超几何分布教学案
2.1.3超几何分布
教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用．
教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量
只能取有限个数值
或可列无穷多个数
值
则称
为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量
取有限个
数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，
ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
??
?+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ
5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：
二、讲解新课：
在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m
则()m M m
n N n
M
N
C C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n
三、典型例题：
例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.
解：由题意
课堂练习：
高三数学一轮复习学案概率统计
高三数学一轮复习学案概率统计 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法， 在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】 题型1 抽样方法 【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照 随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 〔 〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ． 分层抽样 D ．以上均不对 分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288， 388，488，588，688，788，888，988．答案B ． 点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部 分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样 方法．〔2〕 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一 段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体． 例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在 全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校 抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕 A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%， 解析：C 二年级女生即20000.19380x =?=，如此一年级和二年级学生的总数是 3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生 一年级 二年级 三年级 女 生 373 x y 男生 377 370 z
超几何分布与二项分布的联系与区别
在苏教版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometric distribution)与二项分布（binomial distribution）。通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型，并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，随便滥用公式。事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。 课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X的分布列为 ，其中，则称X服从超几何分 布，记为。其概率分布表为： 对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X的分布列为 ，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。其概率分布表为： 超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量 X的取值都从0连续变化到l，对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。若将但超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有返回的任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。 如在2.2节有这样一个例题：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球
初中数学4-1几何图形教案
第四章图形的认识 §4．1 几何图形（1） 教学目标 1．在具体情景中懂得欣赏一个几何图形，并能发现图形的对称美。 2．通过剪一些简单图形，知道怎样构造轴对称图形。 3．能利用旋转和拼凑等方法，由一些基本图形构造其它图案，学会化繁为简。 教学重、难点 重点：由生活中所见的图形总结出图形的特点，从而认识图形的本质。 难点：构造图案． 教学过程 一、图形欣赏，感受几何学中的对称美 1．投影课本P112的彩图。 教师活动：提问，(1)欣赏完这三幅图后，大家有什么感受?(2)这些图有什么特征? 学生活动：学生各抒已见，大胆表达自己的见解。 2．教师指出：由图案的“漂亮”到图形的“对称”，说明大家已经从一个更深的层次来认识几何图形，对称在建筑、镶边等艺术中具有巨大的作用。 现实世界的许多图形都具有对称美． 二、做一做，进一步领悟图形对称性的运用
1．教师活动：提问，(1)你亲戚或邻居结婚时窗户、门上都贴了什么? (2)你能剪出一个双“喜”字吗? P116 5 学生活动：学生动手操作．教师引导学生怎样画才能剪出一个双“喜”字，让学生在动手实践中获取知识，提高能力、开发思维的广阔性。 2．学生活动：剪一种简单的花边，并进行对照比较、交流讨论． 教师活动：(1)鼓励学生发挥想象的空间，剪出丰富多彩的不同图案；(2)利用课余时间把较好的作品张贴在黑板报上，从而激发学生学习几何的兴趣。 三、想一想，如何进行图案设计 1．(出示投影2)． 投影显示课本P112图4—1 2．下图是一个戴头巾的儿童的头像，你能画出它吗? 学生活动：先把握好图形的位置特征，形像特征再动手画，比一比，谁画得最好。 3．小明家的地面设计图为左下图所示的图案(局部)，能否只用右下图设计地面砖?是否还可以将地面砖设计得更小一些?
随机变量及其分布列经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
二项分布与超几何分布 专题训练
超几何分布与二项分布的区别 [知识点]关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含 有两种不同的事物()A M 个、 ()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分 布列()k n k M N M n N C C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了. 二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -. 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为2 3.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； (Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期
超几何分布和二项分布的区别
关于超几何分布和二项分布的小题 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=k 则P(X=k) 此时我们称随机变量X 服从超几何分布（hypergeometric distribution ） 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n 上述超几何分布记作X~H(n ，M ，N)。 二项分布：二项分布（Binomial Distribution ），即重复n 次的伯努力试验（Bernoulli Experiment ）, 用ξ表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重 复试验中发生k 次的概率是k n k k n q p k P C -= =)(ξ 上述二项分布记作),(~p n B ξ 下面我通过几个例子说明一下两者的区别 【例1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数ξ的分布列 解：由题意得0=ξ，1，2，3.ξ服从参数为10=N ,4=M ,3=n 的超几何分布. 6112020)0(3 103 6 === =C C P ξ 2112060)1(3 10 2 6 14==?==C C C P ξ 10312036)2(3 10 1 624 ==?==C C C P ξ 3011204)3(3 10 3 4=== =C C P ξ 故ξ的分布列 把事件发生的概率看做是。 【例2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0，1，2，3则甲赢，若最后一位出现6，7，8，9则乙赢，若最后一位出现4，5是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量X ，求X 的分布列 解：由题意得：0=X ，1，2，3 216.06 .0)0(3 3 == =C X P 432.04.06.0)1(21 3=??==C X P 288.04.06.0)2(22 3=??==C X P 064.04.0)3(33 3===C X P 故X 的分布列
随机变量及其分布列经典例题教程文件
随机变量及其分布列 经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 为离散型随机变量X P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11 =∑=n i i p ． 三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )= n N k n M N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 三．二项分布 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
超几何分布与二项分布学案
超几何分布与二项分布 学习目标： 1、掌握超几何分布和二项分布的概念； 2、通过典例，学生能运用核心文字提取的方法准确破解超几何分布和二项分布； 3、熟记两种分布的期望公式，理解它们之间的关系。 学习重点：超几何分布和二项分布的区别。 学习难点：超几何分布和二项分布的数学期望之间的关系。 一．知识梳理 1.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件?X=k?发生的概率为：P(X=k)= ,k= 0,1,2,3,??,m；其中，m = min?M,n?,且n≤N , M≤ N 2.二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为： P(X=k)= (k=0,1,2,3,?,n),此时称随机变量X服从二项分布. 记作： 3.“二项分布”与“超几何分布”所满足的条件 (1)“二项分布”所满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是的；是一种抽样. 各次试验中的事件是；●每次试验只有两种结果，事件要么，要么；?随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的 . (2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率，是抽样， 二．典例分析（小组交流、展示结果） 例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 例2、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.
超几何分布和二项分布的联系和区别精编版
超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢? 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释. 诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的 教材中的定义: (一)超几何分布的定义 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n N k -n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布 (二)独立重复试验和二项分布的定义 1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则 P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率 为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。 1.本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题 2.计算公式 超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)
生活中的几何图形教学设计和反思
《生活中的几何图形图形》教学设计 永年县第十三中学李美茹 《生活中的几何图形图形》是冀教版七年级上册第二单元第一节的内容，本节课的任务是引导学生初步掌握生活中的基本立体图形，能把生活中的图形抽象到数学模型中，并能用语言描述几何体的特点，学生对生活经验缺乏深刻的认识，常常是知其然而不知其所以然，对事物仅限于表面的认识，但是他们的观察力极强，针对这一特点，一方面我在本节课中大量收集了生活中的立体几何图形，利用电子白板进行展示和分类，让学生通过观察而对同一类物体的特征进行提炼，同时，为了是这节课更贴近生活，我们收集了很多生活中的立体图形，让学生通过看、说等一系列活动，从而了解生活中的立体图形特点。 一、教材与学习任务分析 《生活中的几何图形图形》是新课改之后的重要内容，是步入中学的第一课，学生之前对一些简单几何体和平面图形有了一定的了解，这节课使学生对物体形状的认识逐步由模糊的、感性的上升到抽象的数学图形，使学生体验数学概念的抽象和形成过程，掌握柱体、锥体、球体的特征为进一步学习空间图形的三视图及研究平面图形的特征提供必要的基础。 二、学习对象分析 本节课利用电子白板，一来丰富学生的知识储量，二来通过立体图形的变换，培养学生的空间几何想像能力。作为聋校八年级学生，已经具备一定的观察和思维能力，但是对于数学学习普遍缺乏自信，反映在课堂上就是不敢发言，害怕出错，学生的自尊心都比较强，在这节课的设计中，有很多实践活动，需要老师多一些耐心，站在一个高的角度和境界，多鼓励学生，关注每一位学生的发展，使他们勇于发言。同时，通过这节课的学习，让学生感受数学和生活息息相关，生活中处处存在数学，数学让我们多了一份对生活的创造和感悟。 三、教学目标： 【知识与技能】 1．认识几何图形，能根据它们的几何特征，通过观察与交流，经历从具体情景中辨别各种几何图形，感受图形世界的丰富多彩． 2．在具体情境中认识圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体，了解棱柱的特征，能用自己的语言描述单个几何体的基本特征，并能根据几何体的某些特征将其分类． 3．培养学生观察，操作，表达以及思维能力，学会合作，交流和自主探究的学习方式，发展空间观念，培养创造和实践能力，体验数学学习的乐趣，提高数学应用意识． 4．在合作与交流中，学会肯定自己和倾听他人的意见，提高学习数学的信心。 【过程与方法】 由实物联想出几何图形、能从实物的形状、大小、位置考虑而得出几何图形．由几何图形联想到实物．从而进一步培养学生对几何图形的感性认识． 【情感、态度与价值观】 经历从现实世界中抽象出图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，通过直觉增进学生的理解力，在独立思考的基础上，帮助学生积极参与对数学问题的讨论，并敢于发表自己的观点，培养他们主动与他人合作交流的意识。【多媒体运用】 为使本节课更有效率，充分发挥电子白板作用，本节课内容一直借助多媒体完成，其中学生借助电子白板完成活动的有3处。 四、教学重、难点 根据课标要求，同时结合聋校学生的心理特点和认知能力，确定本课的重点：感受图形世界的丰富多彩；认识现实背景中的圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球，探究棱柱的特点． 难点能用自己的语言描述简单几何体的某些特征，这一部分是学生的一个弱点，很多学生能大致比划出图形的特征，但缺乏语言的表述，在这里，对于表达较好的学生，老师鼓励和帮助，使学生语句通顺，表达流畅。对于听力损失较重，用手语表达的学生，老师首先要鼓励，使学生树立自信，使他们意识到手语也是一种表达的方式，同学们应该踊跃发表意见。 五、学习研究目标： 1．组织学生在进行探究活动中，如何发挥小组合作效率，使每个学生都主动参与，有所收获，通过合作，培养学生的团队意识。
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)
2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)
2.2.3独立重复试验与二项分布（教学设计） 教学目标 知识与技能： 理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。 过程与方法： 通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。 情感态度与价值观： 使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。 教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 教学难点：二项分布模型的构建。 教学过程： 一、复习回顾： 1、条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的 条件概率：()(|)() P AB P B A P A
2、事件的相互独立性：事件A 与事件B 相互独立，则： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立 二、创设情景，新课引入： 三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.6,老二为0.6,老三为0.6,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 三、师生互动，新课讲解： 1、分析下面的试验，它们有什么共同特点？ （1）投掷一个骰子投掷5次; （2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次; （3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）; （4）抛硬币实验。 在研究随机现象时，经常需要在相同的条件下重复 1()10.40.40.40.9360.8 P A B C -??=-??=>
超几何分布与二项分布的区别与联系
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。 一、超几何分布与二项分布的定义 1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 P (X=k)= C M k C n－m n－k C N ，k=0，1，2，…，m 其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。其分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。 2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次 独立重复试验。在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 P (X=k)=C n k P k （1-p ） n-k ，k=0，1，2，…，n 。此时 称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。 二、超几何分布与二项分布的区别 从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。这就是二者之间的区别。本文笔者举例说明： 例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。 解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。从10个球中任取2球的结果数为C 102 ，从10个球中任取2 个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k ，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为 P （X=k ）= C 4k C 62－k C 10 2 ，k=0，1，2。 所以随机变量X 的分布列是 （2）是有放回地抽取，每次抽到黑球的概率相同，X ～B (2,0.4)。那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为 P （X=k ）=C 2K ·0．4K ·0．62－K ，k=0，1，2。所以随机变量X 的分布列是 三、超几何分布与二项分布的联系 例2某批n 件产品的次品率为2%，现从中任意地抽出3件进行检验。问：当n=500，5000，50000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？ 解：（1）当有放回地抽取时，次品数X ～B (3,0.02) P （X=1）=C 3 1 ·0．02·（1－0．02）2≈0．057624（2）无放回地抽取时，X 服从超几何分布 n=500时，P （X=1）= C 101C 4902 C 500 3 ≈0．057853n=5000时，P （X=1）= C 1001 C 49002C 5000 3≈0．057647n=50000时，P （X=1）= C 10001 C 49000 2 C 50000 3 ≈0．057626 说明：当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变，这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布。 总之，在教学过程中，教师要让学生深刻体会超几何分布与二项分布的区别与联系，引导学生发掘题中所给的隐含条件，抓住实质，从而能够正确解题，并能利用所学知识解决一些实际问题。 超几何分布与二项分布的区别与联系 X 012P 0．36 0．48 0．16
几何图形教学设计
几何图形教学设计 一、教学目标 1、经历从实际问题中抽象出几何图形的过程，进一步认识点、线、面、体。理解几何图形与点、线、面、体的关系，理解立体图形、平面图形的区别。 2、了解平面与平面图形及几何体和立体图形的概念。 3、从这节课开始接触几何图形，通过这节课对图形的探索，激发学生的求知欲望，并且通过七 巧板的讲述，增强学生的爱国主义情感。 二、重点难点 重点：从实际中抽象出几何图形，由点、线、面组成的几何图形的概念与判断是本节的重点。难点：立体图形与平面图形的区分。点、线、面、体之间的关系，尤其是由面旋转成体是本节的难点。 三、教学过程 （一）：导新： 这节课开始我们学习与前面不同的知识：几何图形 1．介绍“几何”的由来：相传古埃及的尼罗河经常泛滥，每次洪水以后都要重新丈量土地，为了适应这种需要，就逐渐产生了测量土地的方法，几何学就起源于当时土地的测量，“几何”这个翻译名词的原意就是“测地术”。 （让学生了解“几何”来实际问题，激发学生的学习兴趣） 2．由实物图片抽象出几何体 你能举出一些在日常生活中形状与上述几何体类似的物体吗？ 从实物中抽象出数学图形，并要注意数学上只研究图形的形状、大小、以及相互位置关系。而不去考虑物质构成、颜色等。 考虑这样研究有什么意义？ （二）：几何图形的概念： （按点、线、面、体由简单到复杂的顺序进行学习。） 1．天上的星星和地图上的城市给我们以什么概念？地图上的河流、公路呢？ 以上问题可以让学生回答、思考、改错，并进行讨论，由教师总结。 2：你们在上面的图形中，发现了那些面，那些是平面，那些是曲面？那么黑板呢，平静的湖面呢？篮球、水桶呢？ 为进一步理解从实物中抽象出的点、线、面的实质，补充： 点：数学上研究的点是无大小、无面积的： 线：数学上研究的线是无宽度、无粗细的。它可分为直线和曲线。 面：可以分为曲面和平面，数学中的平面是可以无限伸展的,无厚度的。 3：几何图形的概念：点、线、面、体这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界，他们都称为几何图形。 4：立体图形和平面图形的概念 图形所表示的各个部分都在同一个平面内的图形称为平面图形。 各表面不在同一平面内的图形称为立体图形 几何图形可分为平面图形和立体图形 （三）知识的运用 1．点、线、面、体这些基本图形可帮助我们有效的刻画错综复杂的现实世界 请问：以下地图中的点和线通常表示什么？ 2．比一比，看哪组同学找的几何图形多？ 3．请给下列图形分类 4．归纳小结一： 《1》、点、线、面、体都称为几何图形。（只研究图形的形状、大小、以及相互位置关系。而不去考虑物质构成、颜色等。) 点：数学上研究的点是无大小、无面积的 线：数学上研究的线是无宽度、无粗细的。它可分为直线和曲线。 面：可以分为曲面和平面，数学中的平面是可以无限伸展的,无厚度的。 《2》、几何图形的分类： （1）平面图形： 如直线、角、三角形、圆等。 （2）立体图形 如长方体、圆柱体、球体等。 （四）知识拓展 课件展示 1．线：可以看作由许多点所组成，也可以看作是点运动形成的。直线曲线
2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第九章第七讲离散型随机变量及其分布列
第七讲 离散型随机变量及其分布列 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为__离散型__随机变量． 知识点二 离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n __概率分布列__ (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n i ＝1p i ＝__p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 知识点三 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p ＝P (X ＝1)(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布. X 0 1 … m P C 0M C n － 0N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N 重要结论 1．若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量． 2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的． 双基自测
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均 为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ???，． 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴； 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????； 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????； 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 超几何分布和二项分布都是离散型分布
几何图形教学设计
《几何图形》教学设计 教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册，第四章 4.11《几何图形》第3课时。 教学目标： 一、知识目标： 1、了解正方体、圆柱、直棱柱等简单立体图形的侧面展开图。 2、能根据展开图初步判断和制作立体模型。 3、进一步认识立体图形与平面图形之间的关系。 二、技能目标： 1、在平面图形与立体图形互相转换过程中，初步建立空间观念，发展抽 象思维能力。 2、通过动手观察、制作、类比、推断等数学活动，积累数学活动经验， 感受数学思考过程的条理性，发展形象思维。 3、通过展开与折叠的活动，培养学生良好的认知习惯。发展学生运用几 何语言表述问题的能力。 三、情感目标： 1、通过学生之间的探究、交流活动，培养自主学习，主动与他人合作探 究交流的意识。 2、通过学生动手观察制作等，提高学生学习的热情。 教学重点：了解正方体、圆柱、直棱柱的展开图。 教学难点：根据展开图判断和制作立体模型。 教学方法：问题教学法 教学准备：1、自制课件；2、多媒体；3、正方体、圆柱、直棱柱等教具。 教学过程： 一、创设情境，导入新课。 1、观察实物，欣赏图片…… 2、提问：同学们，你们会不会制作包装盒子？怎样制作呢？谁会制作演 示一下（让学生台上演示） 3、观看包装盒子的制作过程（显示） 二、自主学习，互助合作，探究课文 1、自主学习 提问：（1）同学们，你认为制作一个包装盒子，需要了解什么？你会制作吗？ （2）让学生动手制作正方型盒子（必须时教师加以引导） 2、互助合作，探究交流 （1）以小组为单位，每个人相互交流。（尽可能得到不同的展开图） （2）以组为单位，展示成果——不同的展开图
北师大版数学高二-《学案导学》选修2-3练习2.2超几何分布
§2 超几何分布 一、基础过关 1． 在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( ) A.1 50 B.125 C.1 825 D.14 950 2． 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( ) A.C 34C 2 48C 552 B.C 348C 2 4C 552 C ．1－C 148C 44 C 552 D.C 34C 248＋C 44C 148C 5 52 3． 一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白 球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 2 22 C 226 的是 ( ) A ．P (0 超几何分布 一.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 二.超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类. (2)已知各类对象的个数. (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布. 1.已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ服从_______分布.ξ的可能取值为________.次品数少于2件的概率是________． 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数的人数X服从_______分布．X的可能取值为________ ．不超过1人的概率是________． 3.10个排球中有6个正品。从10个排球中抽取4个，求正品数比次品数少的概率. 4.从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列. 二项分布 判断某概率模型是否服从二项分布P n(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件 (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p. (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的. (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 1.小王通过英语听力测试的概率是1 3 ，他连续测试3次，那么其中恰有1次 获得通过的概率是________． 2.若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是() 3.抛掷一枚质地均匀的硬币3次. (1)写出正面向上次数X的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率.解(1)X的可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝C03 23 ＝1 8 ；P(X＝1)＝C13 23 ＝3 8 ；P(X＝2)＝C23 23 ＝3 8 ；P(X＝3)＝C33 23 ＝1 8. 所以X的分布列如下. (2)至少出现两次正面向上的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3 8 ＋1 8 ＝1 2. 阅读理解 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1 -分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1 -分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．求X的分布列；超几何分布与二项分布