《运筹学》 第八章图与网络分析习题及 答案
《运筹学》第八章图与网络分析习题
1.思考题
(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；
②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。⑨子图，部分图，真子图．
(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义．
(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义．
(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．
(６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．
(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．
(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。 2.判断下列说法是否正确
(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何
形状无关。
(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重
复边，得到的图即为最小支撑树。
(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。 (5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。 (6 )无孤立点的图一定是连通图。
(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。 (8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。
(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。
3.证明：在人数超过2的人群中，总有两个人在这群人中恰有相同的朋友数。
4.已知九个人921,,,v v v ，1v 和两个人握过手，32,v v 各和四个人握过手，
7654,,,v v v v 各和五个人握过手，98,v v 各和六个人握过手。证明这九个人中，一定可
以找出三个人互相握过手。
5．用破圈法和避圈法求下图的部分树
C7
V 1
V 2 V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
V 8
V 9
C 1 C 2
C 3
C 4 C 5
C 6
C 8
C 9
C 10
C 11
C 12 C 13
C 14
１ ７ ３
２ ５
３
２
６ ８
５
４ ３
１
6．写出下面各图中的顶点数、边数及顶点的次数，哪些是简单图。
7．完全图Ｋn 有多少条边？ 8．求下列各图的最小树
（３）
9.用标号法求下图中从1v 到各顶点的最短距离
V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
(1)
V 2
3
(2)
５ １
３
７
４
２
５
２
８
６
２
７
４
３
７
４ ３
（１）
５
２
３
４
２
４
６
１
２
４
３
９
（２）
（３）
10．在下图中用标号法求
（１）从1v 到各顶点的最短距离；（２）若从1v 到9v ，走哪一条路最短。
11．已知8个村镇，相互间距离如下表所示,已知1号村镇离水源最近，为5公里，问从水
源经1号村镇铺设输水管道将各村镇连接起来，应如何铺设使输水管道最短（为便于管理和维修，水管要求在各村镇处分开）。
V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
V 8
V9
V 10
V 11
2
6 3
5
7
5
2
1 3
7
2
3
4
1
4
3
1
6
7
3
8
4
V 1
V 2
V 3
V 4
V 5
V 6
V 7
V 8
V 9
4
3
3
2
4
3
8
3
1
2
3
2
1
12.用标号法求下面网络的最大流.
13. 用标号法求下面网络的最大流.
14.求下列网络的最小费用最大流.括号内的两个数字,前一个是单位流量的费用,后一个是该弧的流量.
《运筹学》第八章图与网络分析习题解答
2．（1）√ （2）X （3）√ （4）X （5）√ （6）X （7）X （8）√（9）√（10）√ 6．解：图（１）顶点数６个；边数１２条；每个顶点的次数都为４次，是简单图。
图（２）顶点数５个；边数９条；每个顶点的次数v 4 ,v 5 ３次，其它各顶点都为４次，是简单图。
7．解：完全图的边数为
2)
1( n n 条。
V
V t
12
15 V 1
V t
8
10
6
10
8
4
9
10
14
18 12
8
13
15
6
V 1
V t
(5,6)
(9,2)
(3,2)
(4,1)
(3,4)
(4,19)
(2,3)
(1,1)
(2)
V
t
(1)
9．解：
10．解：
从1v 到9v 的最短路为9751
v v v v →→→。 11．解：此为最短路问题。铺设路线由下图给出，最短输水管道为6.5公里。
12．最大流为32。 13．最大流为10。 14．解：（1）最大流量为6，最小费用为84；
（2）最大流量为3，最小费用为27。
V 1
V 2 V 3
V 4
V 5 V 6
V 7
V 8
V9
V 10
V 11
（o,0）
(v 1,2) (v 1,6) (v 1,3)
(v 2,7) (v 5,8)
(v 9,14) (V 9,12) (v 4,10) (v 7,11)
(v 10,15)
V 1
V 2
V 3 V 4 V 5 V 6
V 7
V 8
V 9
1
（o,0）
(v 1,4) (v 2
,7)
(V 1,3)
(V 2,6)
(V 2,7) (V 5,6) (V 7,8) (V 7,8) ①
④
⑧
②
③
⑤
⑥
⑦
《管理运筹学》复习题及参考答案
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?
1． 某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数 最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行 域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x 1+3x 2，约束形式为“≤”，X 3，X 4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 (1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x 1+2x 2+4x 3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案 大家不妨来看看小编推送的运筹学试题及答案，希望给大家带来帮助！ 《运筹学》复习试题及答案(一) 一、填空题 1、线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2、图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3、线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5、在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点(极点)达到。 7、线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9、满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10、在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11、将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12、线性规划模型包括决策(可控)变量，约束条件，目标函数三个要素。 13、线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14、线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15、线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16、在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17、求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18、 19、如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj,同时令Xj=Xj- Xj。 20、表达线性规划的简式中目标函数为ijij 21、、(2、1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在 二、单选题 1、如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m 第一章 思考题、主要概念及内容 1、了解运筹学的分支，运筹学产生的背景、研究的内容和意义。 2、了解运筹学在工商管理中的应用。 3、体会管理运筹学使用相应的计算机软件，注重学以致用的原则。 第二章 思考题、主要概念及内容 图解法、图解法的灵敏度分析 复习题 1. 考虑下面的线性规划问题： max z=2x1+3x2； 约束条件： x1+2x2≤6， 5x1+3x2≤15， x1，x2≥0． (1) 画出其可行域． (2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6． (3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值． 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解． (1) min f=6x1+4x2； 约束条件： 2x1+x2≥1， 3x1+4x2≥3， x1，x2≥0． (2) max z=4x1+8x2； 约束条件： 2x1+2x2≤10， -x1+x2≥8， x1,x2≥0． (3) max z=3x1-2x2； 约束条件： x1+x2≤1， 2x1+2x2≥4， x1，x2≥0． (4) max z=3x1+9x2； 约束条件： -x1+x2≤4， x2≤6， 2x1-5x2≤0， x1，x2≥0 3. 将下述线性规划问题化成标准形式： (1) max f=3x1+2x2； 约束条件： 9x1+2x2≤30， 3x1+2x2≤13， 2x1+2x2≤9， x1，x2≥0． (2) min f=4x1+6x2； 约束条件： 3x1-x2≥6， x1+2x2≤10， 7x1-6x2=4， x1，x2≥0． (3) min f=-x1-2x2； 约束条件： 3x1+5x2≤70, -2x1-5x2=50， -3x1+2x2≥30， x1≤0，-∞≤x2≤∞． (提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．) 4. 考虑下面的线性规划问题： min f=11x1+8x2； 约束条件： 10x1+2x2≥20， 3x1+3x2≥18， 4x1+9x2≥36， x1，x2≥0． (1) 用图解法求解． (2) 写出此线性规划问题的标准形式． (3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值． 5. 考虑下面的线性规划问题： max f=2x1+3x2； 约束条件： x1+x2≤10， 2x1+x2≥4， 运筹学试习题及答案 《运筹学》复习试题及答案(一) 一、填空题 1、线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2、图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3、线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5、在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点(极点)达到。 7、线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9、满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10、在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11、将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12、线性规划模型包括决策(可控)变量，约束条件，目标函数三 个要素。 13、线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14、线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15、线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16、在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17、求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18、 19、如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj,同时令Xj=Xj- Xj。 20、表达线性规划的简式中目标函数为ijij 21、、(2、1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在 二、单选题 1、如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m行解的个数最为_C_。′〞′ A、m个 B、n个 C、Cn D、Cm个 2、下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是 A mn 3、线性规划模型不包括下列_ D要素。 运筹学填空题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 第二章线性规划的基本概念 填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。 第三章线性规划的基本方法 填空题 1．线性规划的代数解法主要利用了代数消去法的原理，实现基可行解的转换，寻找最优解。 2．标准形线性规划典式的目标函数的矩阵形式是_ maxZ=C B B－1b+(C N－C B B－1N)X N。 3．对于目标函数极大值型的线性规划问题，用单纯型法求解时，当基变量检验数δj_≤_0时，当前解为最优解。 第一章 线性规划及单纯形法 （作业） 1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行 解对应图解法中可行域的哪一顶点。 （1）Max z=2x 1+x 2 St.⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤+≤+0,242615532 12121x x x x x x 解：①图解法： 由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解 为直线⎩⎨⎧=+=+24 2615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。 Max z =33/4. ② 单纯形法： 将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4 St. ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535 421421321x x x x x x x x x x 其约束条件系数矩阵增广矩阵为： P 1 P 2 P 3 P 4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到 T 优解，代入目标函数得Max z=33/4. 1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。 （3）Min z=4x 1+x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=≥=++=-+=+) 4,3,2,1(0426343 34213 2121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343 34213 2121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2 Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2 《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（ ）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（ ）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（ ）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B .不增不减的 C .增加的 D .难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A ，B ，C 三相邻结点的距离分别为15km ，20km,25km ，则（ ）。D A.最短路线—定通过A 点 B.最短路线一定通过B 点 C.最短路线一定通过C 点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C .存在三个圈 D .不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于 600 700 300 500 400 锅炉房 1 2 3 《运筹学》习题及其解答 目录 《运筹学》习题及其解答 (1) 第一章 线性规划 ........................................................................................................... 1 第二章 对偶规划及灵敏度分析 ........................................................................................... 12 第三章 运输问题 ................................................................................................................... 17 第四章 整数规划 ................................................................................................................... 22 第五章 动态规划 ................................................................................................................... 27 第六章 图与网络分析 .. (34) 第一章 线性规划 1.1将下列线性规划模型转化为标准型： （1）2164.x x Z Min += （2）212.x x Z Min --= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥=-≤+≥-0,46710263. .21212 121x x x x x x x x t S ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧≤≥+-=--≤+03023505270 53..1212 121x x x x x x x t S 【解】（1）—2164)(x x Z Max --=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥=-=++=--0 ,,,4671026 3. .2121212 21121s s x x x x s x x s x x t S （2）—v u y Z Max 22)(1+--=- ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧≥=-+=+-=+-+-0,,302235055270553. .111 11v u y v u y v u y s v u y t S 1.2 用图解法解下列线性规划问题： 《运筹学》作业参考答案 使用教材：汤代焱等编著，《运筹学》，中南大学出版社，2002.9 一、作业题 第1章 线性规划基础：1.3题 第2章 单纯形法：2.3题(1) 第3章 对偶问题及对偶单纯形法：3.7题 第5章 运输问题与指派问题：5.6题，5.10题 第8章 动态规划：8.1题 第9章 图与网络分析：9.5题，9.9题 第10章 网络计划技术：10.2题 第11章 单目标决策：11.1题 二、《运筹学》作业题参考答案 第1章 P7：1.3题，x 1=8，x 253 =，Z max =380 第2章 P25：2.3(1)题，x 2=5/2，x 4=14，x 7=42，x 1=x 3=x 5=x 6=0，Z max =180 第3章 P40：2.7题 1) Z y y y max =++201210123 y y y y y y y y y y j j 12312312 32631220++++++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪≤≤≤≥一切, 2) y *(,,,,,)=120300，Z max =44 3) X *(,,)=0416，S min =44 第5章 P85：5.6题，S min =17500(元) P86：5.10题，S=10(小时) 第8章 P145：8.1题，S=68 第9章 P182：9.5题，V 1至各点最短路径如下图所示(画双线路线) v 2 v 5 v 8 1 2 P184：9.9题。目前流量为5，不是网络最大流，因在图中还存在增流链。 第10章 网络计划技术，P206：10.2题 第11章 单目标决策，P224：11.1题，现在扩大的方案为最优方案。 v v 11 v 1不能到达v 8 《运筹学》综合练习 题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页题 2、教材44页题 3、教材45页题 4、教材46页题 5、教材46页题 6、补充：判断下述说法是否正确 LP 问题的可行域是凸集。 LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现0 "' j j x x . 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值 为零，则可断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。试问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少污水，才能使总的污水处理费用为最小建立线性规划模型。 1、教材77—78页，，题 2、教材79—80页题： ①写出其对偶问题 ②用单纯形法求解原问题及对偶问题 ③比较②中原问题及对偶问题最优解的关系，掌握当求解原问题/对偶问题后，如何辨识对偶问题/原问题的最优解 3、教材80页、题 4、设有LP 模型如下： 试用矩阵语言，描述其最优性检验条件为：00 11≤-≤---B C A B C C B B 5、写出二题线性规划的对偶规划（10分） 6、某公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品，已知各制造一件时分别占用的设备A 、B 的台时、调试时间及每天可用的设备能力和单件产品的获利情况如下表： 一、判断以下说法是否正确 〔1〕图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；F 〔2〕线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；T 〔3〕线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；F 〔4〕如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；T 〔5〕对取值无约束的变量，通常令，其中，在用单纯形法得的最优解中有可能同时出现；F 〔6〕用单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量；T 〔7〕单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；T 〔8〕单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；F 〔9〕一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；T 〔10〕线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；T 〔11〕假设分别是*一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中为正的实数；F 〔12〕线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为，但也可写为，只要所有均为大于零的常数；T 〔13〕对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为；F 〔14〕单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；F 〔15〕线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；F 〔16〕假设线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；F 〔17〕线性规划可行域的*一顶点假设其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值到达最优。T 第二章对偶理论与灵敏度分析 〔1〕任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；T 南开大学2021年2月《运筹学》作业考核试题及答案（参考） 1. 优先目标规划就是按照目标的先后顺序，逐一满足优先级较高的目标，最终得到一个满意解。( ) T、对 F、错 参考答案：T 2. 动态规划就是要在时间推移的过程中，在每个时间阶段选择适当的决策，以使整个系统达到最优。( ) T、对 F、错 参考答案：T 3. 互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。( ) A.错误 B.正确 参考答案：B 4. 在运输问题中，可以作为表上作业法的初始基可行解的调运方案应满足的条件是( )。 A.含有m+n-1个基变量 B.基变量不构成闭回路 C.含有m+n-1个基变量且不构成闭回路 D.含有m+n-1个非零的基变量且不构成闭回路 参考答案：D 5. 解决运输问题时，采用闭回路法，可以得到运输问题的基本可行解。( ) A.正确 B.错误 参考答案：B 6. 下面为一问题的网络图，利用Kruskal算法求得的最小支撑树的权为( )。 A.11 B.12 C.13 D.14 参考答案：D 7. 一个无圈的连通图就是( )。 一个无圈的连通图就是( )。 A.树 B.最小支撑树 C.支撑子图 D.有向图 参考答案：A 8. 对于动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解。( ) A.错误 B.正确 参考答案：A 9. 若非线性规划的目标函数为变量的二次函数，约束条件又都是决策变量的线性等式或不等式，则称这种规划为二次规划。( ) A.正确 B.错误 参考答案：A 10. 目标规划没有系统约束时，不一定存在满意解。( ) T.对 F.错 参考答案：F 《运筹学》第八章图与网络分析习题 1.思考题 (１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边； ②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。⑨子图，部分图，真子图． (２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义． (３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义． (４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系． (６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法． (８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法． (９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。 2.判断下列说法是否正确 (1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何 形状无关。 (2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 (3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重 复边，得到的图即为最小支撑树。 (4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。 (5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。 (6 )无孤立点的图一定是连通图。 (7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。 (8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。 (9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。 3.证明：在人数超过2的人群中，总有两个人在这群人中恰有相同的朋友数。 4.已知九个人921,,,v v v ，1v 和两个人握过手，32,v v 各和四个人握过手， 7654,,,v v v v 各和五个人握过手，98,v v 各和六个人握过手。证明这九个人中，一定可 以找出三个人互相握过手。 5．用破圈法和避圈法求下图的部分树 C7 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 运筹学 一、单选题 1. μ是关于可行流f的一条增广链，则在μ上有（D） A.对一切 B.对一切 C.对一切 D.对一切 2.不满足匈牙利法的条件是(D) A.问题求最小值 B.效率矩阵的元素非负 C.人数与工作数相等 D.问题求最大值 3.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）C A.树的逐步生成法 B.求最小技校树法 C.求最短路线法 D.求最大流量法 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.当基变量x i的系数c i波动时，最优表中引起变化的有(B) A.最优基B B.所有非基变量的检验数 C.第i 列的系数 D.基变量X B 6.当非基变量x j的系数c j波动时，最优表中引起变化的有(C) A.单纯形乘子 B.目标值 C.非基变量的检验数 D. 常数项 7.当线性规划的可行解集合非空时一定(D) A.包含点X=(0,0,···,0) B.有界 C.无界 D.是凸集 8.对偶单纯形法的最小比值规划则是为了保证(B) A.使原问题保持可行 B.使对偶问题保持可行 C.逐步消除原问题不可行性 D.逐步消除对偶问题不可行性 9.对偶单纯形法迭代中的主元素一定是负元素（）A A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断 10.对偶单纯形法求解极大化线性规划时，如果不按照最小化比值的方法选取什么变量则在下一个解中至少有一个变量为正（）B A.换出变量 B.换入变量 C.非基变量 D.基变量 11.对LP问题的标准型：max,,0 Z CX AX b X ==≥，利用单纯形表求解时，每做一次换基迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（）B A.增大 B.不减少 C.减少 D.不增大 12. 单纯形法迭代中的主元素一定是正元素( ）A A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断 13.单纯形法所求线性规划的最优解（）是可行域的顶点。A A.一定 B.一定不 C.不一定 D.无法判断 14.单纯形法所求线性规划的最优解（）是基本最优解。A A.一定 B.一定不 C.不一定 D.无法判断 15.动态规划最优化原理的含义是：最优策略中的任意一个K-子策略也是最优的（）A A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断 16.动态规划的核心是什么原理的应用（）A A.最优化原理 B.逆向求解原理 C.最大流最小割原理 D.网络分析原理 17.动态规划求解的一般方法是什么？（）C A.图解法 B.单纯形法 C.逆序求解 D.标号法 18.工序（i,j）的最乐观时间、最可能时间、最保守时间分别是5、8和11，则工序（i,j）的期望时间是（C） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 运筹学第五、六、七、八章答案 1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 1 M M M 1.15 1.25 M M 1.3 1.4 0.87 M 1.45 1.55 1.02 0.98 0 0 0 0 65 65 65 65 bj 50 40 60 80 30 (3)用表上作业法，最优生产方案如下表： 1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 50 15 25 60 10 5 65 30 65 65 65 65 Bi 50 40 60 80 30 上表表明：一月份生产65台，当月交货50台；二月份交货15台,二月份生产35台，当月交货25台，四月份交货10台；三月份生产65 台，当月交货60台，四月份交货5台，4月份生产65台当月交 货。最小费用Z=235万元。 5.8 求解下列最小值的指派问题，其中第（2）题某人要作两项工作，其余3人每人做一项工作．（1）【解】最优解（2）【解】虚拟一个人，其效率取4人中最好的，构造效率表为 1 2 3 4 5 甲 26 38 41 52 27 乙 25 33 44 59 21 丙 20 30 47 56 25 丁 22 31 45 53 20 戊 20 30 41 52 20 最优解：甲～戊完成工作的顺序为3、5、1、2、4，最优值Z=165 最优分配方案：甲完成第3、4两项工作，乙完成第5项工作，丙完成第1项工作，丁完成第2项工作。 5.9 求解下列最大值的指派问题：（1）【解】最优解（2）【解】最优解第5人不安排工作。 表5-58 成绩表(分钟) 游泳自行车长跑登山甲 20 43 33 29 乙 15 33 28 26 丙 18 42 38 29 丁 19 44 32 27 戊 17 34 30 28 5.10 学校 ___游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛，已知五名运动员完成各项目的成绩（分钟）如表5-58所示．如何从中选拔一个接力队，使预期的比赛成绩最好．【解】设xij为第i人参加第j 项目的状态，则数学模型为接力队最优组合乙长跑丙游泳丁登山戊自行车甲淘汰。预期时间为107分钟。 习题六图6－39 6.1如图6－39所示，建立求最小部分树的0－1 整数规划数学模型。 【解】边[i，j]的长度记为cij，设数学模型为：图6－40 6.2 如图6－40所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。 【解】弧(i，j)的长度记为cij，设数学模型为： 6.3如图6－40所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。 【解】设xij为弧（i,j）的流量，数学模型为 6.4求图6－41的最小部分树。图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。 项目四图与网络分析 任务八图与网络的应用练习1、求下图的最小支撑树。 用破圈法求该图的最小支撑树： （1） （2） （3） （4） 2、分别用破圈法和避圈法求下列各个图的最小支撑树。a-1：用破圈法求图a的最小支撑树： a-2：用避圈法求图a的最小支撑树： b-1：用破圈法求图b 的最小支撑树： b-2：用避圈法求图b 的最小支撑树： 3、用标号法求下图中1v 至7v 的最短路。 1）标号过程 （1）初始化；令起点v 1的标号为P ，记做P(1) =0；令其余各点的标号为T ，记做T(i)=∞； （2）计算T标号：刚得到P标号的点为v 1，考虑所有与v 1 相邻的T标号点 v 2、v 3 、v 5 ，修改v 2 、v 3 、v 5 的T标号为： T(2)=min[T(2)，P(1)+d 12 ]=min[+∞，0+4]=4 T(3)=min[T(3)，P(1)+d 13 ]=min[+∞，0+3]=3 T(5)=min[T(5)，P(1)+d 15 ]=min[+∞，0+5]=5 （3）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。 T(2)= 4 T(3) =3 T(4) =+∞ T(5)=5 T(6)= +∞ T(7)= +∞ 令P(3)=3。 （4）计算T标号：刚得到P标号的点为v 3 ，考虑所有与v 3 相邻的T标号点 v 6，修改v 6 的T标号为： T(6)=min[T(6)，P(3)+d 36 ]=min[+∞，3+2]=5 （5）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。 T(2)= 4 T(4) =+∞ T(5)=5 T(6)= 5 T(7)= +∞令P(2)=4。 （6）计算T标号：刚得到P标号的点为v 2 ，考虑所有与v 2 相邻的T标号点 v 5，修改v 5 的T标号为： T(5)=min[T(5)，P(2)+d 25 ]=min[5，4+1]=5 （7）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。 T(4) =+∞ T(5)=5 T(6)= 5 T(7)= +∞ 令P(5)=5。 （8）计算T标号：刚得到P标号的点为v 5 ，考虑所有与v 5 相邻的T标号点 v 4、v 6 ，修改v 4 、v 6 的T标号为： T(4)=min[T(4)，P(5)+d 54 ]=min[+∞，5+3]=8 T(6)=min[T(6)，P(5)+d 56 ]=min[5，5+1]=5 （9）确定P标号：在所有的T标号点中，找出标号值最小的点标上P标号。 T(4)=8 T(6)= 5 T(7)= +∞ 令P(6)=5。 （10）计算T标号：刚得到P标号的点为v 6 ，考虑所有与v 6 相邻的T标号 点v 4、v 7 ，修改v 4 、v 7 的T标号为： 《运筹学》模拟试题及参考答案 一、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。) 1. 图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j ≥0，则问题达到最优。( ) 3. 在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。( ) 7. 原问题与对偶问题是一一对应的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是一致的。( ) 15. 动态规划中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 二、简述题 1. 用图解法说明线性规划问题单纯形法的解题思想。 2. 运输问题是特殊的线性规划问题，但为什么不用单纯形法求解。 3. 建立动态规划模型时，应定义状态变量，请说明状态变量的特点。 三、填空题 1. 图的组成要素；。 2. 求最小树的方法有、。 运筹学图与网络分析补例 1、证明下列序列不可能是某个简单图的次的序列 （1）7，6，5，4，3，2；（2）6，6，5，4，3，2，1；（3）6，5，5，4，3，2，1 证 （1）已知定理 ()2v V d v q ∈=∑，而在此序列中()27v V d v ∈=∑为奇数，所以此序列不可 能作为图的次的序列。或由已知定理：奇点的个数应为偶数，而在此序列里，奇点7、5、3为奇数个，，所以此序列不可能作为图的次的序列。 （2）由已知定理：奇点的个数应为偶数，而在此序列里，奇点5、3、1为奇数个，，所以此序列不可能作为图的次的序列。 （3）对于七个点的图，假定()()()1276,5,1d v d v d v ===，并假设该图G 为简单图，则 1v 存在于其它六个点的连线，2v 与1v 间存在边12e ，而7v 次为1，所以7v 一定不与1v 以外的 其它点相连，因而2v 与1v 、7v 以外的四个点个有一条线相连。 由于假设G(V,E)为简单图，则余下的3456,,,v v v v 中任意点（用i v 表示）以确定存在12,i i e e ，无7i e 。对于()5i d v =的该点来说，必与除7v 以外的每一点都有连线，设()35d v =。 由此推得，456,,v v v 都同时与123,,v v v ，即456,,v v v 的次数至少是3，这与()62d v =相矛盾。 故假设“是某个简单图的次的序列”不成立，即该图可能有环或多重边，该序列不是某个简单图的次的序列。 2、求最小支撑树（生成树） 例求右图的最小树 解 1）用破圈法：取一圈{}1123321,,,,,,v e v e v e v 去掉2e ，取一圈 {} 2658332,,,,,,v e v e v e v 去掉6e ，取一圈{} 2445332,,,,,,v e v e v e v 去 掉 3 e ，取一圈 {}4758354,,,,,,v e v e v e v 去掉8e 得到一棵支撑树() ** ,12126T W T =+++= 2）用避圈法：在{}12345678,,,,,,,e e e e e e e e 中取权值最小的边有15,e e ，从中任取一条1e ；在{}2345678,,,,,,e e e e e e e 中取权 值最小的边5e ；在{}234678,,,,,e e e e e e 中取权值最小的边有37,e e ，从中任取一条3e ；在 {}24678,,,,e e e e e 中取权值最小的边7e ；在{}2468,,,e e e e 中取权值最小的48,e e 中任何一条， v 1 v 3 v 5 v 1 v 3 v 5管理运筹学课后习题
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