八年级上册数学-最短路径问题
第18讲 最短路径问题
【板块一】“垂线段最短”问题
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．
题型一 动点所在直线已知型
【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值．
题型二 动点所在直线隐藏型
【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小．
B C
针对练习1
1．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB
=2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值．
A
B
D
2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ）
A ．ED 的最小值是2
B ．ED 的最小值是1
C ．E
D 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值
O A
B D E C
【板块二】“将军饮马”问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（4，0）
C ．（2，0）
D ．（0，0）
【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数．
B N
M
针对练习2
1．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．
A
B
D
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若点P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．
B
Q
初二数学最短路径练习题及答案
初二数学最短路径练习题及答案导言： 数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。 练习题一： 某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。 解答一： 根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。以下是求解过程： 1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。 村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。 村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。 村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。
村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。 村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。 2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。 a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。 b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。 c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。 d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。 3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。 练习题二： 某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。 解答二： 根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。以下是求解过程： 1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。 地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
课时13-4 最短路径问题 (解析版)-2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)
课时13.4 最短路径问题 1．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】 试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置． 试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求． 2．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【答案】见解析 典例及变式
【分析】 作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线． 【详解】 如图所示AQ＋PQ＋BP为所求． 【点睛】 本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 3．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答． 解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ； （2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP． 最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
考点：作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题． 4．按要求作图 （1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形； （2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】 （1）分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B即可； （2）根据将军饮马模型作对称点连线即可. 【详解】 解：（1）如图所示，分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B； 线段'A'B即为所求作图形.
八年级数学最短路径问题知识点
八年级数学最短路径问题知识点 教学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最瀛路径.算法具体的形式包括： E确定起点的最短路径问题■即已知起始结点，求最短路径的问题. ②确定终点的最短路径问题•与确定包点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题， ③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径. ④全局最短路径问题-求图中所有的最理路径. 【问题原型】“将军饮马北"造桥选址）〃费马点 【涉及知识「俩点之间线段最短”「,垂线段最短1 “三角形三边关系,"轴对称，“平移二 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等， 【解题思路】我对称点实现“折”转"直北近两年出现三折线”转“直”等变式问题考查.
【例题及解析】 例1 如图1,在直角梯形ABCD 中,ZABC=90°, AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6, 点P 是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时，PB的长为（） (A)l (B)2 (C)2.5 (D)3 分析此题首先要确定P点的位看可以延长CB （或DA）的一倍，即CB=BM,再连接MD 交AB于点P（大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段最短 这一性质）.我们可以通过AMPBS/WPA,从而求出PB的长，故选D. 例2如图2, AABC礼AB=AC=13, BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E 为AC边上的动点，则CE+EF的最小值为 分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE1AC交AD于点F,从而确定了E和F点（大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明）. 此时,CF + EF = BE. 用与囱=；殖・比^；班”。,构造 ■ 方程，求出BE =号， 即CE + EF的最小值为号.
人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
管道最短的是（） A． B． C．D． 【答案】D 【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 【练习1.2】 如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大． 【答案】见解析 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成 的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 连AB ，与l 交点即为P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为AB ． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为A B ＇． l A B l P B A l B A l P B' A B
【问题3】 作法 图形 原理 在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ． 两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ． 两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 l 1 l 2 P l 1 l 2 N M P'' P'P l 1l 2 N M P' Q'Q P l 1l 2 P Q
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题 一、知识重点 1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 2、运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 3、利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 二、经典例子解析 【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置． 解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．
【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点 解：如图， 【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。 解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′， 证明AC＋CB＜AC′＋C′B. 如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B 【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小 解：如图， 作点B关于直线l的对称点B′； 连接AB′交直线l于点M. 则点M即为所求的点．
八年级上册数学-最短路径问题
第18讲 最短路径问题 知识导航 1．“垂线段最短”问题； 2．“将军饮马”问题； 3．“造桥选址”问题． 【板块一】“垂线段最短”问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 题型一 动点所在直线已知型 【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值． 题型二 动点所在直线隐藏型 【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小． A B C 针对练习1 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB =2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值． A B D
2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ） A ．ED 的最小值是2 B ．ED 的最小值是1 C ．E D 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值 O A B D E C 【板块二】“将军饮马”问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（4，0） C ．（2，0） D ．（0，0） 【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数． B N M 针对练习2 1．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．
八年级数学最短路径问题
八年级数学最短路径成绩之杨若古兰创作 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P， 使得PA+PB最小. 练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才干使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁建筑一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才干使从A、B到它的距离之和最短． 练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点. 三、一点在两订交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，构成三角形ABC，使三角形周长最小.练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两
边OM，ON上各取一点B，C，构成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数. 练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的先生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到坐位，请你帮忙他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 提高练习 一、题中出现一个动点. 1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三 边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上 必定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值. 二、题中出现两个动点.当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值.例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(8,3),B(4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 C、D的坐标 . 练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且 OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是． 三、题中出现三个动点时. 在求解时应留意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点, (2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短成绩.
八年级数学最短路径问题
八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例：已知:如图，A，B在直线L的两侧,在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 练习、如图，A。B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 二、两点在一条直线同侧 例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短． 练习:如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点.
三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C，组成三角形ABC，使三角形周长最小. 练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM，ON上各取一点B,C,组成三角形ABC周长最小值为OA。求∠MON的度数。 练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO,BO），AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？ 提高训练 一、题中出现一个动点。 1。当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短，或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中,点E为AB上一定点, 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点,求PE+PC最小值。
二、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值. 例：如图,在直角坐标系中有四个点, A（—8,3）,B(—4，5）C(0，n），D(m，0)，当四边形ABCD周长最短时，求C、D的坐标。 练习1如图，∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是． 三、题中出现三个动点时。 在求解时应注意两点：(1）作定点关于动点所在直线的对称点， （2)同时要考虑点点，点线，线线之间的最短问题。 例：如图，在菱形ABCD中,AB=2，∠BAD=60°,E，F,P分别为AB,BC，AC上动点, 求PE+PF最小值
八年级数学几何中的最短路径问题（一）
八年级数学几何中的最短路径问题（一） 一、最短路径问题： 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 二、涉及知识： “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。 通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。 三、解题思路： 找对称点实现化“折” 为“直” 。 四、十二个基本问题（前6个）： 问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。 图1 作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。 图2 原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。 问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。 图3 作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为P 。
图4 原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。 问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。 图5 作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。 图6 原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。 问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。 图7 作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。
图8 原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。 问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。 图9 作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作NM⊥m 于点 M 。 图10 原理：两点之间线段最短，AM+MN+BN 的最小值为 A'B + MN 。 问题6、如图，在直线 L 上求两点 M、N（M 在左），使 MN = a ，并使 AM + MN + NB 的值最小。 图11 作法： 将点 A 向右平移a 个长度单位得 A'，作 A' 关于 L 的对称点 A''，
八年级数学(上)培优专题七：最短路径问题
专题七最短路径问题 1．最短路径问题 （1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点,与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA ＋CB最短,这时点C是直线l与AB的交点． （2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求． 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B。如下: 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中,AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：（1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M。
（3）则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。 2。运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图,小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B 村供水． （1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：（1）到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边,所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2）要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A,B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于错误!AB为半径画弧,两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求． （2）如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
八年级数学几何中的最短路径问题
八年级数学几何中的最短路径问题 一、最短路径问题： 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 二、涉及知识： “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。 三、解题思路： 找对称点实现化“折”为“直”。 四、十二个基本问题（前6个）： 问题1、如图，在直线L 上求一点P , 使PA + PB 值最小。 图1 作法：如图，连接AB ，与L 交点即为P 。 图2 原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为AB 。 问题2（将军饮马）、如图，在直线L 上求一点P , 使PA + PB 值最小。
图3 作法：作点B 关于L 的对称点B' ，连接AB' ，与L 交点即为P 。 图4 原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。 问题3、如图，在直线Ll 、L2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小。 图5 作法：分别作点P 关于两直线的对称点P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为M，N 。 图6 原理：两点之间线段最短, PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长。
问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。 图7 作法：分别作点Q 、P 关于直线Ll , L2 的对称点Q＇和P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N 。 图8 原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。 问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥n ，在m 、n ，上分别求点M、N，使MN ⊥m，且AM+MN+BN 的值最小。 图9 作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A＇，连A＇B，交n 于点N，过点N 作NM⊥m 于点M 。
人教版八年级上数学知识点13.4 课堂学习 最短路径问题
1、 如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） A．50 B．50 C．50﹣50 D．50+50 D 过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可 求出周长． 解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取 NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点， 过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点． MK=40+10=50， 作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点． ∵LN=AS==40． ∴KN=60+40=100． ∴MN==50．
∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50． ∴四边形PABQ的周长=50+50． 故选D． 2、 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（） A．（﹣2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0） C
作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P 到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B 的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可． 解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP， 则此时AP+PB最小， 即此时点P到点A和点B的距离之和最小， ∵A（﹣2，4）， ∴C（﹣2，﹣4）， 设直线CB的解析式是y=kx+b， 把C、B的坐标代入得：， 解得：k=1，b=﹣2， ∴y=x﹣2， 把y=0代入得：0=x﹣2， x=2， 即P的坐标是（2，0）， 故选C． 3、 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数��（）
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(最短路径问题)解析版
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 最短路径问题 考试时间：120分钟试卷满分：100分 一．选择题（共10小题满分20分每小题2分） 1．（2分）（2021八上·花都期末）如图点E在等边△ABC的边BC上BE＝4 射线CD⊥BC 垂足为点C 点P是射线CD上一动点点F是线段AB上一动点当EP+FP的值最小时BF＝5 则AB的长为（） A．7B．8C．9D．10 【答案】A 【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE ∴PE=PE' ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F 此时EP+FP的值最小 ∵△ABC是正三角形 ∴∠B=60° ∵E'F⊥AB ∴∠FE'B=30°
∴BE'=2BF ∵BF=5 BE=4 ∴E'B=10 ∵CE=CE' ∴10=2CE+BE=2CE+4 ∴CE=3 ∴BC=7 故答案为：A． 【思路引导】作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE 此时EP+FP 的值最小由题意得出∠FE'B=30° 则BE'=2BF 再由BF=5 BE=4 得出10=2CE+BE=2CE+4 解出CE=3 即可得出BC=7。 2．（2分）（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【思路引导】根据两点间直线距离最短使FEPP′为平行四边形即可即PP′垂直河岸且等于河宽接连P′Q即可． 【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽 连接QP′ 与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E 则EF∥PP′且EF＝PP′ 于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE 根据“两点之间线段最短” QP′最短即PE+FQ最短．
八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
最短路径问题（将军饮马）专项训练 一、单选题 1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 2．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ） A ．7 B ．14 C ．10 D ．不确定 3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．3 4．如图，在△ABC 中，∠C=90° ，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（） A．145°B．152°C．158°D．160° 6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度. A．90 B．95 C．100 D．105 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（） A．15 B．17 C．18 D．20 8．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（） A．1 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 8 3 9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）