人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题
解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题
例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程
1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为
_________dm．
2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元
(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？
(2)求出总费用是多少？
课后作业
1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）
A.2
B.4
C.6
D.8
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）
A．B．C．D．
3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m
4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆
心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________
5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。
（1）求∠BAC的度数。
（2）若AC=2，求AD的长。
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________
7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长。
人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题 解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题 例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程 1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 _________dm． 2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元 (1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？ (2)求出总费用是多少？ 课后作业 1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（） A．B．C．D． 3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m
4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________ 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。 （1）求∠BAC的度数。 （2）若AC=2，求AD的长。 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________ 7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。 （1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长。
人教版八年级数学下册专题复习(四) 最短路径问题与勾股定理
思维特训(四)最短路径问题与勾股定理 方法点津 1．解决最短路径问题的基本原理有：①两点之间，线段最短；②垂线段最短． 2．平面最短问题可构建“对称模型”来解决，空间最短问题可将空间图形转化成平面图形来解决． 典题精练 类型一平面内最短路径问题 1．如图4－S－1，A，B两个村子在河的同侧，A，B两村到河边CD的距离分别为AC ＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边CD上建一水厂向A，B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/km. (1)请你在河边CD上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省； (2)求出铺设水管的总费用． 图4－S－1 2．如图4－S－2，在10×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A，B和直线l. (1)求作点A关于直线l的对称点A1； (2)P为直线l上一点，连接BP，AP，求△ABP周长的最小值． 图4－S－2
3．如图4－S－3①，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1，l2是街道两边沿)，现准备合作修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图②中作出此时桥PQ 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)； (2)根据图①中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路程(单位：米)． 图4－S－3 类型二几何体上最短路径问题 4．如图4－S－4，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是多少？ 图4－S－4
人教版数学八年级下动点与最短路径、图形长度最值问题知识点总结及重难点
专题03 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野 最短路径 原理1：两点之间线段最短； 原理2：垂线段最短 （1）二维平面内 前提：A点B点是固定点，点P是x轴上一动点。 当P A+PB最小时，在图中作出P点位置； 当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；
当P A+PB最小时，在图中作出P点位置； 当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置； （2）立体图形中 常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题 解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定 理求解。 题型一、线段最值问题 例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（） A．5B．4C．1.5D．3 例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．
例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（） A．2B．6C．2D．4 例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（） A．3B．5C．7D
专题 勾股定理中的最短路径问题
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路 问题 1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短 路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( ) A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁 离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( ) A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm 4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个 侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm 5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五 周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺． 6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1． 路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2． 请按照小明的思路补充下面解题过程： (1) 解：l1=AB+BC=2+8=10， l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2； ∵l12−l22=． (2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继 续按前面的路线进行计算．（结果保留π） ①此时，路线1:l1=； 路线2:l2=． ②选择哪条路线较短？试说明理由．
2020人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理：小专题(一)：利用勾股定理解决最短路径问题
小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题 【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3） 【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走. 【方法指导】 几何体中最短路径基本模型如下：
1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计） 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________. 3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm . （1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？ （2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？
【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练 1.20 2.30dm 3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm). （2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示， 222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ， 爬行的最短路程是52cm .
人教版初二数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
勾股定理中的最短路径问题（一） 解题技巧： 1、展开几何体的面 2、根据“两点之间线段最短”，可知最短路径就是两点间的连线 3、用勾股定理计算线段的长度 例1、一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿着纸盒面爬到B 点偷糖吃，则它所行的最短路线的长度是（ ） A 、cm )823( B 、10cm C 、14cm D 、16cm 1、如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是（ ） A 、9 B 、10 C 、24 D 、172
2、如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A 、119 B 、13 C 、125+ D 、15 3、如图是一个长为4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处(长的四等分)有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎要爬过去吃蚊子的最短路径是（ ） A 、4.8 B 、29 C 、5 D 、223+ 4、如图，有一圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在全神贯注偷吃粮食。可爱的小猫咪从B 处沿着圆锥表面对老鼠发起突击，则小猫经过的最短路径是____m
勾股定理中的最短路径问题（二） 解题技巧： 1、先轴对称，再连线，找出最短路径 2、用坐标系中的勾股定理221221)()(y y x x d -+-= 求出最短路径 例1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路径是（ ） A 、15km B 、16km C 、17km D 、18km 例2、如图，在△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是_______
人教版八年级数学下册 17.1勾股定理的应用——最短路径问题 教学设计
《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标： 【知识与技能】 1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题； 2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题. 【过程与方法】 经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 【情感、态度与价值观】 1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识； 2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点： 1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题； 2.探索空间与平面图形之间的关系. 教学难点： 熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。 课前准备： 制作圆柱、正方体、长方体等教具 教学方法： 互动式教学、合作探究学习 教学过程： 一、抛砖引玉 一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们： （1）人们为什么要走“斜路”呢？ （2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶 点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前 所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？ 学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？ 如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义. 二、初露锋芒 有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A
人教版初二数学下册17.1(3)勾股定理的应用--最短路径问题
勾股定理之最短路径问题 八年数学组游梅华 课题名称：《勾股定理之最短路径问题》 教材内容分析： 这节课是九年制义务教育初级中学新人教版八年级数学下册第17章第1节《勾股定理》的第3课时：《勾股定理的应用---最短路径问题》。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。 学习者特征分析： 1．通过前面的数学学习，八年级学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.以与勾股定理有关的实例为背景展开对勾股定理的应用，能激发学生的学习兴趣。 教学目标及确立依据： 知识与技能：能运用勾股定理解决简单的实际问题。 过程与方法：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 情感态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中， 体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。 教学重难点分析及确立依据： 教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，并用它们解决生活实际问题。教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。
17.1+勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计2021-2022学年人教版数学八年级下册+
勾股定理之最短路径问题 一、教学目标： 1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情． 二、教学重、难点分析 ●教学重点： 运用勾股定理、线段公理解决几何体中最短路径的实际问题． ●教学难点： 学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●突出重点、突破难点的方法与策略： （1）突出重点的方法：运用多媒体通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点 （2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，验证猜想、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点． 四、教学方法的选择与应用 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性． 教学过程设计： 一、复习提问 1.勾股定理 2.在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？ （1）两点之间线段最短（2）垂线段最短 二、创设情景，引入主题 蚂蚁想吃爆米花，怎样走最近？
模型一点与直线的最短路径模型 如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后可走AB，BC两条道路到达公路，经测量∠B＝90°，BC＝3 km，AB＝4 km，现需重新修建一条道路从学校B 到公路，则新修建的道路的最短长度为______km. 模型二将军饮马的最短路径模型 如图要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则水泵站到A村，B 村的距离之和最短是_______km. 小试牛刀 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M 是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是. 三、探究新知 模型三正方体的最短路径模型 1.如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C'处的最短路径是多少? 思考：如何解决某些几何体中的最短路径问题呢？ 针对练习 1.如图3，正方体的棱长为2 cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面(不能经过底面)爬行，从点A爬到点B的最短路程是_______cm. 2．图5是由3个棱长均为1的正方体堆积而成的几何体，一只蚂蚁沿几何体表面从底端的顶点A处到顶端的顶点B处爬行的最短路程为_______.
数学人教版八年级下册勾股定理的应用------最短路径问题教学设计
勾股定理的应用 ------最短路径问题学习目标： 1.掌握”两点之间线段最短”公理。 2.能够在实际问题中构造直角三角形，知道如何将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、等求最短路径问题。 过程与方法： 3.通过经历经历展开探究圆柱、正方体表面两点最短距离的过程，渗透实践、数形结合等数学思想，培养学生自主学习、合作交流和归纳概括等能力。 情感态度与价值观： 4.通过自主探究和合作交流等过程，增强学习信心和合作探索的快乐，体验成功，发展动手实践能力。 教学重点：两点之间线段最短公理的应用。 突出重点的方法：让学生亲自动手，把自己制作的圆柱、正方体展开，感受立体图形表面最短距离问题的解决的方法和思路。 教学难点：从立体图形向平面图形的转化。 突破难点的方法：借助多媒体动态展示、几何画板等让学生直观理解立体图形的展开过程。 教学过程 （一）创设情境 看图思考：展示两张图片，提出问题为什么大家都喜欢走捷径呢？（绿地里本没有路，走的人多了……） 【设计意图】通过给学生提供现实背景及生活素材，激发学生为解决问题而生成的求知欲。并体会数学来源于生活。 （二）展示问题，探索新知 有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3). 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标
出A、B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根据是什么？（学生回答） 【设计意图】通过动手作模型，培养学生的动手、动脑能力，解决“学生空间想像能力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难题，从而突破难点. （三）类比探究，获取新知 基题1：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3） 分析：大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B两点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AB之间的最短距离是什么？根据是什么？（学生回答） 【设计意图】通过动手作模型，让学生理解立体图形表面两点之间的距离问题，需要把立体图形展开，从而突破难点. （四）合作交流 给出背景：葛藤是一种腰杆不硬的植物，为争夺雨露、阳光，常常绕着树干盘旋而上．它还有一手“绝招”，就是沿最短路线——螺旋上升．（展示图片） 拓展：如图，树干底面周长为40cm,高为3m，A、B分别是树底面圆周上的点，葛藤从A顺着树干侧面绕10圈到B，求葛藤最短为多少厘米? B A 【设计意图】使学生通过小组交流在作图过程中的发现，包括经验、规律、结论，然后结合问题的指导，类比前两道的规律，每个同学互相交流，并能发现剪开图形后三条线段之间的关系（平行且相等），从而突破圆柱表面的距离问题。（五）进一步探究 1.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）. （A）3 （B）√5 （C）2 （D）1 【设计意图】通过以上圆柱体的类比，既可以帮助没有理解和掌握的学生归纳出结论，又可以强化已掌握的学生对立体图形表面上两点距离的理解与记忆。 拓展：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点C出发，沿
数学人教版八年级下册勾股定理解决最短路径问题
勾股定理解决最短路径问题 陈翠娥 教学目标： 知识与技能：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。 过程与方法：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。情感态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。 教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。教学准备：纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。 教学过程： 一、问题一圆柱体中的最短路径问题（蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律） 1、如图在一个底面周长为20cm,高为4cm的圆柱表面，一只在A处的蚂蚁嗅到了放置在的B处位置上的面包，于是它想从A 处爬向B处，想一想，蚂蚁怎么走最近？ （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A→A′→B；(2)A→B′→B； (3)A→D→B；(4)A—→B.
数学人教版八年级下册立体图形中的最短路径问题
立体图形中最短路径问题教案 第三实验中学刘春艳 1 .教学目标 知识与技能目标 (1)学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 过程与方法目标 (1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力. ⑵在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性. 2.教学重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 3.教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 4.教学方法： 引导一探究一归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导： (1)从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； (2)从学生活动出发，顺势教学过程； (3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程. 5.教学过程设计 本节课设计了七个环节.第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：归纳；第四环节：练习；第五环节：小结；第六环节：课后作业；第七环节：板书. 第一环节：情境引入 内容： 情景1:多媒体展示： 提出问题：为什么人们都喜欢走捷径？ 意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短并对学生进'" 行德育渗透； 第二环节：合作探究情景2:在一个圆柱石凳上，若小明在吃东 A
西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解. 在活动中体验数学 建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力, 发展空间观念. 在这个环节中，可引导学生从以下几方面解决⑴ 如何找最短路线？在哪个图形中找⑵ 哪儿是蚂蚁爬行的起点？哪是终点？ ⑶你们画的一样吗？还有不同的画法吗？⑷如何计算？ 接下来后提问：怎样计算AB?得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题. 在Rt△ AA B中，利用勾股定理可得AB2 = AA 2 A'B2，若已知圆柱体高 为12cm 底面半径为3cm n 取3，则AB2=122，（3 3）2, AB = 15. 第三环节：总结归纳 1、展——（立体平面） 2、找------ 起点，终点 3、连 ---- 路线 4、算----- 利用勾股定理 5、答第四环节：练习 练习一：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部 点环绕油罐建梯子，正好到点A的正上方点B,问梯子最短需多少米？ 练习二：有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m 一只蚂蚁从距 底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 练习三：如图，一圆柱高9cm,底面半径2cm,—只蚂蚁从距上底面1厘米点A 爬到对角B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是（） A.20cm B.10cm C.14cm D. 无法确定 意图：让学生在同一题型得到充分训练直击中考：如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离 杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？第五环节：小结： 1、转化思想的应用（立体图形平面图形） A
勾股定理之长方体上的最短路径问题
勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为
2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？
5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度
数学人教版八年级下册利用勾股定理解决最短路径问题
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 一、教学目标 1、通过探究平面图形和立体图形中最短路径问题，掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法。 2、体会类比、数形结合的数学思想方法。 二、教学重、难点 重点：掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法 难点：利用勾股定理解决最短路径问题的方法探究 三、教学过程 （一）情境导入 在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，怎样爬行路程最短？ 设计意图：通过有趣的问题情境导入新课，很好 的吸引学生的注意，使得学生全身心 地投入到学习中。 （二）知识梳理 1、常见立体图形的侧面展开图： 圆柱：圆锥：长方体： 2、距离最短 （1）两点之间最短距离： （2）点到直线的最短距离： （3）两个点到直线的距离和最短：两个点在直线异侧： 两个点在直线同侧： 3、勾股定理： （三）自主探究 1、平面中的最短路径问题 学习指导：请每个学生先独立思考，尝试解决例题，然后在小组合作交流。 温馨提示：请结合知识梳理中的方法思考解决问题的方法。 例题1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 . 步路（假如2步为1cm），却才伤了花草。 B
解答： 设计意图：通过解决这道题，让学生认识到这要做并没有节约太多的路程，然而破坏了花草，提高学生的环保意识，并倡导学生从自我做起，提醒身边的每一个人爱护花草树木。 解答： 设计意图：例题2比较综合，用到轴对称中最短路径问题，考查了学生综合解决问题的能力，也体现了小组合作的必要性。 归纳分享： 归纳利用勾股定理解决平面图形中最短路径问题的方法 设计意图：通过归纳反思，让学生认识到勾股定理解决平面中的最短路径问题的便利，并学习解决问题的方法。 （二）立体图形中最短路径问题 例题3、如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm,在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是（ ） （π取3） 例题2、如图，在正方形ABCD 中，AB 边上有一点E ，AE=3，EB=1，在AC 上有一点P ，求EP+BP 的最短长度。 B C 4cm 3cm A B E C D
勾股定理之圆柱上的最短路径问题
勾股定理之圆柱上的最短路径问题 【知识点】 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长.其一般步骤： ①将圆柱的侧面展开为一个长方形 ②确定相应点的位置 ③连接相应点，构造直角三角形 ④利用勾股定理求解 【练习题】 1.如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为 2.如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与 蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计)
3.如图，圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和 点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为 4.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度 5.如图，已知圆柱的底面直径为6 ，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点 爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为
6.如图，圆柱的底面直径为16 ，高为12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面 移动到BC的中点S所经过的最短距离为 7.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺 8.如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B 点．已知油罐的底面周长是12 m，高AB是5 m，问：梯子最短需要多长？
最短路径问题归纳总结
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时， l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
第17章专题一 利用勾股定理解决最短路线问题-2020-2021学年人教版八年级数学下册
专题一利用勾股定理解决最短路线问题【类型1】平面图形中的最短线路问题 1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 2．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离． 3．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短，求EP+BP的最短距离．
4．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离； 4.6) （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 5．如图所示，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AC⊥BC，∠1＝30°． （1）连接AB，求两个送奶站之间的距离； （2）有一人从点C处出发沿永定路边向右行走，速度为2.5km/h，多长时间后这个人距B送奶站最近？并求出最近距离．
人教版八年级数学讲义最短路径问题(含解析)
最短路径问题» 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B, A-B, A-E-B，那么选哪条路线最近呢? 选A-B，因为两点之间，直线最短 --- _ _
两点在一条直线异侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，位 将军专程拜访海伦，求教一个百思不得 其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边I 饮马，然后到B地•到河边什么地方饮马 可使他所走的路线全程最短？ 两点在一条直线同侧 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B' 2、连接AB'交直线L于点C; 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C' （点C不与C重合），连接AC、BC、B' C'. 在厶AB' C'中， AC +B' C' > AB' ••• AC +BC > AC+BC 所以AC+BC最短.
【例题1】 已知点A,点B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得 PA+PB勺值最小，则下列作法正确的是（） 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论. 解：作B关于直线I的对称点，连接这个对称点和A交直线I于P,则PA+PB勺值最小， ••• D的作法正确， 故选：D. 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站, 向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需 管道最短的是（）