代数学引论答案(第一章)

1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此G为交换群.

2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射.

证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射.

由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为,

并且群G为一个交换群,可得.因此有.

综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.

(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群.

若映射是一同构映射,则对任意有,

另一方面，由逆元的性质可知.

因此对任意有,

即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.

3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构.

证明:

我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.

4.证明:在S

4

中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构.

证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：

由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S

4

的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.

假设B与U

4同构,并设f为B到U

4

的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1

另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U

4

不同构.

[讨论] B与U

4

都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.

5. 证明:如果在一阶为2n 的群中有一n 阶子群，它一定是正规子群.

证明:[方法1]设H 是2n 阶群G 的n 阶子群, 那么对任意a H, 有H aH=,

并且aH G,H G,又注意到aH 和H 中都有n 个元素, 故此H aH=G.

同理可证对任意a H, 有H Ha=, H Ha=G ，

因此对任意a H ，有aH=Ha.

对任意a H, 显然aH H, Ha H 又因aH,Ha 及H 中都有n 个元素，故aH=Ha=H.

综上可知对任意a G,有aH=Ha ，因此H 是G 的正规子群.

[方法2] 设H 是2n 阶群G 的n 阶子群,那么任取a H, h H, 显然有aha -1H.对给定的x H, 有H xH=, H xH=G.

这是因为若假设y H xH, 则存在h H ，使得y=xh,即x=yh -1H 产生矛盾,因此H xH=;另一方面, xH G,H G, 又注意到xH 和H 中都有n 个元素, 故此H xH=G.

那么任取a H,由上面的分析可知a xH, 从而可令a=xh 1这里h 1H.

假设存在h H, 使得aha -1H,则必有aha -1xH,从而可令aha -1=xh

2，这里h 2H.

那么，xh 1ha -1=xh 2,即a= h 2h 1h H,产生矛盾.

因此，任取a H, h H, 有aha -1H.

综上可知对任取a G, h H, 有aha -1H,因此H 为G 的一个正规子群.

6. 设群G 的阶为一偶数,证明G 中必有一元素a e 适合a 2=e.

证明: 设b G ，且阶数大于2，那么b≠b -1,而b -1的阶数与b 的阶数相等.换句话说G 中阶数大于2的元素成对出现，幺元e 的阶数为1，注意到G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).

[讨论]

[1] 设G 是一2n 阶交换群，n 为奇数则G 中只有一个2阶元.为什么？

提示：采用反证法，并注意用Lagrange 定理.

[2] 群G 中，任取a G ，有a n =e ，那么G 一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n 有什么关系？

7. 设H ，K 为群G 的子群，HK 为G 的一子群当且仅当HK=KH.

证明：(Ⅰ)设HK=KH ，下面证明HK 为G 的一子群.任取a,b ∈HK,可令a=h 1k 1，b=h 2k 2这里h i ∈H ，k i ∈K ，i=1,2. 那么ab=(h 1k 1)(h 2k 2)=h 1(k 1h 2)k 2 ---------------(1)

因HK=KH ，故此k 1h 2= h 3k 3 ----------------------(2)。这里h 3∈H ，k 3∈K.

由(1),(2)知，ab= h 1(h 3k 3)k 2=(h 1h 3)(k 3k 2)∈HK. ------------(3)

另外，a -1= (h

1k 1)-1=

∈KH=HK. ----------------- (4)

由(3),(4)知HK 是G 的子群.

(Ⅱ) HK 为G 的一子群,下面证明HK=KH.

若a ∈HK,易知a -1∈KH. HK 是子群,任取a ∈HK，有a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈KH，那么有HK KH.

若a ∈KH,易知a -1∈HK. HK 是子群,任取a ∈KH ，有a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈HK，那么有KH HK.

综上知，HK=KH.

8. 设M,N 是群G 的正规子群.证明：

(i) MN=NM;

(ii) MN 是G 的一个正规子群；

(iii) 如果M N={e}，那么MN/N 与M 同构.

证明：(i)[方法1]任取a ∈MN,可设a=mn(m∈M，n ∈N).因为M 为G 的正规子群，故n -1mn ∈M. 所以a=n(n -1mn) ∈NM ，故此MN ⊆NM. 同样的方法可以证明NM ⊆MN. 因此MN=NM.

[方法2]任取a ，b ∈MN ，可设a=m 1n 1(m 1∈M ，n 1∈N)，b=m 2n 2(m 2∈M ，n 2∈N).下面只要证明MN 为G 的一个子群即可(由第20题可知)，也就是说只要证明ab -1∈MN 即可.

因为ab -1=m 1n 1n 2-1m 2-1= [m 1(n 1n 2-1m 2-1n 2n 1-1)](n 1n 2-1)，

而M 为G 的正规子群，故n 1n 2-1m 2-1n 2n 1-1∈M ，所以ab -1∈MN.

(ii) 由(i)可知MN 为G 的一个子群.任取a ∈MN, 可设a=mn(m ∈M ，n ∈N).因为M 和N 为G 的正规子群，对任意g ∈G ，有g -1ag= g -1mng= (g -1mg)(g -1ng) ∈MN.所以MN 为G 的正规子群.

(iii) 易知N 为MN 的正规子群，因此MN/N 是一个群. 因为M N={e}，对任何m i ≠m j ∈M, 有m i N ≠m j N [注]. 作一个MN/N 到M 的映射f [注]，f: MN/N→M，mN m ，

那么该映射显然是一一对应，另外f(m i N m j N)= f(m i m j N)= m i m j ，

因此f 为MN/N 到M 的同构映射，即MN/N 与M 同构.

[讨论]

1. 只要M 和N 的一个是正规子群，那么MN 就是子群，或者说成立MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法2可知.

2. M 和N 中有一个不是正规子群时MN 一定不是正规子群.

[注意] 1M N={e}，对任何m i ≠m j ∈M, 有m i N ≠m j N.

证明：若存在m i ≠m j ∈M, 有m i N=m j N ，那么m i m j -1∈N ，而m i m j -1∈M. 因此m i m j -1∈M N ，产生矛盾.

2. 设 f: MN/N→M，mN m ，

则由于对任何m i ≠m j ∈M, 有m i N ≠m j N ，故此f 为MN/N 到M 的一个映射.

9. 设G 是一个群，S 是G 的一非空子集合.令

C(S)={x ∈G|xa=ax,对一切a ∈S}

N(S)= {x ∈G|x -1Sx=S}.

证明：(i) C(S),N(S)都是G 的子群; (ii) C(S)是N(S)的正规子群.

证明：(i) 首先证明C(S)是G 的子群.任取x ，y ∈C(S)，那么对任意a ∈S 有xa=ax ，ya=ay. 那么一方面，

(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)， 所以xy ∈C(S).

另一方面，xa=ax a=x -1ax ax -1=x -1a ，所以x -1∈C(S).因此，C(S)是G 的子群.

接着证明N(S)都是G 的子群.任取x ，y ∈N(S)，则x -1Sx=S ，y -1Sy=S. 那么一方面，

(xy)-1S(xy)=x -1(y -1Sy)x=x -1Sx=S ， 所以xy ∈N(S).

另一方面，x -1Sx=S S=xSx -1，所以x -1∈N(S).因此，N(S)是G 的子群.

(ii) 任取x ∈C(S)，a ∈S ，则xa=ax ，即a=x -1ax ，亦即S= x -1Sx. 因此x ∈N(S)，即C(S)N(S).

任取x ∈C(S)，y ∈N(S)，a ∈S ，则存在a y ∈S 使得yay -1=a y ，因此a=y -1a y y.

那么(y -1xy)a(y -1xy)-1=y 1[x(yay -1)x -1]y= y 1(xa y x -1)y= y -1a y y=a ，即(y -1xy)a=a(y -1xy).

所以y -1xy ∈C(S)，因此C(S)是N(S)的正规子群.

10. 设L 为交换幺环，在L 中定义：a b=a+b-1,a b=a+b-ab.

这里e 为单位元素，证明在新定义的运算下，L 仍称为交换幺环，并且与原来的环同构.

证明：(i)证明L 在运算下构成交换群：由的定义，得到 (a b)c=(a+b-1)c=a+b-1+c-1=a+b+c-2，，，a (b c)= a (b+c-1)= a+b+c-1-1=a+b+c-2

这里2=1+1，所以 (a b)c= a (b c).----------------(1)

同时由的定义还可以得到 a 1= 1a=a ，------------------------(2)

a (2-a)=(2-a)a=1，---------------(3)， a b=

b a ，----------------------------(4)

由(1),(2),(3)(4)可知L 在运算下构成交换群.

(ii)证明L 中运算满足结合律和交换律：容易证明这里略过.

(iii)证明乘法对加法满足分配律：

因为a (b c)= a (b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1， (a b)(a c)=(a+b-1)(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1，

所以a (b c)= (a b)(a c).

由于和满足交换律，故此(b c)a= (b a)(c a). 因此新定义的乘法对新定义的加法满足分配律

(iv) 设0为环(L ，+，)的零元，则0a=a 0=a

由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到(L ，，)为交换幺环.

(v) 最后证明(L ，+，)与(L ，，)同构：设f: L→L ，， x 1-x ，

容易证明f 为(L ，+，)到(L ，，)的同构映射.

11. 环L 中元素e L 称为一个左单位元，如果对所有的a ∈L ，，e L a= a ；

元素e R 称为右单位元，如果对所有的a ∈L ， ae R =a.

证明：

(i) 如果L 既有左单位元又有右单位元，则L 具有单位元素；

(ii) 如果L 有左单位元，L 无零因子，则L 具有单位元素；

(iii) 如果L 有左单位元，但没有右单位元，则L 至少有两个左单位元素.

证明：

(i) 设e L 为一个左单位元，e R 为右单位元，则e L e R =e R =e L .记e=e R =e L ，则对所有的a ∈L ，ea=ae=a ，

因此e 为单位元素；

(ii) 设e L 为一个左单位元，则对所有的a(≠0)∈L ，a(e L a)=a 2；另一方面，a(e L a)=(ae L )a.

所以a 2=(ae L )a.因为L 无零因子，所以满足消去律[注]，故此a= ae L .另外，若a=0，则a= ae L =e L a.

因此左单位元e L 正好是单位元.

(iii) 设e L 为一个左单位元，因为L 中无右单位元，故存在x ∈L ，使得xe L ≠x，即xe L -x≠0,

则e L + xe L -x≠e L ，但是对所有的a ∈L ，(e L + xe L -x)a=a,因此e L + xe L -x 为另一个左单位元，所以L 至少有两个左单位元素.

[注意] L 无零因子，则满足消去律(参考教材46页).

12. 设F 为一域.证明F 无非平凡双边理想.

证明：设I 为F 的任意一个理想，且I≠{0}，则对任意a(≠0)∈I ，则a -1∈F,于是a -1a=1∈I.

从而F 中任意元素f ，有f 1=f ∈I ，故I=F ，即F 只有平凡双边理想.

[讨论] 事实上，一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面，若L 是阶数大于1的(交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则L 是一体(域).

13. 设L 为交换幺环，并且阶数大于1，如果L 没有非平凡的理想，则L 是一个域.

证明：只要证明非零元素均可逆即可.任取a ∈L ，那么La 和aL 是L 的理想，且La ≠{0}，aL ≠{0}，因L 无平凡的理想，故此La=aL=L ，因此ax=1和ya=1都有解，因而a 为可逆元.

14. Q 是有理数域，M n (Q)为n 阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单环).

证明：我们社K 为M n (Q)的非零理想，下面证明K=M n (Q).为了证明这一点，只要证明n 阶单位矩阵E ∈K.记E ij 为除

了第i 行第j 列元素为1，其余元素全为0的矩阵.那么E ij E st =

而E=E 11+E 22+…+E nn .我们只要证明E ii ∈K(i=1,2,…,n)就有E ∈K.

设A ∈K ，且A≠0，又令A=(a ij )n×n ,假设a kj ≠0，则有E ik AE ji =a kj E ii (i=1,2,…,n).由于a kj ≠0，故存在逆元a kj -1.设B= a kj -1E ii ,则BE ik AE ji = a kj -1E ii E ik AE ji = a kj -1E ik AE ji =E ik E kj E ji =E ii .

因为K 为理想，A ∈K ，所以E ii =BE ik AE ji ∈K ，证毕.

15. 设L 是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a ∈L 都有唯一的元素b 使得aba=a.

证明：(i) L 无零因子；(ii) bab=b;(iii) L 有单位元素；(iv) L 是一个体.

证明：(i) 先证明L 无左零因子，假设a 为L 的一个左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，则存在唯一b 使得aba=a.但a(b+c)a=a,b+c≠b

产生矛盾，所以L 无左零因子.类似可证L 无右零因子.

(ii) 因aba=a ，所以abab=ab. 由(i)的结论知L 无零因子，因此满足消去律，而a≠0，故bab=b.

(iii) 我们任一选取a(≠0)∈L ，再设aba=a(这里b 是唯一的)，首先证明ab=ba.因为a(a 2b-a+b)a=a ，

所以a 2b-a+b=b ，即a 2b=a=aba ，由消去律得到ab=ba.

任取c ∈L ，则ac=abac ，故此c=(ba)c=(ab)c ；另一方面，ca=caba ，故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab 就是单位元素，我们记ab=ba=1.

(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L ，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L 成为一个体.