≤=-≤≤，所以{}1,0,1A B =-，选C.

2.设i 是虚数单位，复数111i

z i

-=+

+在复平面上所表示的点为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.解:复数12

1111i z i i i

-=+

==-++.所对应的点为(1,1)-,在第四象限,选D. 3.已知向量(,2)a m =-，(4,2)b m =-，条件p ://a b ，条件q :2m =，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.解:因为2//2802a b m m ?-+=?=±，所以p 是q 的必要不充分条件，选B. 4.函数1()cos23sin cos 2

f x x x x =+的一个对称中心是( ) A.(,0)3π B.(,0)6

π C.(,0)6

π

-

D.(,0)12

π

-

4.解:函数113()cos23sin cos cos2sin 2sin(2)2226

f x x x x x x x π

=+=+=+的对称中心的横

坐标满足2,6

x k k Z π

π+

=∈,即,212k x k Z ππ=

-∈,所以(,0)12

π

-是它的一个对称中心，

选D.

5.定义运算“*”为：(0)

2(0)a b ab a a b a +

,若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是

( )

5.解:21(1)(1)

()(1)2(1)x x x x f x x x x ++<-?=+*=?≥-?

,选D.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A.3(2)2π+ B.3

(4)3π+ C.3(

2)6π+ D.3(2)3

π+ 6.解:由三视图可知该几何体是组合体，上方是底面圆半径为1

、高为3的半个圆锥，下

方是底面圆半径为1、高为2的圆柱，且圆柱的上底面与半圆锥的底面重合，所以该几何

体的体积是113

32(2)326

πππ??+=+，选C.

7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A.6 B.8 C.10 D.15

7.解:该程序框图运行3次，各次S 的值依次是3,6,10，所以输出的结果是10，选C. 8.如图所示，为了测量某湖泊两侧,A B 间的距离，李宁同学首先选定了与,A B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ?的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定,A B 间距离的所有方案的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

8.解:根据图形可知，,a b 可以测得，角,,A B C 也可以测得，利用测量的数据，求解,A B 两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的,A B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定,A B 两点间的距离，选A.

9.已知0a >，,x y 满足约束条件1

3(3)

x x y y a x ≥??

+≤??≥-?

，若2z x y =+的最小值为32，则a =( )

A.

14 B.1

2

C.1

D.2 9.解:如图,平移直线2y x =-经过直线1x =与(3)y a x =-的交点

(1,2)A a -时,目标函数2z x y =+取得最小值,

则321(2)2

a ?+-=

,解得1

4a =,选A.

10.已知点(,)n n A n a (n N +

∈)都在函数()log a f x x =(0a >且1a ≠)的图象上，则210a a +

与62a 的大小关系为( )

A.21062a a a +>

B.21062a a a +<

C.21062a a a +=

D.210a a +与62a 的大小与a 有关 10.解:由条件知log n a a n =，所以210log 2log 10log 20a a a a a +=+=,

622log 6log 36a a a ==,所以210a a +与62a 的大小与a 有关,选D.

11.若函数3

2

()236f x x mx x =-+在(2,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.(,2)-∞ B.(,2]-∞ C.5(,)2-∞ D.5(,]2

-∞

11.解:因为2()666f x x mx '=-+,令2

6660x mx -+≥，则1m x x ≤+

，又因为1y x x

=+ 在(2,)+∞上为增函数，故当(2,)x ∈+∞时，152x x +

>，故5

2

m ≤，选D. 12.点P 为双曲线

22

1916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和圆 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为( )

A.8

B.9

C.10

D.7

12.解:易知两圆圆心分别为双曲线的左、右焦点12(5,0),(5,0)F F -，点P 是双曲线右支上一点，由双曲线定义可得1226PF PF a -==，当1,,P M F 且2,,P N F 共线时, PM PN -有最大值,1122()()6219PM PN PF r PF r -≤+--=++=,即PM PN -的最大值为

9，选B.

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.高三某学习小组对两个相关变量收集到6组数据如表：

x 10 20 30 40 50 60 y 39

28

m n

43

41

由最小二乘法得到回归直线方程0.8211.3y x =+，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个数据的和是________. 13.解:由表中数据可得102030405060

356

x +++++=

=，代入线性回归方程得

0.823511.340y =?+=，39284341406m n +++++=?,89m n +=.

14.直三棱柱111ABC A B C -的顶点在同一个球面上，13,4,26AB AC AA ===，

90BAC ∠=，则球的表面积为________.

14.解:取11,BC B C 的中点分别是1,D D ，则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O 在1DD 的 中点，设外接球的半径为R ，则222

22

549

()(6)2

4

R AD DO =+=+=，故此球的表面积 为2

449S R ππ==.

15.设抛物线2

4x y =的焦点为F ,经过点(1,4)P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点,且点P 恰为AB 的中

点,则AF BF += .

15.解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由题意知122x x +=,且22

11224,4x y x y ==,两式相减整理

得

212121142y y x x x x -+==-,所以直线AB 的方程为1

4(1)2

y x -=-,即270x y -+=,

将27x y =-代入24x y =整理得2

432490y y -+=,所以128y y +=,又由抛物线定义得

12210AF BF y y +=++=.

16观察下列等式：

2

3

(11)21,(21)(22)213,(31)(32)(33)2135+=?++=??+++=???, ……,照此规律，第n 个等式可为________________________．

16.解:观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从1n +到n n +，等式右端是积式， 第一项是2n

，后面是等差数列{}21n -的前n 项的乘积，故第n 个等式为

(1)(2)()213(21)n n n n n n +?+?

?+=???

?-．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知等差数列{}n a 中，12a =-，公差3d =；数列{}n b 中，n S 为其前n 项和，满足

212n n n S +=(n N +∈).

(1)记1

1

n n n c a a +=

，求数列{}n c 的前n 项和n T ； (2)求证:数列{}n b 是等比数列；

17.解:(1)因为12a =-,3d =,所以1(1)23(1)35n a a n d n n =+-?=-+-=-, 则111111

()(35)(32)33532

n n n c a a n n n n +=

==-----, 所以11111111[(1)(1)(

)]()324

353232322(32)

n n

T n n n n =-

-+-++-=--=-----; (2)因为212n n

n S +=,所以112n n S =-

,11

11(2)2n n S n --=-≥, 则1

11111111111()(2)2222222n n n n n n n n b S S n -----=-=-=-?=?≥,

当1n =,11

111

122b S ==-=,满足上述通项公式，

所以数列{}n b 是以112b =为首项, 1

2

q =为公比的等比数列.

18.(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实

弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.

(1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；

(2)若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率． 解:(1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙，则 x －

甲＝16(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113，

x －

乙＝16

(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113，

S 2甲＝16[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2

] ＝21.

S 2乙＝16[(108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2

] ＝883

. 因为x －甲＝x －乙，S 2甲

乙，所以红军的射击成绩相对比较稳定．

(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人，共有15种不同的取法，其成绩情况如下：

(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．

设A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，则A 的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)， 故所求概率为P (A )＝415

.

19.(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ， 且P A ＝2，E 是侧棱P A 上的动点．

(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；

(2)如果E 是P A 的中点，求证PC ∥平面BDE ； (3)是否不论点E 在侧棱P A 的任何位置， 都有BD ⊥CE ？证明你的结论． 19.解:(1)∵P A ⊥平面ABCD ，

∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×2＝23.

即四棱锥P －ABCD 的体积为2

3.

(2)连接AC 交BD 于O ，连接OE .

∵四边形ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点． 又∵E 是P A 的中点，∴PC ∥OE .

∵PC ?平面BDE ，OE ?平面BDE ，∴PC ∥平面BDE . (3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥CE .

证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥底面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，∴BD ⊥P A . 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC . ∵不论点E 在何位置，都有CE ?平面P AC . ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥CE .

20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0)且与直线x ＝－1相切， 设该动圆圆心的轨迹为曲线E .

(1)求曲线E 的方程；

(2)已知点A (5,0)，倾斜角为π

4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且与曲线E 交

于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程． 20.解:(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4x . (2)由题意，可设l 的方程为y ＝x －m ，其中0＜m ＜5

由方程组?????

y ＝x －m

y 2＝4x

，消去y ，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0 ①

当0＜m ＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m ＋4)2－4m 2＝16(1＋m )＞0成立． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝4＋2m ，x 1·x 2＝m 2， ∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝ 42＋2m 又因为点A 到直线l 的距离为d ＝5－m

2

∴S △AMN ＝2(5－m )1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f (m )＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0

故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .

(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；

(3)若函数g (x )＝2

x

＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．

21解:(1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2

＋2a

x

.由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.

(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．

①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )

x .

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：

x (0，－a )

－a (－a ，＋∞)

f ′(x )

－

＋

f (x ) 极小值

由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )；单调递增区间是(－a ，＋∞)． (3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a

x

，

由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1

x －x 2在[1,2]上恒成立．

令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1

x 2＋2x )<0，

∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－7

2，

∴a ≤－72，故a 的取值范围为(－∞，－7

2

]．

22.(本小题满分10分)已知切线AB 与圆切于点B ，圆内有一点C 满足 AB ＝AC ，∠CAB 的 平分线AE 交圆于D , E ，延长EC 交圆于F ，延长DC 交圆于G ，连接FG . (1)证明：AC ∥FG ；

(2)求证：EC ＝EG .

22．证明:(1)∵AB 切圆于B ，∴AB 2＝AD ·AE ， 又∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AD ·AE ， 即

AC AE ＝AD

AC

，又∠CAD ＝∠EAC ， ∴△ACD ∽△AEC ，∴∠ACD ＝∠AEC ，

又∵∠AEC ＝∠DGF ，∴∠ACD ＝∠DGF ，∴AC ∥FG .

(2)连接BD ，BE ，EG .

由AB ＝AC ，∠BAD ＝∠DAC 及AD ＝AD ， 知△ABD ≌△ACD ，

同理有△ABE ≌△ACE ，∴∠BDE ＝∠CDE ，BE ＝CE . ∴BE ＝EG ，∴EC ＝EG .

23.(本小题满分10分)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为????4，π

2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C

以M 为圆心，4为半径．

(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；

(2)试判定直线l 与圆C 的位置关系．

23.解:(1)直线l 的参数方程???x ＝1＋cos π3

·t ，y ＝－5＋sin π

3·t

(t 为参数)，

则???x ＝1＋1

2

t ，

y ＝－5＋3

2t

(t 为参数)．M 点的直角坐标为(0，4)，

圆C 方程x 2

＋(y －4)2

＝16且?????x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ

代入得圆C 极坐标方程ρ＝8sin θ. (2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心M 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋3

2＞4.

∴直线l 与圆C 相离．

24.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥4－x ；

(2)设a ，b ∈{y |y ＝f (x )}，试比较2(a ＋b )与ab ＋4的大小． 24.解:(1)f (x )＝????

?－2x ＋1 （x ＜－1），3 （－1≤x ≤2），2x －1 （x ＞2）.

由f (x )≥4－x ，得?

????x ＜－1，

－2x ＋1≥4－x

或????

?－1≤x ≤2，3≥4－x 或?

????x ＞2，2x －1≥4－x ，∴x ≤－3或1≤x ≤2或x ＞2. 所以不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)由(1)已知f (x )≥3，所以a ≥3，b ≥3，

由于2(a ＋b )－(ab ＋4)＝2a －ab ＋2b －4＝a (2－b )＋2(b －2)＝(a －2)(2－b )，由于a ≥3，b ≥3， 所以a －2＞0，2－b ＜0.所以(a －2)(2－b )＜0，所以2(a ＋b )＜ab ＋4.