代数学引论.第一卷,基础代数

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

代数学可以说是最为人们广泛接受的'“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。

直至16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创办了解析几何，将当时全然分离的代数和几何学联系至了一起。从那以后，我们终于可以用排序证明几何学的定理;同时也可以用图形去形象的则表示抽象化的代数方程。而其后更发展出来更加笔墨的微积分。

代数学引论高教第二版答案(第一章)

1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到
ba=ab, 由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,b G,
a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>
由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得 akam=at.
由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得 asak=at.
由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
1

代数学引论答案(第一章)

1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. 2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射. 证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射. 由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为, 并且群G为一个交换群,可得.因此有. 综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射. (Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 若映射是一同构映射,则对任意有, 另一方面，由逆元的性质可知. 因此对任意有, 即映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 证明: 我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构. 4.证明:在S 4 中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构. 证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S 4 的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群. 假设B与U 4同构,并设f为B到U 4 的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1 另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U 4 不同构. [讨论] B与U 4 都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.

代数学引论(近世代数)第一章答案

第一章代数基本概念习题解答与提示(P54) 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群.

3. 设G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac 推出a=c; (3) 由ac=bc 推出a=b; 证明G 在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a 1,a 2,…,a n },k 是1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j ------------<1> a i a k a j a k ------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a 2,…,a n }={a k a 1, a k a 2,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2,…,a n }={a 1a k , a 2a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m =a t . 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k =a t . 由下一题的结论可知G 在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可.

代数学引论

代数学引论代数学引论因为代数是研究数和形的关系的科学，所以通常我们把代数学分为初等代数和高等代数两部分。初等代数就是一般的代数（除去数论），而高等代数就是研究抽象代数的数论、环和群等重要课题。 1.1代数的基本概念第一章研究整数和分数，内容包括：整数和分数的意义；整数的表示法；自然数和整数之间的关系；整数的性质；自然数的加法和乘法；分数的意义和性质；分数的加法和减法；分数乘法；分数除法；百分数。 1.2代数式第二章研究整数和分数，内容包括：代数式及其运算；整式的加减法；整式乘除；合并同类项；因式分解；分式及其运算；含有字母的代数式；方程的概念及其解法。第三章研究小数，内容包括：小数的意义；小数的性质；小数的加法和减法；小数点移动引起的小数大小变化；循环小数；有限小数与无限小数；近似值和精确值；整数指数幂；近似计算和近似值；极限。 2.1数 3.2整数 3.3无理数 4.1有理数至此，初等代数和高等代数已全部讲完，接下来还将讲多项式、域、有限域、群、环、模、代数学基础等课程，但这些内容与代数是

没有直接联系的。本书的重点是群、环、模的知识。 1.4代数学基础代数学基础，包括：整数域、有限域和无限域、向量空间、线性空间和直线、线性变换、矩阵、实对称矩阵、方阵的行列式、特征值、二次型和对称矩阵，其中尤以二次型和对称矩阵最重要。本书后面有习题集可供使用。 2.5代数学的应用代数学的应用范围非常广泛，在自然科学和工程技术中都有大量应用。在社会科学领域，如经济学、统计学、编码学等；在人文科学领域，如拓扑学、泛函分析、模糊数学等。学习本课程有助于读者提高数学修养和综合素质。

代数学引论

代数学引论代数学是数学的一个分支，主要研究实数与其运算、关系等之间的抽象概念和结构。代数学有广泛而重要的应用，从数论到模论，从群到环到域，可以说所有重要的数学结果都是建立在代数学的基础上的。代数学不仅是一门独立的数学学科，而且也是其它学科的基础，因此，了解并掌握代数学的理论体系对于学习其他学科具有十分重要的意义。首先，要学好代数学，需要学生必须对数字有浓厚的兴趣。数字就像语言一样，能够准确而形象地表达思想，数字最突出的特点是有限的，即无穷大不存在；同时，数字本身又具有相对性，这种相对性主要指一般情况下数量级越小的数，其绝对值就越接近于零，数量级越大的数，其绝对值越接近于无穷大，这使得人们不得不反复考虑数量级的问题。另外，数字还可以表示很多信息，如正负整数、奇偶性质等。而这些正是代数学中“无穷大”的特点，都需要学生逐步地深入地去认识。 1。整数n的二进制表示： n=2^n。 2。任何非负整数都可以写成分数的形式：(1/n)= n^2。 3。 n的正整数因子为n、 0、 1。 4。任何非负整数都可以写成小数的形式： n=2n+1。 5。正整数n的正小数部分只能是0和1。 6。最小的正整数是1，而最小的负整数则为0。 7。任何非负整数都可以写成两个负数之和的形式： n=-(n+1)。8。如果n是正整数，则n的绝对值小于1。 3。 n的绝对值。 4。任何非负整数都可以写成小数的形式：

n=2n+1。 5。正整数n的正小数部分只能是0和1。 6。最小的正整数是1，而最小的负整数则为0。 7。任何非负整数都可以写成两个负数之和的形式： n=-(n+1)。 8。如果n是正整数，则n的绝对值小于1。 9。如果n是负整数，则n的绝对值大于1。 4。 n的正整数因子为n、 0、 1。 5。任何非负整数都可以写成小数的形式： n=2n+1。 6。正整数n的正小数部分只能是0和1。6。最小的正整数是1，而最小的负整数则为0。 7。任何非负整数都可以写成两个负数之和的形式： n=-(n+1)。 8。如果n是正整数，则n的绝对值小于1。 9。如果n是负整数，则n的绝对值大于1。

高中数学基础代数知识点全面梳理汇编

高中数学基础代数知识点全面梳理汇编代数是高中数学中的基础，它是一门研究于未知元素间运算关系的数学学科。在高中数学中，代数是一个重点和难点，学好代数是理解和掌握数学的基础。本文将全面梳理高中数学基础代数知识点，帮助同学们对代数有一个清晰的认识和理解。一、基本概念代数学中的基本概念包括：常数、变量、系数、幂、多项式、方程和不等式等。 1. 常数：代数中不带未知数的数称为常数。例如，2、-3、π都是常数。 2. 变量：代数中用字母表示未知数的数称为变量。例如，在方程2x+3=7中，x就是变量。 3. 系数：在代数表达式中，字母前面的数称为系数。例如，在3x+2中，3就是x的系数。 4. 幂：形如x^n的表达式称为幂。其中，x为底数，n为指数。

5. 多项式：由多个单项式相加或相减而成的代数表达式称为多项式。例如，2x^2+3x-1就是一个多项式。 6. 方程和不等式：方程是含有未知数的等式，不等式是含有未知数的不等式。二、基本运算法则代数中有一些基本的运算法则，需要熟练掌握。 1. 加法和减法法则：加法法则是指两个多项式相加时，同类项相加得到的结果还是同类项。减法法则是根据加法法则，将减法转化为加法运算。 2. 乘法法则：乘法法则是指两个多项式相乘时，各项的系数相乘，并且指数相加。 3. 乘方法则：幂的乘方法则是指幂的积等于底数不变，指数相加。

4. 化简法则：化简法则是将代数表达式进行合并或者分解，将其化为简洁的形式。三、一元二次方程一元二次方程是高中代数中的重要内容，其一般形式为 ax^2+bx+c=0。在解一元二次方程时，可以使用配方法、公式法和图像法。 1. 配方法：通过变形使得方程为完全平方形式，从而求得方程的解。 2. 公式法：利用一元二次方程的求根公式可以直接求解方程。一元二次方程的求根公式为x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)。 3. 图像法：将方程图像与y=0的直线求交点，从而求得方程的解。四、函数函数是数学中的一个重要概念，函数关系可以用方程、表格和图像表示。

代数学引论

代数学引论一、代数与空间；三维空间是不存在的，只有二维空间。从狭义的角度上来说，代数指的是使用抽象方法解决问题的方式，所谓抽象就是将大量现实的数学对象和物理规律用“空”来取代，从而形成一套纯粹的数学语言。从广义的角度上来讲，代数还包括证明、计算、研究推导等等内容。例如，给定一个三元组X， A、 B和C，可以构造X的一个具体例子------无穷多个点都满足这样的条件： a∈A、 b∈B、 c∈C。我们称A、 B、 C为该三元组的“变量”，当A、 B、 C都用变量表示出来时，就构成了一个三元组。通过这种方式可以构造出无穷多个三元组。将这些三元组按照一定的顺序排列起来，得到的就是三维空间。另外，任何可视化的三维空间都是由一系列二维平面组成的。二、代数学与分析；与“代数学”密切相关的另一个重要概念是“分析”。在微积分中，代数问题是和函数以及其导数联系在一起的，一般的代数结构(比如二次型)被用来解决非常困难的分析问题，这个领域我们称之为“分析”。由于自然界本身的复杂性，有些问题很难求得精确解答，这时候必须利用代数方法，因此这些方法也属于分析学的范畴。 1。二项式定理。这是说，当n为质数时，二项式定理(Duquetin theorem)指出，当n的某一次幂为2或者根号n时，即： 2的平方+ 1的平方+根号n的平方= n的平方。 2。一元二次方程。对于二次函数f(x)，存在常数c(k)使得：

f(0)=f(c(2k))。这个称作一元二次方程。当c(k)是常数时， f(x)=0，它与二次函数相同，但一般地它更接近一次函数。 3。二元一次方程。在线性代数中，二元一次方程指的是两个一次式y=ax+b( a、 b都为整数)，当x=0时，可写成： y=bx+b，那么就称y为x的一次式。但事实上，若a=1，则y就不是一次式，而是二次式了。注意：“ a=1”并不保证“ b=1”，“ b=1”也不一定保证“ a=1”。那么这类方程的集合是： a=1， b=1， y=1，且xy为二次式的方程，就叫做二元一次方程组。 4。差分方程。设有未知函数g(x)及初始条件Y(x)，有方程f(g(x))和g'(Y(x))及初始条件X(x)等式成立，其中g(x)及g'(Y(x))称为差分方程的左、右解。

线性代数基础学习书单

线性代数基础学习书单线性代数是很传统的课程，国内还比较喜欢叫做高等代数，这就更加传统了。一般地，在我们的高等代数里，除了线性空间外，还有大量的矩阵论，一点点多项式理论。大致来说，线性代数可以从两个角度去看它，一是它的几何理论，即线性空间以及线性空间里的线性变换；二是代数方法，那就是矩阵论了。“所谓线性代数学，就是或者直接研究线性空间的几何问题，或者将线性空间的一些几何问题化为化为矩阵问题。所以线性空间理论和矩阵论实际上是相伴而生的。”（许以超，线性代数与矩阵论（第二版）·序言，p.ii）至于多项式，在这里主要是一个将平面上的几何问题化为代数多项式问题来解决的方案，这是平面解析几何的问题。那么，多项式要不要学，光是看看那么多线性代数教科书里都要包含一章来讲多项式，就知道答案是肯定的。几何问题其实都可以是线性问题，这样，间接地，多项式也就跟线性代数挂上了钩。不过，是否可以把多项式分出去就是一个值得考虑的问题了。我觉得多项式还是不要放在线性代数课程中为好，一则费时，二则也讲不透。事实上，很多老师会把本来放在前头的多项式挪到后面来讲，甚至干脆就不讲。有一门课叫做“整数与多项式”，不过现在很少在大学课堂里出现了。整数理论是属于数论的，但加减乘除跟多项式是一样的，比较一下算术基本定理和代数基本定理就知道了。另外，多项式其实也不是一个简单的问题，更不只限于跟整数挂钩。在多项式环中，我们有带余除法，若表示为分式，就扩展到有理域了，更进一步，我们去求根的话，那就有实根甚至复根，再则，还有多元多项式的问题。这显然不是在一本线性代数教科书的一章之内就可以交代清楚的。当代线性代数课是比较注重空间理论的。这是符合线性代数本质的，因为在线性空间里，毕竟都是几何对象。首先得弄清楚这门课的对象，这一点是毫无疑义的。所以，刚开始学习线性代数时，应该把注意力集中在这方面。等到对此有了一个比较透彻的理解时，就该开始苦练矩阵计算的功夫了。矩阵是一种代数方法，虽然它看起来比线性空间理论要古老些，但现代数学的发展却是越来越重代数了，要想把线性代数的水平从本科程度上提高一下的话，代数基本功是重要的——以后可能不一定要用到矩阵论，但作为大一基础课，矩阵论是一个最好的也是最初的代数训练。另外，矩阵论已经相当成熟，有着一整套标准计算技巧和方法，很有实用价值。还有两个问题要引起注意。一是要看到线性代数与其他课程的关系。比如，很多学校不是从一年级上学期就开这门课的，而是从下学期开，美国有些极端的做法甚至在大三才开课。这种情况其实就暗示了学习线性代数是需要一点其他知识的，尤其是微积分或者说数学分析的知识；另外，当微积分学到多元的时候，在高维空间里说话，也就需要一点线性代数的支持了。线性代数不跟其他东西联系起来，那是没有用的。第二个问题是，线性代数仍在快速发展中，新的结果很多，要在基础课中追时髦是不太现实的。而且，实际上在本科阶段把它学好了，就已经可以在这个领域里开始做研究了（这一点比其他课都要划算）。所以，我认为在学这门课时，还是把眼睛紧盯着基础为上。补充一点：线性代数是一门很基础的课程，但是，它不容易学。我觉得比较好的办法是，在学过一本基础教材后，那些“语言”不再是问题的时候，再去读一本高级一点的教材，然后再回头看过来。美国是有第二课程的，可以在这里面找找，或者读一本研究生水平的书。对于初学者，还是从容易入手的开始—— 1. 李尚志，线性代数（数学专业用），高等教育出版社，2006 这本书是我觉得比较适合作为初学者入门的教材的。它不算是一本有分量的书，但绝对是一

(完整版)代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案

第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出a=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j------------<1> a i a k a j a k------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.

代数学引论第一章答案

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到
ba=ab, 由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,b G,
a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
1 / 35

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字 , 由 (2) 可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有
再由乘法的封闭性可知
akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得
akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得
asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2]
为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明 G 内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明 G 内存在幺元.
<1> 存在 at G，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1at= ata1; 因为
2 / 35