弯曲内力剪力和弯矩
青岛滨海学院教师教案
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土木工程力学教案——梁的弯曲内力
第十一讲内容 一 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。 (一)、剪力方程和弯矩方程 从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化的。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x 来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x 的函数，即 )(x Q Q =， )(x M M = 以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。 (二)、剪力图和弯矩图 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x 表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x 轴上方，负剪力画在x 轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x 轴下方， 图。 【解】（1）求支座反力 因对称关系，可得 ql R R 2 1 B A = = (↑)
(2)列剪力方程和弯矩方程 取距A 点为x 处的任意截面，将梁假想截开，考虑左段平衡，可得 (a ) (b ) (c ) 图9-13 例9-4图 )0( 21 )(A l x qx ql qx R x Q <<-= -= (1) )0( 2 1 2121)(22A l x qx qlx qx x R x M ≤≤-=-= (2) (3)画剪力图和弯矩图 由式(1)可见，)(x Q 是x 的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是 一条斜直线。 当 0=x 时 2A ql Q = l x = 时 2 B ql Q -= 根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图9-13b 所示。 由式(2)知，Ｍ(x )是x 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值,才可描绘出曲线的大致形状。 当 0=x 时， 0A =M 2 l x = 时， 82C ql M = l x = 时， 0B =M
材料力学教案 第5章 弯曲内力
第5章弯曲内力 教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。 教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。 教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：平面弯曲等基本概念；截面法求梁弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪 力图和弯矩图。 教学学时：6学时。 教学提纲： 5.1 弯曲的概念和实例 5.1.1简单回顾杆件的变形特征 杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及它们的组合。 1、轴向拉伸或压缩 受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向 相反，且作用线与杆件轴线重合。 变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。 2、剪切 受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。
3、扭转 受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4、弯曲 受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在垂直于杆件轴线方向上作用横向力。 变形：杆件轴线由直线变为曲线。 组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。 5.1.2 弯曲的概念 1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例 ()()()()????? ? ?轧板机的轧辊镗刀刀杆 火车轮轴桥式起重机大梁 4321 3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） ②载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内： 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。
第5章 材料力学弯曲内力
第5章 弯 曲 内 力 5.1 平面弯曲的概念 弯曲（bending ）是杆件的基本变形之一。如果杆件上作用有垂直于轴线的外力(通常称为横向力)或作用有位于轴线所在平面内的力偶，使变形前原为直线的轴线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主要变形的杆件，通常称为梁（beam ）。 在工程实际中，杆件在外载荷作用下发生弯曲变形的事例很多。例如，火车轮轴(图5—la)和桥式吊车的大梁(图5—lb)在垂直于轴线的载荷F 和G 等作用下均发生弯曲变形。 绝大多数受弯杆件的横截面都具有对称轴，如图5—2a 中的点划线。因而，杆件具有对称面(图5—2b 中的阴影面)，杆的轴线包含在对称面内。当所有外力(或者外力 的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲（plane bending ）。图5—1所示的火车轮轴、吊车大梁都是平面弯曲的实例。 5.2 梁的计算简图 各种机械和结构中受弯杆件的载荷和约束是比较复杂 的。进行强度、刚度计算时，必须抓住其本质因素，对构件作出简化，得出计算简图。下面分别讨论梁上载荷和支座的简化。 一、载荷的简化 梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式： 1．集中力 如上面提到的火车轮轴上的F (图5—la)、吊车大梁的G(图5—lb)等，它们的分布范围远小于轴线或大梁的长度，因此可以简化为集中力。集中力的常用单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。 图5-1 (a) (b) 图5-4
2．集中力偶 如图5—3所示的齿轮轴，作用于斜齿轮上的啮合力可以分解为切向力t F 、径向力F r 和轴向力F x 。如果只研究F x 对轴的作用(图5—3b)，则可将F x 平移至齿轮中心，简化为一个轴向力F x 和一个在圆轴对称平面内的力偶矩M e =F x r (图5—3c)，其中r 为斜齿轮上啮合点到圆轴轴线间的垂直距离，M e 称为集中力偶。常用单位为N ?m 或kN m ?。 3．分布载荷 在梁的全长或部分长度上连续分布的横向力，可简化为沿轴线的分布载荷。如吊车大梁的自重(图5—1b)为均匀分布的分布载荷,分布载荷的大小可用载荷集度q 来表示。设梁段x ?上分布载荷的合力为⊿F(图5—4)，则 0lim x F q x →?=? (5—1) q 的常用单位为N ／m 或kN ／m 。 二、支座的简化 根据工程结构中的约束情况，梁的支座可简化为以下三种基本形式： 1．固定铰支座 图5—5a 所示的汽车叠板弹簧，其右端只能产生绕销轴B 的转动，而不能产生沿水平或垂直方向的位移，因此，简化为固定铰支座。它的约束反力为水平反力F Bx 、垂直反力F By 。 2．可动铰支座 叠板弹簧的左端除了可以绕销轴A 转动外，还可产生水平方向的微小位移。因此，可以简化为可动铰支座，它只能产生铅垂方向的约束反力F Ay 。 3．固定端 图5—6a 所示的工件，左端被卡盘夹紧，在切削力作用下，左端截面既不能发生转动，也不能产生水平和垂直方向的位移。这样的约束可以简化为固定端。它的约束反力除F Bx 、F By 外，还有阻止转动的反力偶M A (图5—6b)。 这里必须指出，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的。如叠板弹簧与销轴之间就存在着摩擦力，只是由于它产生的阻止端面转动的力偶很小，把它忽略了。 在工程实际中还有一些支座的简化并非如此典型。例如，图5—7a 所示的齿轮轴，其两支承于轴承上,当轴在传动力作用下发生变形时，左右端面将发生微小偏转。由于轴承本身存在着间隙，不能阻止这种微小偏转，因而，可以简化为铰支座。左端的向心推力轴承能约束轴的径向和轴向位移，可简化为固定铰支座，而右端的滚柱轴承只能约束径向位移，则简化为可动铰支座(图5—7b)。还有一些梁，支座的简化是从整体的约束情况来分析的。如图5—1a 所示的火车轮轴，它的两端均支承在铁轨上。若车轮凸缘与铁轨内侧接触时，铁轨能限制轮轴沿轴线及其垂直方向的位移，而不能阻止车轴截面的转动。因此铁轨对轮轴的约束可简化为固定铰，而另一端则简化为可动铰。这样的计算简图能与实际工况等效。 三种支座形式的简图及其在平面内的反力，如图5—8所示。 (a) (b) (b) (a) 图5-5 (a)(b) 或 (b)(a)
剪力图和弯矩图
悬臂梁的剪力图和弯矩图如下： 内力规律图如下 1当剪力图与x轴平行时，弯矩图在空载区是倾斜的。当剪力图为正时，弯矩图向下倾斜。当剪切图为负时，弯矩图向上倾斜。 均布荷载的规律是：荷载向下，剪力向下，凹弯矩向上。 三。当施加集中力时，剪切图突然变化，突变的绝对值等于集中力的大小，弯矩图旋转。 4集中联轴器动作时，转矩图发生突变，突变的绝对值等于集中联轴器的耦合转矩。剪切图像没有更改。 5在零剪力作用下，存在一个弯矩极值 弯矩图汇总 规则如下：
1在梁的某一截面上，如果没有分布荷载，即Q（x）=0，则D？看。M（x）/DX？2=q（x）=0，其中m（x）是x的函数，弯矩图是对角线。 2在梁的某一截面上，如果施加分布荷载，即Q（x）=常数，则d≥d.2m（x）/DX？2=q（x）=常数可以得出m（x）是x的二次函数，力矩图是抛物线。 三。如果在梁的某个部分fs（x）=DM（x）/DX=0，则该部分的弯矩存在极值（最大值或最小值）。也就是说，弯矩的极值出现在剪力为零的截面上。 根据上述绘图规则，可准确绘制集中荷载和均布荷载作用下悬臂梁的剪力图和弯矩图。 扩展数据 弯矩叠加原理 相同的梁AB承受Q和M0荷载，只有Q和M0。当Q和M0一起工作时，VA=QL/2+M0/L 和=QL/2+M0/L
从计算结果可以看出，梁的反力和弯矩是荷载的一阶函数（Q，M0），即反力或弯矩与荷载呈线性关系。在这种情况下，G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于G 和M0单独作用产生的反作用力或弯矩的代数和。 这种关系不仅存在于本例中，也存在于其他机械计算中。 也就是说，只要反作用力、弯矩（或其他量）和荷载是线性的，则由多个荷载引起的反作用力和弯矩（或其他量）分别等于每个荷载的反作用力和弯矩（或其他量）。 这种关系叫做叠加原理。应用叠加原理的前提是构件处于小变形状态，各荷载对构件的影响是独立的。
弯矩剪力
弯矩，材料力学概念 弯矩------“可变形固体”材料构成的工程结构，在承受弯曲载荷时产生的一种内力。 弯矩是杆件的端部力乘以作用长度,比如说一个悬壁梁,当梁端力为2N,梁长为 3M,刚固端弯矩为-6KN.M,而梁的跨中弯矩为-3KN.M,按这个主法可以简单算,不过更深的算法要见《材料力学》了，正负是上部受拉为负，下部受拉为正。 提问者评价 几个都说得比较好，还是采纳你得吧，谢谢哈。 是结构最重要的内力之一，就是力和力臂之积 弯矩的本质是一种力，是指作用在构件的截面上的内力。作用的倾向是是受力构件弯曲——以此区别于轴力和剪力。 简单的说是抵抗弯曲的一种内力，在力学上称之为弯矩。也就是力和力距之积，比如两人用一根杠子抬重物，受力的作用杠子中间就会产生向下弯曲，在不加重重量的情况下弯曲会静止，两人产生反力，杠子产生抵抗内力这种现象就是正弯矩。单一人挑担，受力的作用扁担两端向下，中间弯曲向上，人产生反力，扁担产生抵抗内力这种现象就是负弯矩。 静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。 图 1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。 图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和均布荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。 从图1.5.1～图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。如果不满足这个对应关系，那么弯矩图和剪力图必有一个画错了，或者两个全不对。 多跨连续梁是超静定梁，单单用平衡方程不能求解，还需要“变形协调条件”才能解联立方程进行求解。 图1.5.5是某多跨连续梁在均布荷载力作用下的变形简图、受力钢筋配置区域和弯矩图示意图。
剪力图和弯矩图
内力图： 为了形象直观地表示内力沿截面位置变化的规律，通常将内力随截面位置变化的情况绘成图形，这种图形叫内力图。它包括轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图。 内力图 (图)外伸梁的剪力图和弯矩图 内力图的规律： 1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。 2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。 3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。 4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。 5、在剪力为零处有弯矩的极值 弯矩图： 弯矩图是一条表示杆件不同截面弯矩的曲线。这里所说的曲线是广义的，它包括直线、折线和一般意义的曲线。弯矩图是对构件弯矩的图形表示，弯矩图画在受拉侧，无须标正负号。 特性：
弯矩图的绘制主要有两个关键点：一是要准确画出曲线的形状，即确定弯矩图的图形特征：二是确定曲线的位置，即在已知曲线的形状、大小之后确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，此处所指两点的位置即指某两个截面处的弯矩值。 可见，弯矩图的绘制主要指完成以下两项工作：（1）确定图形特征及特征值；（2）得出某两个截面处的弯矩值。 基础： 1、熟悉单跨梁在各种荷载独立作用下的弯矩图特征：比如悬臂梁在一个集中荷载作用下．其弯矩图的特征是一个直角三角形；悬臂梁在均布荷载作用于全长上时，其弯矩图为一个曲边三角形等。单跨梁在一种荷载作用下的弯矩图。 2、杆件某段两端点弯矩值的确定杆件某段两端点弯矩值一般有下面三种情况： （1）无铰梁段：一般要先算出粱段两端截面处的弯矩值。 （2）梁段中间有一个铰：因已知无外力偶矩的铰处弯矩为零，只须另算一处截面的弯矩即可。 （3）梁段中间有两个铰：这两铰处的弯矩都为零，可直接按简支梁弯矩图特征画出弯矩图。
弯曲内力
第四章弯曲内力 授课学时：10学时 主要内容：弯曲内力；Q 、M 与q 之间的微分关系；Q,M 方向的确定；突变位置,方向,大小数值。 $5.1概述 1．平面弯曲 受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。 轴线 2．支承简化 3．静定梁的分类 4．载荷的简化 集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 解： （1）分析受力 受集中力P ，分布力q ，力偶m ，固定端简化为A m 、A X 、A Y 。 （2）列平衡方程 可动铰 固定铰支固定端 剪支梁 悬臂梁 外伸梁
04 3 .2,002 ,00 ,0=++--==--===∑∑∑A A A A m m l l q Pl m ql P Y Y X X 解得 28 7,23,0ql m ql Y X A A A == = $5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩 1．剪力和弯矩 根据梁的平衡条件，列以下方程 0)(=∑F M A ，0)(=∑F M B 得出静定梁在载荷作用下的支反力A R ， B R ；并将其作为已知量。 作载面m m -，考虑左侧平衡，列平衡方程。 ()() a x P x R M x R a x P M x M P R Q O Q P R Y A A o A A --==--+=-==--=∑∑11 1 1 ,0,0)(,,0 从上式可以看出，截面上的剪力Q 在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线（y 轴）上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。 2．剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dx ，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力Q 规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩M 规定为正号；反之，为负号。 B A X A
已整理弯曲内力4个
潍坊科技学院教案
1、平面弯曲的概念及梁的种类 ⑴平面弯曲的概念 简单回顾 轴向拉、压： 受力： F作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。 p 变形；沿轴线方向的伸长或缩短。 剪切： 受力： F作用在杆的两侧面上，作用线⊥轴线。 p 变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发 生相对错动。 扭转： 受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横 截面内）。 变形：相邻截面发生相对转动。 弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） 图6-4 ②载荷作用在对称平面内 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：
变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。 ⑵何谓梁？ 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。 ⑶梁的种类： ①简支梁 图6-6 ②悬臂梁
图6-7 ③外伸梁 图6-8 2、梁的内力及其求法 ⑴梁的内力—剪力与弯矩 ①确定约束反力 ②内力分析 用截面法沿m-m截面截开 （任取一段） 按平衡的概念标上 F,M。 Q
Q F --与横截面相切—剪力 M —内力偶矩—弯矩 ③内力值的确定 用静力平衡条件：0=∑y F 0=-Q A F F 得 A Q F F = 0=∑o M 0=-?M a F A 得 a F M A ?= （O-- 截面形心） ⑵剪力、弯矩的正、负号规定： 剪力：当截面上的F Q 使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为 负。 图6-13 弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹 向上时为正），反之为负。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 1．实例 ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴 桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形 作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。 3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲： ()()()()⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向 称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对 横截面有一根对称轴4321
§4.2 受弯杆件的简化 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。 ()()()⎪⎩ ⎪ ⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321: l 称为梁的跨度 §4.3 剪力和弯矩 （1）求反力： B A A B F F 0 0=∑M =∑M （2）求内力（截面法） 一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡） 00 1=--=∑s A y F F F F 1F F F A S -= （a ） ()00 10=⋅--+=∑x F a x F M M A ()a x F x F M --= （b ） （3）讨论
一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即： ⎪⎪ ⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左n i i n i i S M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象： ⎪⎪ ⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右n i i n i i S M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定 无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。 Example1 试求图示梁D 截面的F S 、M Solution ： （1）求反力 ()0230 =⋅⋅-⋅=∑a a q a F M A B 32qa F A = ()()02230 =⋅⋅-⋅=∑a a q a F M B A 3 4qa F B = （2）求剪力和弯矩
轴力剪力和弯矩之间的关系
轴力剪力和弯矩之间的关系 轴力、剪力和弯矩是结构力学中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。在工程实践中，了解轴力、剪力和弯矩之间的关系对于结构的设计和分析至关重要。 我们来介绍一下轴力、剪力和弯矩的概念。 轴力是指作用在结构某一截面上的拉力或压力。当轴力的方向指向结构的内部时，称为压力；当轴力的方向指向结构的外部时，称为拉力。 剪力是指作用在结构某一截面上的平行于该截面的力。剪力会使结构产生剪切变形，其方向垂直于截面。 弯矩是指作用在结构某一截面上的力对该截面产生的转动效应。弯矩会使结构产生弯曲变形，其方向垂直于截面。 在实际工程中，轴力、剪力和弯矩往往同时存在于结构中的各个截面上。它们之间的关系可以通过力的平衡条件和结构的几何特性来进行分析。 考虑一个简单的梁结构，如图1所示。假设在该梁上的某一截面处存在着轴力N、剪力V和弯矩M。根据力的平衡条件，可以得到如下方程： ΣFx = 0，ΣFy = 0，ΣM = 0
其中，ΣFx表示受力在截面上的水平力的代数和，ΣFy表示受力在截面上的竖直力的代数和，ΣM表示受力对截面的转矩的代数和。 根据力的平衡条件，可以得到以下结论： 1. 当梁处于静力平衡状态时，轴力、剪力和弯矩之间满足以下关系：N = ΣFx V = ΣFy M = ΣM 2. 轴力、剪力和弯矩的大小和方向取决于受力情况和截面形状。例如，当梁上存在着集中力时，会产生相应的轴力、剪力和弯矩。当梁上存在着均布载荷时，也会产生相应的轴力、剪力和弯矩。这些力的大小和方向可以通过力的平衡条件来确定。 3. 轴力、剪力和弯矩对结构的影响是不同的。轴力主要影响结构的稳定性和承载力，它会导致结构的拉伸或压缩变形。剪力主要影响结构的抗剪能力，它会导致结构的剪切变形。弯矩主要影响结构的抗弯刚度和承载能力，它会导致结构的弯曲变形。 除了力的平衡条件，轴力、剪力和弯矩之间还存在着几何关系。这个几何关系可以通过结构的截面形状和材料性质来确定。 考虑一个简单的梁结构，如图2所示。假设在该梁上的某一截面处存在着轴力N、剪力V和弯矩M。根据梁的几何特性，可以得到如下
剪力与弯矩的计算方法
§7-2剪力与弯矩 一、剪力和弯矩 根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。 图 7-8 简支梁指定截面的剪力、弯矩计算 根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为： ①、首先根据静力平衡方程求支座反力 Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。 ②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b 、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。 由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。 剪力 S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。 由0=∑Y 得： 10Ay S F P F --=， 得 1S Ay F F P =- 由0o M =∑得： ()01=+-+-M a x P x F Ay 得 () a x P x F M Ay --=1 如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩
弯曲内力
第五部分弯曲内力 5.1预备知识 一、基本概念 1、弯曲 工程中杆经常作为梁承受荷载，它是杆受到与其轴线垂直的外力作用下，轴线呈现曲线形状的变形。主要内容：杆件在弯曲时的内力计算；弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。 二、重点与难点 1、剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。 2、绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系 三、解题方法要点 1、 2、 5.2典型题解 一、计算题 外伸梁受力如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。 解： (1)剪力图 CA段：此段中间无任何载荷，仅在端点C有集中力作用，方向为负。在这段各截面 剪力为常数，剪力图上为一水平线，大小为—qα。 AD段：载荷为均布的，且为负，因此剪力为一斜率为负的直线。A点有向上的集中力作用，剪力图上有一跳跃，其跳跃大小为Rα，A点左侧为—qα,右侧为4qα/3。D点截面上的剪力为其左侧梁所有载荷之和，大小为—2qα/3。过A点右侧点剪力和D点剪力作直线即成。 DB段：中间无任何载荷，关照力不变，剪力图上为一大小—2qα/3的水平线。剪力图如图形（a）。
（2）弯矩图 CA 段：仅有集中力q α产生弯矩，C 点无弯矩，弯矩为零。弯矩M （x ）与C 点的距 离成正比的直线，C 点为零，A 点为—q α2 . AD 段：载荷为均布，且向下，产后负弯矩。距A 点为x 的截面上的弯矩，由A 截面 的弯矩—q α2 ,A 点右侧剪力4q α/3产生的弯矩，以及均布载荷—q 产生的弯矩之和组成， -q α2 + 22 34 x q qax - 弯矩图为一抛物线，且向上，到D 点x=2α，弯矩3 2 qa M D -= 在距A 点4α/3处，弯矩达到抛物线的顶点，弯矩9/2qa M -=。 DB 段：在D 点有集中弯矩作用，故有一跳跃，其值为q α2 ，因此D 点右侧弯矩为2q α2 /3。此段中间无任何载荷作用，弯矩图为直线，B 点的弯矩为零。 弯矩图如图3（b ）。 二、计算题作图示梁的剪力图和弯矩图（B 为中间铰） q - （a ）剪力图
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材料力学复习提纲（二） 弯曲变形的基本理论： 一、弯曲内力 1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模 2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图。 符号规定 3、剪力方程、弯矩方程 1、首先求出支反力，并按实际方向标注结构图中。 2、根据受力情况分成若干段。 3、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程，截面左侧向上的外力为正，向下的外力为负，右侧反之。 4、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程，截面左侧顺时针的力偶为正，逆时针的力偶为负，右侧反之。 对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程 4、作剪力图和弯矩图
1、根据剪力方程和弯矩方程作图。剪力正值在坐标轴的上侧，弯矩正值在坐标轴的下侧，要逐段画出。 2、利用微积分关系画图。 二、弯曲应力 1、正应力及其分布规律 2、剪应力及其分布规律 一般公式 z z QS EI τ* = 3、强度有条件 max 1.5 Q A τ= max 43Q A τ= max 2 Q A =max max z z QS EI *= ()() max max max 3 2 4 3 411-12 6 64 32 z z Z z z z z z z I M E M M M y y y W EI I I W y bh bh d d I W I W σσσρ ρ ππα== = = === = = = ⨯抗弯截面模量矩形 圆形 空心