代数学引论高教第二版答案(第零章)
代数学引论答案(第一章)
1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. 2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射. 证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射. 由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为, 并且群G为一个交换群,可得.因此有. 综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射. (Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 若映射是一同构映射,则对任意有, 另一方面，由逆元的性质可知. 因此对任意有, 即映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 证明: 我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构. 4.证明:在S 4 中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构. 证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下： 由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S 4 的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群. 假设B与U 4同构,并设f为B到U 4 的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1 另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U 4 不同构. [讨论] B与U 4 都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.
代数学引论(丁石孙) 第一章答案
代数学基础学习笔记
第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:
对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到 ba=ab,
由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]
对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2]
对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3>
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(完整版)代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案
第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出a=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j------------<1> a i a k a j a k------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.
代数学引论近世代数第一章答案-精品文档
第一章代数基本概念 习题解答与提示(P54) 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群.
3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出a=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j------------<1> a i a k a j a k------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
代数学引论第二版课程设计
代数学引论第二版课程设计 一、课程概述 本课程为高等数学系列课程中的一门代数学基础课程，是对代数学基础理论和 方法的概括与总结，旨在帮助学生全面掌握代数学基本概念，理解代数学基本原理，掌握代数学基本方法和技巧，在将来学习更高阶的数学课程时有更加扎实的数学基础。 二、课程目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.掌握代数学的基本概念和基本理论； 2.理解代数学基本方法和技巧； 3.能够熟练运用代数学中的基本操作； 4.能够解决代数学中的基本问题。 三、课程大纲 第一章代数系统 1.代数系统的定义和基本概念； 2.代数系统的分类； 3.群、环、域的定义和基本概念。 第二章群论 1.群的定义和基本性质； 2.等价关系与商群； 3.群的同态与同构； 4.子群、左陪集和右陪集；
5.群的生成元和表示； 6.群的分类。 第三章环论 1.环的定义和基本性质； 2.环的同态与同构； 3.互反元、单位元和幺环； 4.环的理想和商环； 5.环的生成元和表示； 6.环的分类。 第四章域论 1.域的定义和基本概念； 2.域的同态与同构； 3.域的代数性与超越性； 4.域的扩张：代数扩张与超越扩张； 5.域扩张的应用。 四、参考书目 1.《代数学引论（第二版）》，李文治，高等教育出版社； 2.《现代代数学基础（第二版）》，杨学义，高等教育出版社； 3.《线性代数及其应用（第四版）》，Gilbert Strang，机械工业出版社。 五、考核方式 本课程的考核方式主要包括平时成绩、期中考试和期末考试三个环节。其中，平时成绩占课程总评成绩的30%，期中考试占40%，期末考试占30%。教师根据学生的表现情况，适时设置小组讨论和作业，以及课堂互动等环节，以增强学生的学
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环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如： (i) a,b?a?a-b?a； (ii)a?a,b?a?ba,ab?a； 所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a； (ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a； 由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一 个方法。思路： 第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群； 第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找 出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。 例题:找出模12的剩余类环的所有理想。 具体步骤： 第一步： 模12剩余类环所有元素的集合： z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]} 找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示： ([0])={[0]}; ([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第二步： 考虑对乘法的封闭性，求其子环： ([0])={[0]}; ([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第三步： 根据理想的定义，对以上的子环，求其理想： ([0])= ([12])={[0]};
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2. 单链表的特点是什么？单链表由节点组成，每个节点包含数据和 一个指向下一个节点的指针。它的插入和删除操作效率高，但是查找 效率较低。 3. 循环链表和双向链表分别是什么？循环链表是一种特殊的单链表，在尾节点的指针指向头节点。双向链表每个节点都有一个指向前一个 节点和后一个节点的指针。 4. 链表和顺序表的区别是什么？链表的插入和删除操作效率更高， 但是查找操作效率较低；顺序表的插入和删除操作效率较低，但是查 找操作效率较高。 第三章：栈和队列 1. 栈是什么？栈是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插入和 删除操作。后进先出（LIFO）是栈的特点。 2. 队列是什么？队列是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插 入操作，在另一端进行删除操作。先进先出（FIFO）是队列的特点。 3. 栈和队列的应用有哪些？栈和队列在计算机科学中有广泛的应用，例如浏览器的前进后退功能使用了栈，操作系统的进程调度使用了队列。 4. 栈和队列有哪些实现方式？栈和队列可以使用数组或链表来实现，还有更为复杂的如双端队列和优先队列。 第四章：树和二叉树
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代数学引论(聂灵沼丁石孙版)第一章习题解答第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明: 对任意a,b∈G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为交换群.证明:[方法1]对任意a,b∈G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群.[方法2] 对任意a,b∈G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明G 在该乘法下成一群.证明:[方法1]
设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若 i≠j(I,j=1,2,…,n),有 akai≠akaj------------<1>aiak≠ajak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------ <3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意at∈G,存在am∈G,使得 akam=at. 由<2>和<4>知对任意at∈G,存在a∈G,使得 aak=at. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ)证明G内存在幺元. <1>存在at∈G，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);<2>证明a1at=ata1;因为
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设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若 ij(I,j=1,2,…,n),有 akaiakaj------------<1>aiakajak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------ <3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意atG,存在amG,使得 akam=at. 由<2>和<4>知对任意atG,存在aG,使得 aak=at. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ)证明G内存在幺元. <1>存在atG，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);<2>证明a1at=ata1;因为
代数学引论第一章答案
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1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到
ba=ab, 由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,b G,
a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
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设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中 某 一 个 数 字 , 由 (2) 可 知 若 i j(I,j=1,2,…,n),有
再由乘法的封闭性可知
akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得
akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得
asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2]
为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)， 并且证明 G 内每一个元素都可逆即可.
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<1> 存在 at G，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1at= ata1; 因为
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