数列与不等式复习题
数列与不等式复习题(一)
1.数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 ( ) A .43-=n a n B .43+-=n a n C .()43)1(--=n a n
n D .()43)
1(1
--=-n a n n
2、在数列{}n a 中,122,211=-=+n n a a a ,则101a 的值为( )
A .49
B .50
C .51
D .52
3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为( ) A .15. B .17. C .19. D .21 4.不等式01
31
2>+-x x 的解集是 ( )
A .}21
31|{>- B .}2 131|{<<- x x C .}2 1 |{>x x D .}3 1 |{->x x 5.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ) A.5 B.4 C. 3 D. 2 6.数列 ,16 1 4 ,813,412,21 1前n 项的和为( ) A .2212n n n ++ B .122 12+++-n n n C .22 12n n n ++- D . 2 2121 n n n -+- + 7.f x ax ax ()=+-2 1在R 上满足f x ()<0,则a 的取值范围是( ) A .a ≤0 B .a <-4 C .-<<40a D .-<≤40a 8.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( ) (A)1 2 2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 9.已知在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a . 10.若方程x x a a 2 2 220-+-=lg()有一个正根和一个负根,则实数a 的取值范围是 __________________. 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若5,10105-==S S ,则公差为 (用数字作答). 12.已知实数a ,b ,c 成等差数列,和为15,且a +1,b +1,c +4成等比数列,求a ,b ,c . 13.已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 14. 数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,11 3 n n a S += ,n =1,2,3,……,求 (I )a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式; (II )2462n a a a a ++++ 的值. 数列与不等式复习题(一)答案 9.12n - 10.11,0,122???? - ? ? ????? 11.-1 12.解:由题意,得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ?++=? +=??++=+? ……………… 由(1)(2)两式,解得5b = 将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+=,解得 2a =或11a = 故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算,上述两组数符合题意。 13.解:设y =f (x )=kx +b ,则f (2)=2k +b ,f (5)=5k +b ,f (4)=4k +b , 依题意:[f (5)]2=f (2)·f (4). 即(5k +b )2=(2k +b )(4k +b )化简得k (17k +4b )=0. ∵k ≠0,∴b =-17 4 k ① 又∵f (8)=8k +b =15 ② 将①代入②得k =4,b =-17. ∴S n =f (1)+f (2)+…+f (n )=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4n -17) =4(1+2+…+n )-17n =2n 2-15n . 14.解:(I )由a 1=1,11 3 n n a S += ,n=1,2,3,……,得 211111333a S a ===,3212114()339a S a a ==+=,431231116 ()3327 a S a a a ==++= , 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=(n≥2),得14 3n n a a +=(n≥2), 又a 2=31,所以a n =214()33n -(n≥2), ∴ 数列{a n }的通项公式为2 1 114()2 33 n n n a n -=?? =???≥; (II )由(I )可知242,,,n a a a 是首项为 31 ,公比为24()3项数为n 的等比数列, ∴ 2462n a a a a ++++ =22241()1343[()1]4373 1()3 n n -? =-- 数列与不等式测试题 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分;共60分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是() A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0 7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+,前n 项和为9 19 ,则项数n 为( ) A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中,若9418,240,30n n S S a -===,则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,100S >并且110S =,若n k S S ≤对n N *∈恒成立,则正 整数k 构成集合为 ( ) A .{5} B .{6} C .{5,6} D .{7} 11.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和,则其公比是( ) A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项,则 22ab a b +的最大值为() A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.公差不为0的等差数列{}n a 中,2 37 11220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b = . 三角函数、数列、不等式练习题 命题人:刁化清 一、选择题 1.对于任意的实数,,a b c ,下列命题正确的是 A .若22bc ac >,则b a > B .若0,≠>c b a ,则bc ac > C .若b a >,则 b a 11< D .若b a >,则22b c ac > 2. 设0 C .0()0f x < D .)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列{n a }中,若,8171593=+++a a a a 则=11a ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8.已知等差数列前n 项和为n S ,且,则13S 的值为 A .13 B .26 C .8 D .162 9.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 10=2,S 30=14,则S 40等于( ) A .80 B .30 C .26 D .16 10.在ABC ?中,角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,若2cos a c B =,则ABC ?的形状为 A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 数列与不等式专题练习 一、选择题 1.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于( ) A .66 B .99 C .144 D .297 2.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为( ) A .81 B .120 C .168 D .192 3.12+与12-,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D .2 1 4.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ,那么2113 -是此数列的第( )项 A .2 B .4 C .6 D .8 5.在公比为整数的等比数列{}n a 中,如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为( ) A .513 B .512 C .510 D .8 225 6.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A .4- B .6- C .8- D .10- 7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5 935,95S S a a 则( ) A .1 B .1- C .2 D . 21 8.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列,则x 的值等于( ) A .1 B .0或32 C .32 D .5log 2 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是( ) A .15(0,)2+ B .15(,1]2- C .15[1,)2+ D .)2 51,251(++- 10.在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .等腰直角三角形 D .以上都不对 11.在等差数列{}n a 中,设n a a a S +++=...211,n n n a a a S 2212...+++=++,n n n a a a S 322123...+++=++,则,,,321S S S 关系为( ) A .等差数列 B .等比数列 C .等差数列或等比数列 D .都不对 12.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log ...log a a a +++=( ) A .12 B .10 C .31log 5+ D .32log 5+ 一.方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数的取值范围为() A.B. C.D. 【答案】A 【解析】 由题意得,则,等差数列的公差, . 由, 得, 则不等式恒成立等价于恒成立, 而, 问题等价于对任意的,恒成立. 设,, 则,即, 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是由等差数列通项公式可得,进而由递推关系可得 ,借助裂项相消法得到,又 ,问题等价于对任意 的 , 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =,其前n 项和为n S ,且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈,若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立,则a 的取值范围是( ) A .()3,5 B .()4,6 C .[)3,5 D .[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 , ,则使 的正整数的最小值是( ) A .2018 B .2019 C .2020 D .2021 数列与不等式复习题(一) 1.数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 ( ) A .43-=n a n B .43+-=n a n C .()43)1(--=n a n n D .()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中,122,211=-=+n n a a a ,则101a 的值为( ) A .49 B .50 C .51 D .52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为( ) A .15. B .17. C .19. D .21 4.不等式01 31 2>+-x x 的解集是 ( ) A .}21 31|{>- 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项:①;②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①;②(4)造等差、等比数列求通项:;②;③;④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ ; ⑵.总结:任何一个数列,它的前项和n S 与通项n a 都存在关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ,则把它们 统一起来,否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项 例2:⑴已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式; ⑵已知为数列{}n a 的前项和,,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“”; 迭乘法适用于求递推关系形如““;⑵迭加法、迭乘法公式:① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法: ①令;② 在中令,;③由得,. 例4已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“”通过适当变形可转化为: “”或“求解. 数列求和的常用方法 高一数学检测卷(十一) 一、选择题 1. a ∈R ,且a 2+a <0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是( ) A .a 2>-a 3>-a B .-a >a 2>-a 3 C .-a 3>a 2>-a D .a 2>-a >-a 3 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.已知x ,y ∈R + ,2x +y =2,c =xy ,那么c 的最大值为( ) A .1 B.12 C.22 D.14 4.设{}n a (n ∈N * )是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误..的是( ) A .d <0 B .a 7=0 C .S 9>S 5 D .S 6与S 7均为S n 的最大值 5.若数列{x n }满足lg x n +1=1+lg x n (n ∈N +),且x 1+x 2+x 3+…+x 100=100, 则lg(x 101+x 102+…+x 200)的值为( ) A .102 B .101 C .100 D .99 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1,a 3,a 9成等比数列,则 a 1+a 3+a 9 a 2+a 4+a 10 等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516 8.在平面直角坐标系中,不等式组???? ? x +y ≥0x -y +4≥0 x ≤1 表示的平面区域面积是( ) A .3 B .6 C.9 2 D .9 数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答(1) 1.已知数列{}n a 的前n 项积为n T ,{}n T 为等差数列,且1324a T ==,. (1)求n a ; (2)证明: 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 2.已知数列{}n a 满足11a =,点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =, 121 111n n n c a a a a -=++???+(2n ≥且n *∈N ). (1)求{}n a 的通项公式; (2)(i )求证:11 1n n n n c a c a +++=(2n ≥且n N ∈); (ii )求证:231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 3.已知{}n a 是无穷数列.给出两个性质: ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >,在{}n a 中都存在一项m a ,使2 i m j a a a =; ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ,在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >.使得2k n l a a a =. (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==,判断数列{}n a 是否满足性质①,说明理由; (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==,判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②,说明理由; (Ⅲ)若{}n a 是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{}n a 为等比数列. 4.设数列{}n a 的前n 项的积为n T ,满足1n n T a =-,*N n ∈,记222 12n n S T T T =++???+ (1)证明:数列11n a ?? ??-? ?是等差数列; (2)记1n n n d a S +=-,证明:11 32 n d << 数列及不等式综合测试卷 测 试 卷 第I 卷(选择题) 一、选择题 1.下列不等式中成立的是( ) A .若a b >,则2 2 ac bc > B .若 a b >,则2 2 a b > C .若0a b <<,则2 2 a ab b << D .若 a b <<,则11 >a b 2.下列命题中,正确的是( ) A.若b a >,d c >,则bd ac > B.若bc ac >,则b a > C.若2 2 c b c a < ,则b a < D.若b a >,d c >, 则d b c a ->- 3.设1 1 1 () ()122 2 b a <<<,那么 A . a b a b a a << B .b a a a b a << C .a a b b a a << D .a a b a b a << 4.设3log π =a ,3 .02=b ,6 sin log 3π =c ,则 A .c b a >> B .b a c >> C .c a b >> D .a c b >> 5.若正数a, b 满足3a+4b=ab ,则a+b 的最小值为( ) A .6+2 B .7+2 C .7+4 D .7-6.在等比数列{}n a 中,若1 2 a =,2 50 a a +=,{}n a 的n 项 和为n S ,则2015 2016S S += ( ) A .4032 B .2 C .2- D .4030- 7.等比数列{}n a 中,4 52,5 a a ==,则数列{lg }n a 的前 8项和等于( ) A .6 B .5 C .3 D .4 8.已知}{n a 是首项为32的等比数列,n S 是其前n 项 和,且 64 65 36=S S ,则数列|} log {|2 n a 前10项和为 ( ) A.58 B.56 C.50 D.45 9.已知等比数列{}n a ,且4 82, a a +=则6 2 610(2) a a a a ++的 值为( ) A .4 B .6 C .8 D .10 10.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数,对任意实数 ,x y R ∈,都有()()()f x f y f x y ?=+,若 ()()11 ,2 n a a f n n N *==∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值 范围是( ) A. 1,22????? ? B. 1,22????? ? C. 1,12????? ? D. 1,12????? ? 数 列 与 不 等 式 测 试 题 班级:___________ 姓名:___________ 得分:___________ 一、选择题:(每小题5分,共50分) 1、数列95 ,74,53,32, 1的一个通项公式n a 是( ) A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、3 2+n n 2、已知等比数列{}n a 的公比为正数,且2 4282a a a =,11=a 则=2a ( ) A 、2 B 、2 C 、 2 2 D 、21 3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02 564=-+a a a 则=9S ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知)1,0(,21∈a a ,记21a a M =,121-+=a a N 则M 与N 的大小关系( ) A 、M 数列向量不等式测试卷 一.选择题 1.不等式11<-x 的解为( ) A.0 期中考试练习题数列不等式 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:数列与不等式测试题及答案
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