弯曲内力
第四章弯曲内力
授课学时：10学时
主要内容：弯曲内力；Q 、M 与q 之间的微分关系；Q,M 方向的确定；突变位置,方向,大小数值。
$5.1概述
1．平面弯曲
受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。
轴线
2．支承简化
3．静定梁的分类
4．载荷的简化
集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 解：
（1）分析受力
受集中力P ，分布力q ，力偶m ，固定端简化为A m 、A X 、A Y 。 （2）列平衡方程
可动铰
固定铰支固定端
剪支梁 悬臂梁
外伸梁
04
3
.2,002
,00
,0=++--==--===∑∑∑A A
A
A m m l l q Pl m ql P Y Y X X
解得
28
7,23,0ql m ql Y X A A A ==
=
$5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩
1．剪力和弯矩
根据梁的平衡条件，列以下方程
0)(=∑F M
A
，0)(=∑F M B
得出静定梁在载荷作用下的支反力A R ，
B R ；并将其作为已知量。
作载面m m -，考虑左侧平衡，列平衡方程。
()()
a x P x R
M x R a x P M x M P
R Q O Q P R Y A
A
o
A
A
--==--+=-==--=∑∑11
1
1
,0,0)(,,0
从上式可以看出，截面上的剪力Q 在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线（y 轴）上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。
2．剪力和弯矩方向的确定
取梁内一小段dx ，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力Q 规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩M 规定为正号；反之，为负号。
B
A
X
A
B
例 已知m N q /105.126⨯=，求跨度截面中点截面E 上的弯矩和截面C 上的剪力。
解：
（1）求支座反力
N R R B A 6105⨯==
（2）列平衡方程，求剪力和弯矩
N R Q A 6105⨯==
m N q R M A .1015.32
4
.04.083.06⨯=⨯
⨯-⨯= 3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数。
()()
x M M x Q Q ==
2）剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。
例 画出梁的剪力图和弯矩图 解：
（1）列平衡方程，求支反力
,0=∑B
M 0=-l R Pb A ,0=∑A
M
0=-Pa l R B
Q>0
解得
l Pb R A =
l
Pa R B = （2）求剪力和弯矩
()l Pb
x Q =
()a x ><0 ()x l
Pb
x M = ()a x ≤≤0，这是在AC
段内的剪力方程弯矩方程 ()l Pa
P l Pb x Q -=-=
()l x a << ()()()x l l
Pb
a x P x l P
b x M -=
--= ()l x a ≤≤，这是在BC 段内的剪力方程弯矩方程
（3）画剪力图弯矩图
$5.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1．弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系（右手坐标系）
用坐标为x 和dx x +的两相邻截面从梁中截取出长为dx 的微段，其中c 为dx x +的截面的形心。在坐标为x 的截面上，剪力和弯矩分别为)(x Q 和)(x M ；在坐标为dx x +的截面上，剪力和弯矩则分别为)()(x dQ x Q +，)()(x dM x M +。
列出dx 微段的平衡方程
∑=0Y ， ()()()[]()0=++-dx x q x dQ x Q x Q 0
=∑c
M
，
()()()[]()()02.
=--++-dx
dx x q dx x Q x dM x M x M 省略去上面第二式中的二阶微量2)(dx
dx x q ⋅，整理后可得
)()
(x q dx x dQ =
()()x Q dx
x dM = 上式中就是载荷集度)(x q ，和剪力)(x Q 及弯矩)(x M 间的微分关系。
可以得出剪力图
Q
M
M （x
q(x)
上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
()()()x q dx x dQ dx x M d ==2
2
2．Q 、M 图与外力间的关系
1）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 2）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 3）在梁的某一截面。
()()0==x Q dx
x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 4）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。
例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接作剪力图和弯矩图。 解：
(1)求支反力
kN R A 5.3=，kN R B 5.14=。
Q
x
M
(2)分析剪力和弯矩
A 点右侧：kN Q 5.3=，0=M 。 C 点左：5.3=Q ，m kN M .7=。
C 点右：kN Q 5.3=，m kN M .4=。 B 点左：kN Q 5.8=，m kN M .6=
B 点右：kN Q 6=，m kN M
.6=。
D 点左：0=Q ，0=M
弯曲内力习题与答案
弯曲力 1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。钢绳绑扎处离梁端部的距 离为x。梁由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为： (A) /2 l；(B) /6 l； (C…) 1)/2 l。 l；(D) 1)/2 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D….) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B…) 剪力图相同，弯矩图不同； (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B…) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e= ；为使全梁不出现正弯矩，则M e≥。 6. 图示梁，已知F、l、a。使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P= 。 7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力为，弯矩图
为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值，m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d () ;d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则=e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e 2 M ql -；42 ql ；22 ql 6. ??? ??-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /2 8. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/2 11-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：
材料力学教案 第5章 弯曲内力
第5章弯曲内力 教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。 教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。 教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：平面弯曲等基本概念；截面法求梁弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪 力图和弯矩图。 教学学时：6学时。 教学提纲： 5.1 弯曲的概念和实例 5.1.1简单回顾杆件的变形特征 杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及它们的组合。 1、轴向拉伸或压缩 受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向 相反，且作用线与杆件轴线重合。 变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。 2、剪切 受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。
3、扭转 受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4、弯曲 受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在垂直于杆件轴线方向上作用横向力。 变形：杆件轴线由直线变为曲线。 组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。 5.1.2 弯曲的概念 1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例 ()()()()????? ? ?轧板机的轧辊镗刀刀杆 火车轮轴桥式起重机大梁 4321 3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） ②载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内： 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。
测试题-弯曲内力(答案)
班级：学号：姓名： 《工程力学》弯曲内力测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、根据剪力图和弯矩图，可以初步判断梁的危险截面位置。（√） 2、梁的内力图通常与横截面面积有关。（×） 3、将梁上的集中力平移，不会改变梁的内力分布。（×） 4、梁端铰支座处无集中力偶作用，该端铰支座处的弯矩必为零。（√） 5、分布载荷q（x）向上为负，向下为正。（×） 6、简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。（√） 7、剪力图上斜直线部分一定有分布载荷作用。（√） 8、在集中力作用的截面处，剪力图有突变，弯矩图连续但不光滑。（√） 9、梁在集中力偶作用截面处，弯矩图有突变，剪力图无变化。（√） 10、在梁的某一段上，若无载荷q作用，则该段梁上的剪力为常数。（√） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、如图所示，火车轮轴产生的是（D ）。 A．拉伸或压缩变形 B．剪切变形 C．扭转变形 D．弯曲变形 2、梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（C ）。 A. 剪力图有突变，弯矩图无变化 B. 剪力图有突变，弯矩图有转折 C. 弯矩图有突变，剪力图无变化 D. 弯矩图有突变，剪力图有转折 3、在下图四种情况中，截面上弯矩为正，剪力为负的是（B ）。 4、梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内，弯矩图是一条（A ）。 A. 上凸曲线 B. 下凸曲线 C. 带有拐点的曲线； D. 斜直线 5、梁受力如图，在B截面处（D ） A. 剪力图有突变，弯矩图连续光滑 B. 剪力图有尖角，弯矩图连续光滑 C. 剪力图、弯矩图都有尖角 D. 剪力图有突变，弯矩图有尖角 6、图示梁，当力偶M e的位置改变时，有（B ） A. 剪力图、弯矩图都改变 B. 剪力图不变，只弯矩图改变 C. 弯矩图不变，只剪力图改变 D. 剪力图、弯矩图都不变 F q C B A F M e a q a a
弯曲变形的概念
9—1 弯曲变形的概念 一、弯曲与平面弯曲 1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。 2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称3 m m 由∑x=0 ∑y=0；—Q m+R A=0 Q ∑y=0 ∑m=0 0 ∑m=0；—R A+M m=0， Q m——剪力 M m——弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q 二、Q，M正负号的规定
四、讨论： 1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言 2、Q x=∑左·y 或 Q x =∑右·y， M x=∑左·M 或M x=∑右·M 3、可用“简便方法”计算截面内力 六、求剪力和弯矩的基本规律 （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析 （2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力
梁上作用任意荷载q （x ）：（1）取出梁中一微段d x （d x 上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q （x ），M （x ）。利用 ∑y =0。则： Q （x ）+q （x ）d x —[Q （x ）+d Q （x ）]=0 d Q （x ）=q （x ）d x 即 d Q （x ）/d x =q （x ） 剪力对x 的一阶导数等于荷载 ∑0M =0 M （x ）—[M （x ）+d M （x ）]+Q （x ）d x +q （x ）d x d x /2=0 即； d M （x ）/d x =Q （x ） 弯矩对x 的一次导等于剪力 （1） q （x ）=0 （无线荷载） d Q （x ）/d x =q （x ）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水 平线。 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x 的一次函数，所以弯矩图是一 条斜直线 （2） q （x ）=常数（有线载） d Q （x ）/d x =q （x ）=常数 说明剪力方程是x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 即 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力又是x 的一次函数，说明原弯矩方程是x 的二次函数。所以弯矩 图是二次抛物线。 M 极植 在Q （x ）=0处。由于 d M （x ）/d x =Q （x ）=0处有极植 ) x d l )=（q 0/l ）?l x xd 0 =q 0l 2/l2=q 0l/2 （三角形面积）
材料力学-整理笔记
材料力学 第1章绪论 1.1材料力学的任务 构件应满足以下基本要求：强度，刚度，稳定性要求 1.2材料力学的基本假设 连续性，均匀性，各向同性假设 1.3杆件的基本变形形式 拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲 1.4内力一截面法 1.5应力 平均应力-p： 应力p： 应力，切应力，正应力： 1.6应变 1.棱边长度的改变（原长为△x，变形后成为△x+△u） 该点处沿x方向的线应变： 2.棱边间夹角的改变 切应变：y。切应变的单位为rad 第2章拉伸压缩与剪切 2.1拉压杆的内力及应力 2.1.1轴力、轴力图 Fn=F Fn即为横截面n—n上的内力。由于F的作用线与杆轴线重合，故称为轴力。规定拉伸的轴力为正，压缩为负。 2.1.2轴力图
2.1.3拉压杆横截面上的应力 轴向载荷作用下杆件是否破坏，不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积有关。 正应力：。拉应力为正，压应力为负。 2.1.4斜截面上的应力 斜面上的全应力Pa： 将全应力Pa分解为沿斜面法向的正应力和沿切向的切应力 思考：a=0/45/90°时，正应力，切应力大小 2.2拉压杆的变形 2.2.1 轴向与横向变形 轴向线应变为：。以伸长为正，缩短为负。 横向线应变为：。正负号与轴向线应变相反。 材料的泊松比u（量纲一）： 2.2.2 拉压胡克定律 当应力o未超过某一极限值时，拉压杆的轴向变形与外力F及杆的原长l 成正比，与横截面面积Ａ成反比。
引进比例常数E，则有胡克定律公式： E为材料的弹性模量，其量纲为ML^-1T^-2。EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。 由Fn/A=正应力，△l/l=线应力，故。（在弹性范围内，正应力与线应变成正比。）2.3金属拉压时的力学性能 2.3.1低碳钢拉伸时的力学性质 1.在拉伸过程中，标距l的伸长量与试件所受载荷F之间的关系曲线F—△l 称为拉伸曲线。 工程应力：将纵坐标值F除以原始的横截面面积A，即为正应力=F/A 工程应变：将横坐标值除以原始的标距长度l，即为线应变=△l /l 将拉伸曲线F—△l变为应力应变曲线（消除试件尺寸的影响） （1）弹性阶段Ob：弹性阶段的应力最高限称为材料的弹性极限（用符 号6e表示）。//线弹性阶段（Oa段是直线，即符合胡克定 律），线弹性阶段的应力最高限称为材料的比例极限，用6p 表示。//弹性模量E就是直线Oa的斜率，其反映了材料抵 抗弹性变形的能力。 （2）屈服阶段cd：应力几乎不变，而应变急剧增加，称为屈服或流动现象。屈 服阶段的应力最低值称为材料的屈服极限，用符号6s表示。（3）强化阶段de：欲使试件继续变形，必须增加拉力，这种现象称为强化。强 化阶段的应力最高限称为材料的强度极限，用符号6b表示。（4）局部变形阶段ef：当应力达到强度极限后，在试件的某一局部范围内，横 向尺寸显著缩小，出现缩颈现象。ef段称为局部变形 阶段或缩颈阶段 2.卸载与再加载 在强化阶段某一点g逐渐卸载，σ,ε沿着与Oa几乎平行的直线gh回到点，如果卸载后再加载，则应力与应变基本上沿着卸载时的直线hg上升，
弯曲内力中,弯矩的一阶导数
弯曲内力中,弯矩的一阶导数 什么是弯曲内力？弯曲内力是一种在物体中产生弯曲作用时所 产生的内力，而弯矩也是一种弯曲内力。曲内力对物体来说具有很重要的作用，它能够有效地分析和研究物体的弯曲变形及其弯曲极限等问题，因此在工程设计和分析工作中，我们需要了解弯曲内力中的弯矩的一阶导数才能给我们带来有用的信息。 那么，弯曲内力中的弯矩的一阶导数是什么呢？弯矩的一阶导数就是由弯曲内力对物体引起的弯矩的折线方程。程中的一阶导数可以用来表示物体因受到弯曲内力的瞬时作用而引起的变形的变化程度，这里涉及到两个变量，一是物体的质量，另一个是受力的方向。 在一般情况下，当物体受到弯曲内力时，它弯曲时会形成一个曲线，这个曲线就是弯矩的一阶导数，我们可以利用它来确定物体当前的变形状况和物体弯曲极限大小。 弯矩的一阶导数的求解方法有多种，其中最常用的是积分法。分法的求解公式为：弯矩M=m*Δ(s/s0)，其中m表示受力的方向，s表示物体受力时角度的变化，s0表示物体受力时初始角度，Δ表示对偶变量。 此外，还可以利用数值计算的方法求解弯矩的一阶导数，数值计算的步骤一般需要利用计算机软件模型进行仿真，根据仿真得出的变形参数和折算参数，再求得实际的弯矩一阶导数。 在应用弯矩的一阶导数的时候，要首先确定受力的方向，这是因为在弯曲内力的作用下，物体只有在受力的方向上才会有变形，而不
会在其它方向上变形，所以受力的方向决定了构件的变形情况。 此外，要应用弯矩的一阶导数，还要考虑到物体的质量，质量越大，受力的作用就越大，弯矩的一阶导数的值就越大，反之如果质量较小，受力的作用就较小，弯矩的一阶导数的值就较小。 最后，要将求得的弯矩一阶导数与设计要求进行比较，然后再根据比较结果决定是否需要进行调整，以使构件在受力的情况下能够达到所要求的强度和变形尺寸。 由此可见，了解弯矩的一阶导数对于工程设计和分析工作来说至关重要，它们可以帮助我们确定物体的变形情况，并对结构的强度和变形尺寸有较好的控制。因此，在实际应用中，我们要充分重视弯矩的一阶导数的求解，以期获得较准确的结果。
弯曲内力中,弯矩的一阶导数
弯曲内力中,弯矩的一阶导数 弯曲内力中，弯矩的一阶导数是一个很重要的概念，也被称为弯曲应力。它描述的是一个物体在受外力作用时怎样改变形状，以及在受外力作用时可能产生的形变。弯曲内力对于工程学和结构力学学科的研究至关重要，因为它提供了关于物体在拉伸和压缩的反应，以及在弯曲的情况下如何受到外力影响的理解。 弯矩变化是一阶导数，它描述了物体在外力影响下发生形变的速度。它可以用来描述物体受力后发生形变的方式，以及物体在被弯曲时如何改变结构。这一概念非常重要，因为它能够帮助工程师和科学家们更好地理解建筑物、桥梁或者任何其他结构在受外力作用时如何变形。 弯曲内力的一阶导数是由拉力和线性截面来解释的，其中拉力描述的是物体的变形方式，而线性截面则描述的是物体的变形程度。拉力越大，则物体变形越快，变形程度也就越大。换句话说，拉力越大，则拉力受外力影响时，物体受到的变形就越大。而线性截面描述的是一个物体变形的最大程度，即在拉力和线性截面的共同作用下，物体的变形程度为多少。 同时，弯曲内力的一阶导数还可以用来计算特定结构的抗拉力和抗压力能力。可以通过测量一个物体在受外力作用后的变形量，然后结合线性截面的描述，来计算它的抗拉力和抗压力能力。通过这种方式，可以更好地预测某种受力状态下，一个特定结构可能会出现的问题，从而避免建筑和工程物体发生破坏的情况。
最后，弯曲内力中，弯矩的一阶导数还可以用来对不同材料的抗拉力性能进行对比。由于材料的特性不同，其受拉力的变形程度也有所不同，因此，可以比较不同材料的弯矩一阶导数，来评估它们的抗拉力性能。也就是说，可以通过研究不同材料在相同长度下的抗拉力变形程度，来确定哪种材料具有更强的抗拉力性能。 总之，弯曲内力中，弯矩的一阶导数是一个非常重要的概念，它可以有助于我们更好地理解物体在受拉力和压缩的情况下如何变形，并可以在工程学和结构力学的研究中发挥重要作用。此外，弯矩的一阶导数还可以用来计算特定结构的抗拉力和抗压力能力。通过对不同材料的弯矩一阶导数进行比较，也可以更好地评估哪个材料具有更强的抗拉力性能。
材料力学基本概念和公式
材料力学基本概念和公式 第一章绪论 第一节材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节材料力学的基本假设 1.连续性假设:材料无缝填充整个组件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节内力 1.内力:受力后变形引起的构件内部零件之间的相互作用力。 2.截面法:用假想截面将构件分成两部分以显示和确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
第五节变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4.小变形条件:材料力学研究的问题仅限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。在构件的受力分析中，变形可以忽略。 5、线应变： 。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。 6、切应变： 。切应变为无量纲量，切应变单位为rad。 第六节杆件变形的基本形式 1、材料力学的研究对象：等截面直杆。 2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲 第二章拉伸、压缩与剪切 第一节轴向拉伸（压缩）的特点 1.机械特性:合力的作用线与杆的轴线重合。 2.变形特性:沿杆轴的伸长和缩短。 第六节拉伸、压缩超静定问题
弯曲内力习题及答案
弯曲内力 1. 长l 的梁用绳向上吊起，如图所示。 离为x 。梁内由自重引起的最大弯矩|M |max 为最小时的x (A) /2l ； (B) /6l ； (C …) 1)/2 l ； (D) 1)/2l 。 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的 (A) (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D ….) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 ) (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B …) (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e 的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B …) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C 截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e = ；为使全梁不出现正弯矩，则M e ≥ 。 !
6. 图示梁，已知F 、l 、a 。使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P = 。 7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B 端支反力为 ，弯矩图为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值，m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d () ;d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则 =e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B [ 5. 28e 2M ql -；42ql ；22ql 6. ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /2 8. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/2 11-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解： 2 2 F 2 2 qa
材料力学最新题库
绪论及基本概念 是非题 （1）材料力学是研究构件承载能力的一门学科。（） （2）可变形固体的变形必须满足几何相容条件，即变形后的固体既不可以引起“空隙”，也不产生“挤入”现象。（） （3）构件在载荷作用下发生的变形，包括构件尺寸的改变和形状的改变。（） （4）应力是内力分布集度。（） （5）材料力学主要研究构件弹性范围内的小变形问题。（） （6）若物体产生位移，则必定同时产生变形。（） （7）各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的变形。（） （8）均匀性假设认为，材料内部各点的力学性质是相同的。（） （9）根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。（）（10）因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。（） 填空题 （1）根据材料的主要性质对材料作如下三个基本假设：、、。（2）工程中的是指构件抵抗破坏的能力；是指构件抵抗变形的能力。 （4）图示构件中，杆1发生变形，杆2发生变形， 杆3发生变形。 （5）解除外力后，能完全消失的变形称为，不能消失而残余的的那部分变形称为。 选择题 （1）材料力学中对构件的受力和变形等问题可用连续函数来描述；通过试件所测得的材料的力学性能，可用于构件内部的任何部位。这是因为对可变形固体采用了（）假设。 （A）连续均匀性；（B）各向同性；（C）小变形；（D）平面。 （2）研究构件或其一部分的平衡问题时，采用构件变形前的原始尺寸进行计算，这是因为采用了（）假设。 （A）平面；（B）连续均匀性；（C）小变形；（D）各向同性。 （3）材料力学中的内力是指（） （A）构件内部的力； （B）构件内部各质点间固有的相互作用力； （C）构件内部一部分与另一部分之间的相互作用力； （D）因外力作用，而引起构件内部一部分对另一部分作用力的改变量 （4）以下结论中正确的是（） （A）杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和；（B）应力是内力的集度； （C）杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值；（D）内力必大于应力。 （5）下列结论中是正确的是（）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念 一、实例 工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。 二、弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。 五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。 六、梁、荷载及支座的简化 （一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。 （二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。 （三）、荷载的简化： 1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。 2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。 （四）、支座的简化： 1、固定端——有三个约束反力。 2、固定铰支座——有二个约束反力。 3、可动铰支座——有一个约束反力。 （五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。 §5—2 弯曲内力与内力图 一、内力的确定（截面法）： [举例]已知：如图，F ，a ，l 。 求：距A 端x 处截面上内力。 解：①求外力 l a l F Y l Fa F m F X AY BY A AX )(F , 0 , 00 , 0-= ∴== ∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力
材料力学复习提纲
材料力学复习提纲（二） 弯曲变形的基本理论： 一、弯曲内力 1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模 2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图。 符号规定 3、剪力方程、弯矩方程 1、首先求出支反力，并按实际方向标注结构图中。 2、根据受力情况分成若干段。 3、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程，截面左侧向上的外力为正，向下的外力为负，右侧反之。 4、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程，截面左侧顺时针的力偶为正，逆时针的力偶为负，右侧反之。 对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程 4、作剪力图和弯矩图 1、根据剪力方程和弯矩方程作图。剪力正值在坐标轴的上侧，弯矩正值在坐标轴的下侧，要逐段画出。 2、利用微积分关系画图。 二、弯曲应力 1、正应力及其分布规律 ()() max max max 3 2 4 3 41 1-12 6 64 32 z z Z z z z z z z I M E M M M y y y W EI I I W y bh bh d d I W I W σσσρ ρ ππα== = = === = = = ⨯抗弯截面模量矩形 圆形 空心
2、剪应力及其分布规律 一般公式 z z QS EI τ* = 3、强度有条件 正应力强度条件 [][][] max z z z M M M W W W σσσσ= ≤≤≥ 剪应力强度条件 [] max max max z maz z QS Q I EI E S τττ** ≤= = 工字型 4、提高强度和刚度的措施 1、改变载荷作用方式，降低追大弯矩。 2、选择合理截面，尽量提高 z W A 的比值。 3、减少中性轴附近的材料。 4、采用变截面梁或等强度两。 三、弯曲变形 1、挠曲线近似微分方程： ()EIy M x ''=- 掌握边界条件和连续条件的确定法 2、叠加法计算梁的变形 掌握六种常用挠度和转角的数据 3、梁的刚度条件 ； []max y f l ≤ max 1.5 Q A τ= max 43Q A τ= max 2 Q A =max max z z QS EI *=
材料力学练习2
. 填空弯曲内力图 1 、在静定多跨梁中，如果中间铰点处没有外力偶，那么不变， 恒等于零； 答案剪力、弯矩 答疑中间铰只传递剪力，不传递弯矩。当中间铰处没有外力 偶作用时，中间铰处的弯矩恒等于零，剪力图没有变化。 2、简支梁的受力如图，为使梁的中点的截面处的弯矩为零，那么外 力偶m＝。 答案m＝qL2/4 答疑对A点取矩，得到B处的约束反力为N B=M/L+ql/2中间截 面处的弯矩为：M（L/2）＝N B×L/2-M-qL/2×L/4整理得到：M（L/2） ＝(M/L+qL/2)×L/2-M-ql2/8=-M/2 + qL2/8考虑到已知条件有M （L/2）=0 得到外力偶的大小为：M=qL2/4 3、图示中的四个梁的跨度、材料、截面、载荷均相同，比较各梁的 最大弯矩值（绝对值），其中最大的在梁上。 答案最大弯矩发生在C 梁上 答疑a图中的最大弯矩为qL2/8；b图中的最大弯矩为qL2/40；c 图中的最大弯矩为qL2/2；d图中的梁为一次静不定，与图c相比， 梁的弯曲变形较小，中性层处的曲率较小，根据1/ρ=M(x)/EI可知， d图中的最大弯矩偏小 选择梁的合理受力 1、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做法哪一 个好？ A：在A、B处同时堆放适量砖；B：在A、B端同时堆放砖块， 越多越好； C：只在A或只在B处堆放适量砖；D：什么也不放。 答案正确选择 A 答疑木板的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对 值相等。只有在A、B两处同时堆放适量砖的情况下，C、D两截面 处产生最大负弯矩，且要求最大负弯矩的数值相等。但是堆放的砖不 是越多越好，应该保证在C、D截面处的最大负弯矩与木板的中间截 面处产生的最大正弯矩的绝对值相等，此时木板的受力最合理。 填空梁的合理受力 1、图示木板，受力为P、梁的总长为L、外伸部分长为ａ，使梁的最 大弯矩为最小时，梁端的重物Q＝。 答案Q= P(L-2a)/8a 答疑当梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等时，梁的最大 弯矩为最小。此时有∣-Qa∣=∣(P/2+Q)（L/2-a）-QL/2∣整理得 到：∣-Qa∣=∣PL/4-Pa/2-Qa∣求解得到： Q=PL/8a-P/4=P(L-2a)/8a。 2、外伸梁的总跨度为L，承受一个可移动的载荷F，若F与L均为 已知的，为减小梁的最大弯矩值，外伸长度a= 。 答案a=L/5 答疑梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值 相等。当载荷移动到最左端时，在左支座处产生最大负弯矩，数值为 －Fa；当载荷移动到两支座的中点时，在梁的中间截面处产生最大正 弯矩，数值为F/2×(L-a)/2。梁的受力合理要求∣－Fa∣＝∣F/2× (L-a)/2∣求解得到：a=L/5。 3、双杠的总长为L，外伸段的合理长度a= 。 答案a=L/6 答疑双杠在受力时，可能会出现三种受力状况：最左端受力、最 右端受力、中间截面受力。设双杠受力时载荷的大小为P，当载荷P 作用在最左端、最右端时，双杠产生最大的负弯矩，数值的大小为-Pa； 当载荷作用在梁的中间截面时，在中间截面产生最大的正弯矩，数值 的大小为P/2×(L-2a)/2。根据梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最
工程力学答案第章 平面弯曲
第一部分 弯曲内力 4-3c 求指定截面的剪力和弯矩 (a ) ) 如图（b ）:1101113300223()0002 Q y Q O ql ql F F F ql M F M M ∆→⎧-=⎧⎧=⎪=⎪⎪⎪→−−−→⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=-⋅∆=⎩⎪⎩∑∑ 如图（c ）2220 2 22 33002233()0()0224 Q Q y O ql ql F F F ql l ql M F M M ∆→⎧⎧=-=⎪⎧=⎪⎪⎪⎪→−−−→⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩-⋅-∆==⎪⎪⎩⎩∑∑ 如图（d ）: 33302 33 3002233()0()0224Q Q y O ql ql F ql F F ql l ql M F M ql M ∆→⎧⎧=--=⎪⎧=⎪⎪⎪⎪→−−−→⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩-⋅+∆+∆==⎪⎪⎩⎩∑∑ 如图（e ）: 34402244 0022()002 Q y Q O ql ql F F F ql M F M ql M ql ∆→⎧⎧-=⎧=⎪=⎪⎪⎪→−−−→⎨ ⎨⎨=⎪⎪⎪⎩--⋅∆+==⎩⎪⎩∑∑ 解：分别先后用1-1、2-2、3-3、4-4截面 将杆切开，取左或右边部分研究，整个构件是平衡的，则脱离体也应该平衡。受力如图(b)、 (c)、(d) 、(e)所示。内力一定要标成正方向，剪力绕脱离体内任一点有顺时转动趋势；而标弯矩时，可视杆内任点为固定，使下侧纤维受拉的弯矩为正。
解：分别先后用1-1、2-2、3-3截面将杆切开，取右边 部分研究，整个构件是平衡的，则脱离体也应该平衡。受力 如图(b)、(c)、(d)所示。内力一定要标成正方向，剪力绕脱 离体内任一点有顺时转动趋势；而标弯矩时，可视杆内任点 为固定，使下侧纤维受拉的弯矩为正。 如图（b）: 如图（c）: 如图（d）: 补充1：求指定截面的剪力和弯矩。 补充2：求指定截面的剪力和弯矩。 (b) (c) b ) M (c) 方法一方法二 补充2 (b) M 1 P 补充 1 11 11 00 00 ()0 y Q Q O F F qa F qa M qa M M F ⎧=-== ⎧⎧ ⎪ →→ ⎨⎨⎨ -⋅∆== =⎩⎩ ⎪⎩ ∑ ∑ 2(e) M(d) (c) 3 3 3 2 33 00 ()0 y Q Q O F F qa F qa M qa a M F M qa ⎧== -=⎧ ⎧ ⎪⎪⎪ →→ ⎨⎨⎨ +⋅= ==- ⎪⎪ ⎩ ⎪⎩ ⎩ ∑ ∑ 2 22 22 00 00 ()0 y Q Q O F F qa F qa M M qa a M M F ⎧=-== ⎧⎧ ⎪ →→ ⎨⎨⎨ --⋅== =⎩⎩ ⎪⎩ ∑ ∑