_人教版八年级上册第19讲 最短路径问题

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

第19讲 最短路径问题

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1、“垂线段最短”问题；

2、“将军饮马”问题;

3、“造桥选址”问题.

【板块一】“垂线段最短”问题

方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短. 题型一 动点所在直线已知型

【例1】如图，在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝90°，AC ＝4，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上任意一点（不与A ，C 两点重合），当点E 在线段AC 上运动时，则DE ＋1

2

CE 的最小值为 .

题型二 动点所在直线隐藏型

【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 是对称轴AD 的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小值.

针对练习1

1.如图，△ABC和△ACD都是等边三角形，AB＝2，△ABC的面积为3，若将△ACD绕点A旋转得到△A'C'D,A'C，A'D分别与BC，CD交于点E，F，求△CEF的周长的最小值.

2.如图，∠AOC＝∠BOC＝10°，OC＝20，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使CM＋MN的值最小，则CM＋MN的最小值是（）

A.20

B.16

C.12

D.10

【板块二】“将军饮马”问题

方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值.

【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2,4），B（4,2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）

A.（﹣2,0）

B.（4,0）

C.（2,0）

D.（0,0）

【例2】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝120°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数.

针对练习2

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC＋PQ的最小值.

3.如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，AD＝4，P为AB上一个动点，当P运动时，PC＋PD的最小值为.

【板块三】造桥选址问题

方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值.

【例1】已知A（1,2），B（7,4），M，N是x轴上两动点（M在N左边），MN＝3，AM＋MN＋NB最小，直接写出最小值时点M的坐标为.

针对练习3

1.如图，在四边形OACD中，OA＝3，OD＝2，AC＝4，若E，F为边OA上两动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，在图中画出点E，F的位置.

一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

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