代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案(可编辑修改word版)

第一章代数基本概念

1.如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:

对任意 a,bG,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群 G 为交换群.

2.如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群.

证明: [方法 1]

对任意 a,bG,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群.

[方法 2]

对任意 a,bG,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知 G 为交换群.

3.设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件:

(1)a(bc)=(ab)c;

(2)由 ab=ac 推出 a=c;

1

(3)由 ac=bc 推出 a=b;

证明 G 在该乘法下成一群.

证明:[方法 1]

设 G={a1,a2,…,a n},k 是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有

再由乘法的封闭性可知a k a i a k a j<1> a i a k a j a k<2>

G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n} <3>

G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k} <4> 由<1>和<3>知对任意 a t G, 存在 a m G,使得

a k a m=a t.

由<2>和<4>知对任意 a t G, 存在 a s G,使得

a s a k=a t.

由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。

[方法 2]

为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可.

为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,a n}.

(Ⅰ) 证明 G 内存在幺元.

<1> 存在 a t G，使得 a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);

<2> 证明 a1a t= a t a1;

因为

2

a1(a t a1)a t=(a1a t)

(a1a t)=(a1)2

a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=

a1(a1a t)= (a1)2,

故此

a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t.

由条件(1),(2)可得到

a1a t= a t a1.

<3> 证明 a t就是 G 的幺

元;对任意 a k G,

a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k

由条件(2)可知

a t a k=a k.

类似可证

a k a t=a k.

因此 a t就是 G 的幺元.

(Ⅱ) 证明 G 内任意元素都可逆；

上面我们已经证明 G 内存在幺元，可以记幺元为 e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G 内元素.下面证明任意 aG，存在 bG，使得

ab=ba=e.

<1> 对任意 aG，存在 bG，使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

<2> 证明 ba=ab=e;

因为

a(ab)b=aeb=ab=e

3

a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此 G 内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知 G 在该乘法下成一群.

4.设 G 是非空集合并在 G 内定义一个乘法 ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一

对

元素 a,bG,下列方程

ax=b 和 ya=b

分别在 G 内恒有解，则 G 在该乘法下成一群.

证明：

取一元 aG,因 xa=a 在 G 内有解, 记一个解为 e a ,下面证明 e a为 G 内的左幺元.

对任

意

bG, ax=b 在 G 内有解, 记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以

e a b= e a(ac)= (e a a)c=ac=b,

因此 e a为 G 内的左幺元.

再者对任意 dG, xd=e a在 G 内有解,即 G 内任意元素对 e a存在左逆元, 又因乘法

满足结合律,故此 G 在该乘法下成一群.

[总结]

群有几种等价的定义:

(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.

(2)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含幺

4

元, G 内任意元素都有逆元,则称 G 为该运算下的群.

(3)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含左

幺元, G 内任意元素对左幺元都有左逆元,则称 G 为该运算下的群.

(4)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对

元素 a,bG,下列方程

ax=b 和 ya=b

分别在 G 内恒有解，则称 G 为该运算下的群.

值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.

5.在 S3中找出两个元素 x,y,适合

(xy)2x2y2.

[思路] 在一个群 G 中，x,yG, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到 S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.

解 : 取

x=, y=

那么

(xy)2= x2y2.

[注意]

我们可以通过 mathematica 软件编写 S n的群表,输出程序如下:

Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)

(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);

Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)

(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);

Stable[n_]:=(*生成 S n群表*)

5

(a=Se[n];

Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])

当 n=3 时群表如下：

[说明]：表示置换, 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用 e,a,b,c,d,f 表示,,,,那么群表如下:

e a b c d f

e e a b c d f

a b a e d f b c

b c e a f d

c d c b f d e a

d f a

e c b

f f d c b a e

6.对于 n>2,作一阶为 2n 的非交换群.

7.设 G 是一群, a,bG,如果 a-1ba=b r,其中 r 为一正整数,证明 a-i ba i=.

证明：

我们采用数学归纳法证明.

当 k=1 时, a-1ba=b r=, 结论成立；假设当 k=n 时结论成立, 即 a-n ba n=成立, 下面证明当 k=n+1 时结论也成立.

我们注意到

6

a-1b k a== b kr,

因此

a-(n+1)ba n+1= a-1 (a-n ba n)a=a-1a==, 可见 k=n+1 时结论也成立.

由归纳原理可知结论得证.

8.证明:群 G 为一交换群当且仅当映射是一同构映射.

证明:

(Ⅰ)首先证明当群 G 为一个交换群时映射是一同构映射.

由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为

,

并且群 G 为一个交换群,可得

.

因此有

.

综上可知群 G 为一个交换群时映射是一同构映射.

(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群 G 为一个交换群.

若映射是一同构映射,则对任意有

,

另一方面，由逆元的性质可知

.

因此对任意有

,

即映射是一同构映射,则群 G 为一个交换群.

7

9.设 S 为群 G 的一个非空子集合，在 G 中定义一个关系 a～b 当且仅当 ab-1S.证明这是

一

个等价关系的充分必要条件为 S 是一个子群.

证明:

首先证明若～是等价关系，则 S 是 G 的一个子群.

对任意 aG,有 a～a,故此 aa-1=eS；

对任意 a,bS,由(ab)b-1=aS,可知 ab～b，又 be-1=bS,故 b～e,由传递性可知 ab～e，

即(ab)e-1=abS.再者因 ae-1=aS, 故 a～e,由对称性可知 e～a，即 ea-1=a-1S.可见 S 是 G 的一个子群.

接着证明当 S 是 G 的一个子群,下面证明～是一个等价关系.

对任意 aG, 有 aa-1=eS，故此 a～a(自反性);若 a～b，则 ab-1S,因为 S 为 G 的子群，故(ab-1)-1=ba-1S,因此 b～a(对称性);若 a～b，b～c,那么 ab-1S,bc-1S,故 ab-1 bc-1=ac- 1S，因此 a～c(传递性).

综上可知～是一个等价关系.

10.设 n 为一个正整数, nZ 为正整数加群 Z 的一个子群，证明 nZ 与 Z 同构.

证明:

我们容易证明为 Z 到 nZ 的同构映射,故此 nZ 与 Z 同构.

11.证明:在 S4中，子集合

B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}

是子群，证明 B 与 U4不同构.

证明:

可记 a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：

8

e a b c e e a b c

a b a e c b

b c e a

c c b a e

由该表格可以知道 B 中的元素对置换的乘法封闭，并且 B 的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此 B 为 S4的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为 Klein(C.L.Klein,1849- 1925)四元群.

假设 B 与 U4同构,并设 f 为 B 到 U4的同构映射, 则存在 B 中一元 x 使得

f(x)=i(i 为虚数单位),那么

f(x2)= f2(x)=i2=-1

另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意 x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即 B 与 U4不同构.

[讨论] B 与 U4都是 4 元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.

12.证明:如果在一阶为 2n 的群中有一 n 阶子群，它一定是正规子群.

证明:[方法 1]

设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群, 那么对任意 aH, 有

HaH=,

并且 aHG,HG,又注意到 aH 和 H 中都有 n 个元素, 故此

HaH=G.

同理可证对任意 aH, 有

HHa=, HHa=G，

因此对任意 aH，有

9

aH=Ha.

对任意 aH, 显然 aHH, HaH 又因 aH,Ha 及 H 中都有 n 个元素，故

aH=Ha=H.

综上可知对任意 aG,有

aH=Ha，

因此 H 是 G 的正规子群.

[方法 2]

设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群,那么任取 aH, hH, 显然有 aha-1H.

对给定的 xH, 有

HxH=, HxH=G.

这是因为若假设 yHxH, 则存在 hH，使得 y=xh,即 x=yh-1H 产生矛盾,因此 HxH=;另一方面, xHG,HG, 又注意到 xH 和 H 中都有 n 个元素, 故此 HxH=G.

那么任取 aH,由上面的分析可知 axH, 从而可令

a=xh1

这里 h1H.

假设存在 hH, 使得 aha-1H,则必有 aha-1xH,从而可令

aha-1=xh2

这里

h2H.

那么

xh1ha-1=xh2,

即

a= h2h1hH,

产生矛盾.

10

因此，任取 aH, hH, 有 aha-1H.

综上可知对任取 aG, hH, 有 aha-1H,因此 H 为 G 的一个正规子群.

13.设群 G 的阶为一偶数,证明 G 中必有一元素 ae 适合 a2=e.

证明:

设 bG，且阶数大于 2，那么b≠b-1,而 b-1 的阶数与 b 的阶数相等.换句话说 G 中阶数大于2 的元素成对出现，幺元 e 的阶数为 1，注意到 G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个 2 阶元，(切确的说阶数为 2 的元素有奇数个).

[讨论]

[1]设 G 是一 2n 阶交换群，n 为奇数则 G 中只有一个 2 阶元.为什么？

提示：采用反证法，并注意用 Lagrange 定理.

[2]群 G 中，任取 aG，有 a n=e，那么 G 一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和 n 有什么关系？

14.令

A=, B=

证明:集合{B,B2,…,B n,AB,AB2,…,AB n}在矩阵的乘法下构成一群, 而这个群与群 D n同构.

证明:

下面证明 G={B,B2,…,B n,AB,AB2,…,AB n}在矩阵的乘法下构成一群.

(Ⅰ)首先证明对乘法运算封闭. 下面进行分类讨论：

(1)B i B j=B i+j,注意到 B n=故此

B i B j=B r G

这里 i+j=kn+r,kZ,0

(2)A B i B j=B r G

11

这里 i+j=kn+r,kZ,0

(3)容易证明 BAB=A=AB n,BA=B i AB(s+1)n=AB n-t G,这里 i=sn+t,kZ,0

B i(AB j)=( B i A)B j=(AB n-t)B j G

(4)(AB i)(AB j)=A(B i AB j)=A((AB n-t)B j)=A2(B n-t B j)= B n-t B j)G

由(1),(2),(3),(4)知 G 对乘法运算封闭.

(Ⅱ)因集合 G 对矩阵乘法封闭，再由矩阵乘法的性质可知，结合律肯定成立.

(Ⅲ)显然 B n=A2=E 为幺元.

(Ⅳ)对 B i(i=1,2,…,n),有

B i B n-i=E;

对 AB i(i=1,2,…,n),有

(AB i)(B n-i A)=E,

因此 G 内任何一元都可逆.

由(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)，(Ⅳ)可知 G 在矩阵乘法下构成一群.

最后证明 G 与 D n同构.

令f:G→D n

f(B i)=T i, f(AB i)=ST i(i=1,2,…,n)，

可以证明 f 就是 G 到 D n的同构映射，这里不予证明了.

15.设 i 是一个正整数, 群 G 中任意元素 a,b 都适合(ab)k=a k b k, k=I,i+1,i+2,证明 G 为交

换群.

证明:

对任意 a,bG

a i+2

b i+2=(ab)i+2=(ab) (ab)i+1=(ab) (a i+1b i+1)=a(ba i+1)b i+1,

根据消去律可得

12

a i+1b=ba i+1 ---------------------------------- (1)

同时

a i+1

b i+1=(ab)i+1=(ab) (ab)i=(ab) (a i b i)=a(ba i)b i+1, 根据消去律可得

a i b=ba i ------------------------------------------ (2)

因此

a i+1b=a(a i b)=a(ba i)=(ab)a i ----- (3)

另外

ba i+1=(ba)a i -------------------------------- (4)

结合(1),(3),(4)有

(ab)a i=(ba)a i ------------------------------- (5)

由消去律可得到

ab=ba.

因此 G 为交换群.

16.在群 SL2(Q)中，证明元素

a=

的阶为 4，元素

b=

的阶为 3，而 ab 为无限阶元素.

证明：

可以直接验证 a 的阶为 4，b 的阶为 3.

因为

ab=，

13

对任何正整数 n，

(ab)n=≠

可见 ab 的阶为无限.

[注意] 在一群中，有限阶元素的乘积并不一定也是有限阶的，但两个可交换的有限阶元素的乘积一定是有限阶元素.

[问题] 若一群中所有元素的阶数都有限，那么这个群一定是有限群吗？

17.如果 G 为一个交换群，证明 G 中全体有限阶元素组成一个子群.

证明:

交换群 G 中全体有限阶元素组成的集合记为 S，任取 a，bS，并设 a 的阶为 m，b 的阶为 n，则

(ab)mn=(a m)n(b n)m=e

因此 ab 为有限阶元素，即 abS.

a-1 的阶数与 a 相同，故此 a-1 也是有限阶元素，即 a-1S.

综上可知 S 为 G 的一个子群.

18.如果 G 只有有限多个子群，证明 G 为有限群.

证明:

采用反证法证明.假设 G 为无限群，则 G 中元素只可能有两种情况：(1)G 中任意元素的阶数都有限、(2)G 中存在一个无限阶元素.

(1)首先看第一种情况：

G 中取 a1≠e，并设其阶数为 n1，则循环群 G1={,…}为 G

的一个子群； G 中取 a2G1，并设其阶数为 n2，则循环群

G2={,…}为 G 的一个子群；

G 中取 a3G1∪G2，并设其阶数为 n3，则循环群 G3={,…}为 G 的

一个子群；

14

… … …

我们一直这样做下去，可以得到 G 的互不相同的子群构成的序列 G n(n=1,2,…)，所以 G 有无穷多个子群，产生矛盾；

(2)再看第二种情况:

设a∈G 的阶数为无穷，那么序列

G1=<>，G2=<>，…，G n=<>，…

是 G 的互不相同的子群，所以 G 有无穷多个子群，产生矛盾.

综上就可知“G 是无限群”这个假设不成立，因此 G 是有限群.

19.写出 D n的所有正规子群.

20.设 H，K 为群 G 的子群，HK 为 G 的一子群当且仅当 HK=KH.

证明：

(Ⅰ)设 HK=KH，下面证明 HK 为 G 的一子群.

任取a,b∈HK,可令

a=h1k1，b=h2k2

这里 h i∈H，k i∈K，

i=1,2.

那么

ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2

(1)

-----------------------------------------------------------------------

因 HK=KH，故此

k1h2= h3k3---- (2)

这里 h3∈H，

k3∈K.由

(1),(2)知

ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK

15

----------------------------------------------------------------- (3)

16

17

i i j

另外，

a -1= (h 1k 1)-1= ∈KH=HK ----------- (4)

由(3),(4)知 HK 是 G 的子群.

(Ⅱ) HK 为 G 的一子群,下面证明 HK=KH.

若 a∈HK,易知 a -1∈KH. HK 是子群,任取 a∈HK，有 a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈KH， 那么有 HK KH.

若 a∈KH,易知 a -1∈HK. HK 是子群,任取 a∈KH，有 a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈HK， 那么有 KH HK.

综上知，HK=KH.

21. 设 H ，K 为有限群 G 的子群，证明

证明：

因 H∩K 为 H 的子群，那么可设 H 的左陪集分解式为

H=h 1(H∩K)∪h 2(H∩K)∪…∪h r (H∩K)

这里 r 为 H∩K 在 H 中的指数，h i ∈H，当 i≠j，h i -1h j ?H∩K(事实上等价于 h -1h j ?K),i, j=1,2,…,r.

又(H∩K)K=K,所以

HK=h 1K∪h 2K∪…∪h r K

(1)

注意到 h -1h ?K ，所以当 i≠j(i, j=1,2,…,r)时，

h i K∩h j K= ---------- (2)

由(1),(2)我们得到

[总结]

18

1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1

左陪集的相关结论

设 H 为 G 的一子群，那么

(1) a∈aH;

(2) a∈H ?aH=H; (3) b∈aH ?aH=bH; (4) aH=bH ?a -1b∈H; (5) aH∩bH≠，有 aH=bH.

22. 设 M,N 是群 G 的正规子群.证明：

(i) MN=NM;

(ii) MN 是 G 的一个正规子群；

(iii) 如果 MN={e}，那么 MN/N 与 M 同构.

证明：

(i)[方法 1]

任取 a∈MN,可设 a=mn(m∈M，n∈N).因为 M 为 G 的正规子群，故 n -1mn∈M. 所以 a=n(n -1mn) ∈NM，故此 MN ?NM.

同样的方法可以证明 NM ?MN. 因此 MN=NM. [方法 2]

任取 a ，b∈MN，可设 a=m 1n 1(m 1∈M，n 1∈N)，

b=m 2n 2(m 2∈M，n 2∈N).下面只要证明 MN 为 G 的一个子群即可(由第 20 题可知)，也就是说只要证明 ab -1∈MN 即可.

因为

ab -1=m n n -1m -1= [m (n n -1m -1n n -1)](n n -1)，

而 M 为 G 的正规子群，故

n 1n 2-1m -1n n -1∈M，

所以 ab-1∈MN.

(ii)由(i)可知 MN 为 G 的一个子群.

任取a∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为 M 和 N 为 G 的正规子群，对任意g∈G，有

g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) ∈MN.

所以 MN 为 G 的正规子群.

(iii)易知 N 为MN 的正规子群，因此 MN/N 是一个群. 因为 MN={e}，对任何

m i≠m j∈M,有 m i N≠m j N[注].

作一个 MN/N 到 M 的映射 f[注]，

f: MN/N→M

mNm，

那么该映射显然是一一对应，另外

f(m i Nm j N)=

f(m i m j N)= m i m j，因此 f 为MN/N 到M 的同构映

射，即 MN/N 与M 同构.

[讨论]

1.只要 M 和 N 的一个是正规子群，那么 MN 就是子群，或者说成立 MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法 2 可知.

2.M 和 N 中有一个不是正规子群时 MN 一定不是正规子群.

[注意]

1MN={e}，对任何 m i≠m j∈M,有 m i N≠m j N.

证明：若存在 m i≠m j∈M,有

m i N=m j N，那么 m i m j-1∈N，而 m i m j-1∈M.因此

m i m j-

1∈MN，产生矛盾.

19

2. 设

f: MN/N→M

mNm，

则由于对任何 m i≠m j∈M,有 m i N≠m j N，故此 f 为 MN/N 到 M 的一个映射.

23.设 G 是一个群，S 是 G 的一非空子集合.令

C(S)={x∈G|xa=ax,对一切a∈S}

N(S)= {x∈G|x-1Sx=S}.

证明：

(i)C(S),N(S)都是 G 的子群;

(ii)C(S)是 N(S)的正规子群.

证明：

(i)首先证明 C(S)是 G 的子群.

任取 x，y∈C(S)，那么对任意a∈S 有 xa=ax，ya=ay. 那么一方面，

(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)，

所以xy∈C(S).

另一方面，

xa=axa=x-1axax-1=x-1a

所以 x-1∈C(S).

因此，C(S)是 G 的子群.

接着证明 N(S)都是 G 的子群.

任取 x，y∈N(S)，则 x-1Sx=S，y-1Sy=S. 那么一方面，

(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S

所以xy∈N(S).

20