四年级奥数专题第8讲 最短路线问题
四年级奥数专题
第8讲最短路线问题
在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？
例2 图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？
例 3 如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条？
例4 某城市的街道非常整齐，如图4—8所示，
从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不
能通过十字路口C（因正在修路）.问共有多少种不同
的走法？
习题
1.如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A
点出发到B点，共有多少种不同的走法？
2.从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南
北向的马路相通.如图4-12，李楠从学校出发，步行到
少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的
行走路线？
3.如图4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路
线？
4.如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到
B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的
走法？
5.如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有
几条？
6.图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下
水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？
7.如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回
头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走
法？
8.图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、
D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那
么从A到B的最近路线共有几条？
20181125小学奥数练习卷(知识点：最短线路问题)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：最短线路问题） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共5小题） 1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．） A．144B．156C．168D．180 2．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条． A．8B．10C．12D．16 3．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）
A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种 A．2B．4C．6D．8 5．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟． A．14B．15C．16D．17 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共32小题） 6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有种不同的走法．
7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种． 8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有只． 9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有种不同的走法． 10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可
四年级暑假奥数第八讲 追及问题
四年级暑假奥数第八讲追及问题姓名（） 例1、甲乙两人从相距150米的两地同时同向行走，甲在前面每分钟走65米，在后面每分钟走75米，几分钟后乙可以追上甲？ 甲乙两车从相距140千米的两地同时同向而行，甲车在前，每小时行驶45千米；乙车在后，每小时行驶65千米，乙车追上甲车需要几小时？ 例2：环形跑道周长400米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲速度400米/分，乙速度375米/分。几分钟甲乙再次相遇？ 一条环形跑道长400米，小明每分钟跑260米，小亮每分钟跑210米，两人同时同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 例3：一列火车从甲城开往乙城，如果以每小时24千米的速度行驶，它将于下午1时到达乙城；如果以每小时40千米的速度。它将于上午11时到达乙城，要使这列火车于中午12时到达乙城，那么这列火车应以怎样的速度行驶？ 小明从家到学校，如果以每分钟150米的速度，他将于7:50到校；如果以每分钟200米的速度，他将于7:45到校，小明想在7:40到校，他该以怎样的速度前进？ 例4：甲乙两人环绕周长是300米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过3分钟相遇；如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过30分钟两人相遇，已知甲的速度比乙快，求甲乙两人跑步的速度各是多少？ 甲乙两人环绕周长是400米的跑道跑步，两人若从同一地点背向而行，经2分钟迎面相遇，两人若从同一地点同向而行，经20分钟追及相遇，求甲乙各自的速度。 例5：狗跑4步的时间马能跑6步。马跑3步的距离相当于狗跑6步的距离。现在狗已跑出600米，马才开始追狗，马跑多少米可以追上狗？ B地的兔子和A地的狗相距56米，兔子发现A处的狗后立即从B地逃跑，狗同时从A地追捕兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次的时间相当于兔子跳4次的时间，兔子前进112米到达C地，此时狗追捕到兔子，问兔子一跳前进多少米？ 练习与检测 1、甲乙两车从相距104千米的两地出发去货场取货（乙车在前）。甲车每小时行64千米，乙车每小时行48千米。途中甲车出故障停车修理半小时，甲乙两车相遇时各行了多少千米 2、学校离游泳馆1200米，小强和小华由学校到游泳馆，小强每分钟行100米，小华每分钟行80米，当小华走2分钟后，小强才出发，当小强追上小华时，距离游泳馆有多远？ 3、甲乙两地相距900千米，一列客车和一辆货车同时由甲地开往乙地，客车早到5小时，客车到达乙地时货车行了600千米。问客车的速度是每小时多少千米？ 4、甲车以每小时60千米的速度前进，乙车以每小时100千米的速度追行，那么在乙车追上甲车的前9秒钟，两车相距多少米？
小学高年级基础奥数第8讲 行程之追及问题
追及问题 追及问题的基本公式 速度差×追及时间=追及路程 例1甲、乙两人相距150米，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？ 150÷（75－60）=10（分钟） 例2骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？ 速度差：450÷3=150（米/分钟） 150＋60=210（米/分钟） 例3 甲以每小时4千米的速度步行去学校，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙多少小时可追上甲？ 追及路程：4×4=16（千米） 16÷（12－4）=2（小时） 【举一反三】 1、父亲和儿子都在某厂工作，他们从家里出发步行到工厂，父亲用40分钟，儿子用30分钟．如果父亲比儿子早5分钟离家，问儿子用多少分钟可赶上父亲？ 2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？ 例4一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇? 【分析】当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米。
400÷（300－250）=8（分钟） 【举一反三】 1、两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 例5在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？【分析】首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。 2小时=120分 甲第一次追上乙所用的时间：400÷2÷（60－50）=20（分） 甲第二次开始每追乙一次所用的时间：400÷（60－50）=40（分） 甲从第二次开始追上乙多少次：（120－20）÷40=2次……20秒 甲共追上乙多少次：2＋1=3（次） 【举一反三】 1、在周长为300米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？ 例6在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？ 【分析】同向行驶，甲追上乙，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米正好是两人的路程差 背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米 3分20秒=200秒 甲乙的速度差：400÷200=2（米/秒） 甲乙的速度和：400÷40=10（米/秒） 乙的速度（10－2）÷2=4（米/秒） 甲的速度：10－4=6（米/秒）
奥数四年级行程问题
第三部分行程问题 第一讲行程基础 【专题知识点概述】 行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度?时间，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。 一、行程基本量 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路 程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下： （1）速度×时间=路程可简记为：s = vt （2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v （3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度?总时间。 【重点难点解析】 1.行程三要素之间的关系 2．平均速度的概念 3．注意观察运动过程中的不变量 【竞赛考点挖掘】 1.注意观察运动过程中的不变量 【习题精讲】 【例1】（难度等级※） 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每 小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可 以回到邮局? 【分析与解】
四年级 数学最短路线问题
第四讲最短路线 【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？ 分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。 所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。 解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。
【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？ 分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。 答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。 为什么这条折线是最短的呢？分两步说明： （1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以 AB′=AE+EB′=AE+EB （2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得
四年级奥数专题第8讲 最短路线问题
四年级奥数专题 第8讲最短路线问题 在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。 例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？ 例2 图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？ 例 3 如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条？ 例4 某城市的街道非常整齐，如图4—8所示， 从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不 能通过十字路口C（因正在修路）.问共有多少种不同 的走法？ 习题 1.如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A 点出发到B点，共有多少种不同的走法？ 2.从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南 北向的马路相通.如图4-12，李楠从学校出发，步行到 少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的 行走路线？ 3.如图4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路 线？ 4.如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到 B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的 走法？ 5.如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有 几条？ 6.图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下 水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？ 7.如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回 头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走 法？ 8.图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、 D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那 么从A到B的最近路线共有几条？
初中奥数辅导《最短路径问题》典型例题
初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短． 解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 A· B M N E
最短路线奥数解题技巧
最短路线奥数解题技巧 最短路线问题是数学课程中一个非常重要的问题，它可以用于优化工程、计算机网络和其他领域中的问题。解决最短路线问题有许多技巧，下面我们将介绍其中一些。 1. Dijkstra算法 Dijkstra算法是解决最短路线问题的一种常见方法，它适用于有向有权图。这个算法的实现方法很简单，可以按照下面的步骤来完成： - 找到从开始节点到第一个节点的最短路径 - 标记这个节点为“已完成” - 重复以上步骤，以找到下一个最近的节点 - 继续进行，直到到达目标节点，或者没有其他节点可以加入路径为止。 2. Bellman-Ford算法 Bellman-Ford算法是另一个用于解决最短路线问题的方法，它可以被应用于带有负权边的图。使用这个算法，你可以找到从起点到目标点的 最短路线和任何其他边缘的最小距离。
3. Floyd-Warshall算法 Floyd-Warshall算法是解决所有对最短路线问题的完整解决方案。使用 这个算法，可以找到从任意一个节点到任何一个节点的最短路径。然而，这个算法的速度随着图的大小而降低，并且主要用于较小的图像。 4. A*算法 A*算法是一种启发式搜索算法，可以用于求解最短路径问题。它使用 一些规则来指导它搜索最快的路径，这样可以更快地找到最短路径。 使用A*算法时，您需要知道每个节点的邻居和路径的代价，然后您可 以计算一个估计代价，在搜索过程中做出更明智的决策。 5. 贪心算法 贪心算法是可用于一个特殊的最短路线问题——旅行推销员问题。在 这个问题中，你必须找到一个充分优化的路径，可以访问一系列城市，并且没有城市被重复访问。贪心算法使用了一个简单的策略——尽可 能的选择下一个最近的未访问的城市——来解决这个问题，尽管在选 择时也有权衡。 以上就是解决最短路线问题的一些基本技巧，它们都将有助于你在实 际应用中更好的解决问题。当然，在实际应用中需要考虑不同场景下 选择的合适的算法。
苏教版四年级上册同步奥数培优 第八讲 垂线和平行线(最优化问题)
苏教版四年级上册奥数培优第八讲垂线和平行线（最优化问题） 【知识概述】 同学们都有这样的体会:从一个地方到另一个地方，两地之间有许多路，就有许多种走法从中选择一条最近的路，也就是要选择一条最短的路线；或者利用平行和垂直的知识，很快数出图形的个数，称为“最优化问题”。 在解决最优化问题时需要注意以下几点:一是两点之间线段最短；二是尽量不走回头路和重复路。 最优化问题有时只有一种，有时有许多种，可以按照一定的逻辑顺序来排列可能走的路线，借助图表用标数法完成，要求不重复也不遗漏，并要注意题中的特定要求。 例1：下图中，小冬和小李分别住在M，N两地，如果他们要步行到河边坐同一条船，请问，船停靠在何处，小冬和小李两人所走的路程和最短? 练习一： 1.李大妈家在A处，她要从A处去河边挑水，然后把水送到B处菜地浇菜。请帮忙找一条最短的路线，在下图中表示出来。 2.如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问:这个码头的点选在何处，才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短? 3.将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短? 例2：A，B两村中间隔了一条河(见下图)，现在要在小河上架一座桥，要求A，B两村之间行程最短，怎样在河两岸选择架桥地点? 练习二： 1.河的两岸住着王家和李家，如图所示，如何在河上铺一座桥，
使两家串门方便，走的路程最短? 2.A，B两村位于河的两岸，要在河上垂直于河岸建一座桥，桥应修在什么地方，才能使从A 经过桥到B的路最近?(河的宽度不变) 3.如图甲、乙两人分别在公路的两侧，两人约好在公路上的某一处见面，要使两人到公路上的距离和最短，那么，他们应约在公路上的哪一处见面? 例3：下图(1)中的线段表示的是某人从A 到B所能经过的路，某人从A到B共有多少条最短路线? 练习三： 1.小华从家上学，所经过的街道平面示意图如下，从家到学校所走的最近的路线有多少条? 2.下面是一个小区的平面图，某人从A到B(只能从北到南及从西向东)，共有多少种不同的走法?
四年级奥数：最短路线
四年级奥数：最短路线 在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题.比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等.这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”. 典型例题 例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1.现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短.问：车站应该建在什么地方？ 分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一 条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最近的点，但是乙村到C 点就较远了. 反过来，由乙村向公路AB 画垂线，交AB 于D 点，那么D 点是乙村到公路AB 最近的点.但是这时甲村到公路AB 的D 点又远了. 因为本题要求我们在公路AB 上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车 甲村 乙村 乙村 图1 图2
站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB 交点P ，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）. 解 用直线把甲村、乙村连起来.因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB 有一个交点，设这个交点为P ，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短. 例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数.他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局.问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？ 分析 选择最短的路线最合理.那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最 短的.邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点.因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点.但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的.要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点. 如果有不同的添法， 3
小学奥数：第8讲四年级数学追及问题学案
题目：铁路工人沿着铁路边的便道步行，一列货车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒，火车长105米，每小时速度为28.8千米，求铁路工人每小时行多少千米？ 1、火车过桥问题基本数量关系是什么？ 2、火车过桥问题几种题型的解题方法是什么？ 一、同步知识梳理 1、追及问题也是行程的一种类型，指两个物体同时从不同地点向同一方向或不同时间从同一地点向同一方向运动，慢在前，快在后，两者距离越来越近，在某一时刻追上。 2、追及问题：有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程－乙走的路程 ＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间 3、解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。 4、追及问题的关键词：同向而行、时间相同、速度差。 二、同步题型分析
2、哥哥和弟弟在同一所学校读书，哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远? 3、在400米的环形跑道上，甲乙二人同时从起跑线出发，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，他们同向而跑，出发后多少秒第一次见面? 4、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 5、我骑兵以每小时21千米的速度追击敌人，当到某地时，得知敌人己于2小时前逃跑，已知敌人逃跑的速度是每小时15千米，我骑兵几小时可以追上敌人? 6、甲以每小时8千米的速度步行去某地，乙比甲晚3小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时追上甲? 一、专题精讲 题型一：隐含着的追及问题 例1：甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达B地。A、B两地间的路程是多少？
【小学奥数】最短路线.知识例题精讲
1. 准确运用“标数法”解决题目. 2. 培养学生的实际操作能力． 知识点说明 从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力． 【例 1】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给 它找到几条这样的最短路线呢？ 【巩固】 如图所示，从A 点沿线段走最短路线到B 点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？ 【巩固】 从A 到B 的最短路线有几条呢？ 【巩固】 有一只蜗牛从A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C 点,中间不许爬回A 点,也不能走重复的 路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？ B A 1161 33 21 B A I H G F E D C A B B A O D C B A 例题精讲 知识精讲 教学目标 8-8最短路线
【例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？ 【巩固】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路 线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？ 【巩固】 如图，从F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？ 【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！ 【例 3】 “五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的 最短路线共有几条呢？ 少年宫 学校 J I H G F E D C B A 410 633211 11 1 少年宫 学校 G F 南村 北村
四年级奥数：行程问题
四年级奥数：行程问题 四年级奥数：行程问题 奥数：行程问题1 45名学生要到离学校30千米的郊外劳动。学校只有一辆汽车能乘坐15人，汽车的速度是每小时60千米。学生步行的速度是每小时4千米。为使他们尽早到达劳动地点，他们最少要用几小时才能全部到达? [解答]： 45人分三组出发，每组15人。 为了尽快到达，三组必须同时到达。 每一组都是步行了一些路程，坐车行了一些路程。 由于同时到达，所以每一组坐车的时间相等，当然步行的时间也相等。 汽车速度是步行速度的15倍，所以如果时间相同，汽车行的路程是人步行路程的15倍。 我们设第二组第一条红色线段的长度为1份。 可得出第一条蓝色线段=8份，当然，第3条，第5条蓝色线段的长度也等于8份。 还可以得到第三组的红色线段=2份，当然，第1组的红色线段也等于2份。 所以全程是8+2=10份，8份路程坐车，2份路程步行。 每份长度为30÷10=3公里。 所以坐车时间为3×8÷60=0.4小时 步行时间为3×2÷4=1.5小时 一共需要0.4+1.5=1.9小时。 四年级奥数：行程问题2 专题简析： 在静水中行船，单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度，顺水下行的速度叫顺水速度。船在水中漂流，不借助外力只
顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度，简称水速。 行船问题与一般行程问题相比，除了用速度、时间和路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系： 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速 (顺水速度-逆水速度)÷2=水速 例1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米? 分析与解答：由条件“货车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48+42=90千米。由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时，客车距中点还有18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米。因为货车每小时比客车多行48-42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时，即两车相遇的时间。所以，两地相距90×6=540千米。 练习一 1，甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米，求全程长多少千米。 2，甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇。东西两城相距多少千米? 3，快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米，这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米? 例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。A、B两地间的路长多少米? 分析与解答：从图中可以看出，丙和乙相遇后又经过10分钟和甲
四年级 奥数 讲义 377学子 教案库 第8讲—巧求周长与面积
第8讲 巧求周长与面积 教学目标 1、学会正方形、长方形、平行四边形的基本图形的周长与面积计算 2、学习几何中的常用思想 3、能够利用构造法解决几何中的重要专题 知识点拨
一、基本概念 ①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． ②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积． 二、基本公式 ①长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽． ②正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长． 三、常用方法 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解． 1、转化是一种重要的数学思想方法 在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形． 2、化归思想 寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧
模块一、巧求周长 2 1 3 4 2 例题2 2 5、旋转 在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题． 6、对称 平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助． 7、代换 在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧． 本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体 例题精讲 例题1 1 如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和． 如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．
八年级上第08讲 最短路径问题 讲义+练习
轴对称：最短路径问题
【知识导图】
1.两点之间，线段最短。 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题 讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。 讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短 【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。 【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’ 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'， 2.连接A'B交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。 【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B 若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 2 例题3 奥数四年级行程问题 《专题知识点概述》 行程问题是一类常见的重要应用题；在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大；辐射面广；但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系；即：距离=速度⨯时间；时间=距离÷速度；速度=距离÷时间。在这三个量中；已知两个量；即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式；是解决行程问题的关键。在解答行程问题时；经常采取画图分析的方法；根据题意画出线段图；来帮助我们分析、理解题意；从而解决问题。 一、行程基本量 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题；总称为行程问题； 我们已经接触过一些简单的行程应用题；行程问题主要涉及时间《t》、速度《v》和路 程《s》这三个基本量；它们之间的关系如下： 《1》速度×时间=路程可简记为：s = vt 《2》路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v 《3》路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t 显然；知道其中的两个量就可以求出第三个量； 二、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度⨯总时间。 《重点难点解析》 1；行程三要素之间的关系 2．平均速度的概念 3．注意观察运动过程中的不变量 《竞赛考点挖掘》 1；注意观察运动过程中的不变量 《习题精讲》 《例1》《难度等级※》 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里；从邮局开始要走12千米上坡路；8千米下坡路。他 上坡时每小时走4千米；下坡时每小时走5千米；到达目的地停留1小时以后；又从原路返回；邮 递员什么时候可以回到邮局? 奥数四年级行程问题(总20 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第三部分行程问题 【专题知识点概述】 行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度⨯时间，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。 一、行程基本量 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称 为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及 时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如 下： （1）速度×时间=路程可简记为：s = vt （2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v （3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度⨯总时间。 【重点难点解析】 1.行程三要素之间的关系 2．平均速度的概念 3．注意观察运动过程中的不变量 【竞赛考点挖掘】 1.注意观察运动过程中的不变量 【习题精讲】 【例1】（难度等级※） 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米， 到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮 局? 【分析与解】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=(小时);②邮递员返回到邮局共用时间： 8÷4+12÷5+1+ =2++1+ = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10- 12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。 法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。． 【例2】（难度等级※） 甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米. 【分析与解】 马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9- 3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)． 【例3】（难度等级※※） 小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题） 【分析与解】 原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。 这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30 分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。 【例4】（难度等级※） 韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？ 【分析与解】奥数四年级行程问题
奥数四年级行程问题