思维特训(十二) 古代问题

方法点津 ·

1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中的一种．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．

2．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算．

3．《算学启蒙》分上、中、下三卷，元大德己亥(1299年)朱世杰撰，共20门，凡259问．

4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详．

典题精练 ·

类型一《九章算术》

1．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”

译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( )

A ．9x ＋11＝6x －16

B ．9x －11＝6x ＋16

C .x －119＝x ＋166

D .x ＋119＝x －166

类型二《算法统宗》

2．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．7

3．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．

大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．

(1)列方程求壶中原有多少升酒．

(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1＝(2a0－5)升，第二次饮酒后所余酒为a2＝2a1－5＝[22a0－(22－1)×5]升，…

①用含a n－1的式子表示a n＝__________，再用含a0和n的式子表示a n＝________；

①按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．

类型三《算学启蒙》

4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”

译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？

类型四《孙子算经》

5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”

译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”

类型五其他古代问题

6．甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，

戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，

若得这般一群凑，再添半群小半群，

得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？

(注：小半为四分之一的意思)

诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？

7．我问开店李三公，多少客人在店中，

一房七客多七客，一房九客一房空．

请你仔细算一算，多少房间多少客？

诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？

8．有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是十分风趣地答道：“在下面听

课的学生当中，有一半是搞数学研究的，1

4是从事音乐工作的，1

是具体职业不清楚的，另外

还有3名女性．”从毕达哥拉斯的回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？

9．牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：

(2)你能求出商人原来有多少钱吗？

详解详析

1．B

[解析] 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x －11；如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x ＋16，所以有9x －11＝6x ＋16.

2．C

[解析] 设塔顶有x 盏灯．依题意，得x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＋32x ＋64x ＝381，解得x ＝3.

3．解：(1)设壶中原有x 升酒．

根据题意，得2[2(2x －5)－5]＝5，解得x ＝35

答：壶中原有35

升酒．

(2)①a 1＝2a 0－5，a 2＝2a 1－5＝22a 0－(22－1)×5，a 3＝2a 2－5＝23a 0－(23－1)×5，…，所以a n ＝2a n －1－5＝2n a 0－(2n －1)×5.

①由题意，得a 4＝24a 0－(24－1)×5＝16a 0－75＝0，解得a 0＝75

16.

答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有75

16升酒．

4．解：设快马x 天可以追上慢马．由题意，得240x －150x ＝150×12，解得x ＝20.

答：快马20天可以追上慢马． 5．解：设共有客人x 名．根据题意，得 12x ＋13x ＋1

x ＝65，解得x ＝60. 答：共有客人60名． 6．解：设这群羊有x 只．

根据题意，得x ＋x ＋12x ＋1

x ＋1＝100，

解得x ＝36.

答：这群羊有36只． 7．解：设有x 间客房．

由题意，得7x ＋7＝9(x －1)，解得x ＝8. 则客人为7×8＋7＝63(人)．即有8间客房、63名客人． 8．解：设有x 名学生正在听课．由题意，得12x ＋14x ＋1

7x ＋3＝x ，

解得x ＝28.

答：一共有28名学生正在听课．

9．解：(1)表中从上到下依次填：(x －100)＋13(x －100)－100，(x －100)＋1

3(x －100)－100

＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋1

3(x －100)－100]＝x.

(2)由(1)得(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋1

3(x －100)－100]＝x ，

解得x ＝400.

答：商人原来有400镑钱．

思维特训(十八) 钟表问题

思维特训(十八) 钟表问题方法点津 · 1．钟表上的夹角：钟表上共有12个大格，每个大格对应的角为30°，共有60个小格，每个小格对应的角为6°. 2．时针与分针转动的度数关系：时针每小时转30°，时针每分钟转0.5°；分针每小时转360°，分针每分钟转6°；时针旋转30°时，分针旋转360°，故时针旋转1°时，分针旋转12°. 3．以上述两点为基础，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．通过两个角的和差，可解决有关钟表的问题．典题精练 · 类型一由时间求时针与分针的夹角 1．如图18－S －1，8点整，时针与分针的夹角是( ) 图18－S －1 A ．60° B ．80° C ．120° D ．150° 2．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是( ) A ．90° B ．120° C ．75° D ．84° 3．当时钟显示上午10：10时，时针与分针的夹角是( ) A ．115° B ．120° C ．105° D ．90° 4．在下午3：22时，时针和分针的夹角是多少度？ 5．某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？类型二由时针与分针的夹角求时间 6．7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是( ) A ．7点41811分 B ．7点41911 分 C ．7点42011分 D ．7点42111 分

7．某人早晨8点多吃早饭，发现钟面上的分针与时针的夹角为25°，等他吃完早饭后发现钟面上的时间还是8点多，两针的夹角还是25°，则他吃早饭用了多长时间？ 8．钟面上的角的问题． (1)3点45分时，时针与分针的夹角是多少？ (2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？ 9．钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？详解详析 1．C [解析] 钟表上一个大格为30°，8点时针与分针之间有4个大格，夹角是30°×4＝120°. 2．C [解析] 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的正中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角为2×30°＋12 ×30°＝75°. 3．A [解析] 时针每分钟转0.5°，10分钟时针旋转0.5°×10＝5°，这时时针与分针的夹角为30°×4－5°＝115°. 4．解：时针旋转的速度是每分钟0.5°，从中午12时到下午3时22分时针旋转的度数是202×0.5°＝101°，分针旋转的速度是每分钟6°，22分钟旋转的度数是22×6°＝132°，故下午3：22时时钟的时针和分针的夹角是132°－101°＝31°. 5．解：晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角为9×30°＋35×0.5°＋ 20×0.5°÷60－(35×6°＋20×6°÷60)＝(7523)°，7523 ÷6≈12.6. 故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯． 6．C [解析] 时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°. 设经过x 分钟分针与时针重合，则有 6x －0.5x ＝210，解得x ＝42011 .

思维特训(九) 密度

思维特训(九) 密度 |典|例|分|析| 混合密度的计算例题 2019·呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。她首先用天平测出构件质量为374 g ，用量杯测出构件的体积是100 cm 3。已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7×103 kg /m 3，钢的密度为7.9×103 kg /m 3。如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求： (1)这种合金的平均密度。 (2)这种合金中铝的质量占总质量的百分比。 [答案] (1)这种合金的平均密度： ρ＝m V ＝374 g 100 cm 3＝3.74 g /cm 3＝3.74×103 kg /m 3。 (2)设铝的质量为m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝＋m 钢＝374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，则m 铝ρ铝＋m 钢ρ钢＝100 cm 3，即m 铝2.7 g /cm 3＋m 钢7.9 g /cm 3＝100 cm 3②。联立①①式，解得m 铝＝216 g 。则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为216 g 374 g ×100%≈57.8%。 |思|维|集|训| 1．有两个质量相等的球，其体积之比V 1∶V 2＝1∶5，密度之比ρ1∶ρ2＝4①1，其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ，则空心球的空心部分的体积为( )

A ．2V B ．V C ．0.2V D ．0.25V 2．阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9 cm 3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和96.5 cm 3，则王冠中银的质量和金的质量之比为( ) A ．1∶8 B ．1①9 C ．1∶10 D .1∶11 3．(多选)现有密度分别为ρ1、ρ2(ρ1＜ρ2)的两种液体，质量均为m 0，某工厂要用它们按体积比1①1的比例配制一种混合液(设混合前后总体积不变)，且使所得混合液的质量最大，则( ) A ．这种混合液的密度为2ρ1ρ2ρ1＋ρ2 B ．这种混合液的密度为ρ1＋ρ22 C ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为? ?? ??1－ρ1ρ2m 0 D ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为? ????1－ρ2ρ1m 0 4．如图9－TX －1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。若在两容器中分别再倒入原液体至倒满，则( ) A ．倒入的质量m 甲一定小于m 乙 B ．倒入的质量m 甲可能等于m 乙 C ．倒入的质量m 甲可能大于m 乙 D ．倒入的体积V 甲一定等于V 乙图9－TX －1

思维特训(四) 绝对值与分类讨论-word文档

思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 · 类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类

思维特训(七) 凸透镜成像

思维特训(七)凸透镜成像 |典|例|分|析| 透镜成像光路作图例1如图7－TX－1所示，S是发光点，S′是S通过凸透镜所成的像。图7－TX－1 (1)在图中画出凸透镜的焦点。 (2)画出入射光线SP的折射光线。 [解析] 在光学作图时，我们通常有两种作图依据：①依据光的反射、折射规律，透镜的会聚、发散规律作图(以光作光)；②以像的意义作图(以像作光)。本题中S′是S的实像，其意义就是由S发出的任意一条光线通过凸透镜后都经过像点S′。因而入射光线SP的折射光线必是PS′，为作出焦点的位置，需引出一条平行于主光轴的光线，折射光线会聚到像点S′，与主光轴的交点即为透镜的右焦点，同样由平行到达像点的光线反作出S发出的光线，与主光轴的交点即为透镜的左焦点。 [答案] 如图7－TX－2所示图7－TX－2 凸透镜成像的规律例2某物理兴趣小组想知道某只透镜的焦距f为多少，做了如图7－TX－3甲所示实验，让凸透镜正对阳光，在透镜下面放上白纸(纸、镜平行)，测出透镜与白纸间距s和对应的白纸被烤焦的时间t，绘出图像乙，则可判断该透镜的焦距f为__________。图7－TX－3 将透镜及蜡烛、光屏置于光具座上，如图7－TX－4(a)所示，做成像实验，记录每次成实像的物距u，像距v，物、像间距L(即u＋v)，绘出如图(b)所示图像(以f为长度单位)。由图可知，要想成实像，蜡烛与光屏的间距应满足L≥________(用f表示)。

经“百度”发现，物理学中，有一个凸透镜成像的“新概念”：放大率n ＝A ′B ′AB ＝v u ，结合(a )、(b )两图，可知当物距u ＝1.5f 时，n ＝________。图7－TX －4 [解析] (1)由图乙可知，当透镜与白纸间距s ＝12 cm 时，白纸被烤焦的时间t ＝4 min ，所用的时间最短，说明太阳光经过凸透镜会聚后该点的温度最高，这个点就是凸透镜的焦点，则焦距f ＝12 cm 。 (2)根据凸透镜成实像时满足u ＞f ，由图(b )可知，随着物距u 的增大，物、像间距L 先减小后增大，当物距u ＝2f 时，物、像间距L 最小为4f ，因此，要想成实像，蜡烛与光屏的间距应满足L ≥4f 。 (3)由图(b )可知，当物距u ＝1.5f 时，物、像间距L ＝4.5f ，根据L ＝u ＋v 可得，v ＝L －u ＝4.5f －1.5f ＝3f ，则放大率n ＝A ′B ′AB ＝v u ＝3f 1.5f ＝2。 [答案] 12 cm 4f 2 |思|维|集|训| 1．一个直立的物体放在凸透镜的二倍焦距处，物体的中点恰在透镜的主光轴上，后来，透镜被一割为二，对称地拉开，两个半透镜间距离等于物体高度，如图7－TX －5甲所示。则此时光屏上的成像情况应该是图乙中的( ) 图7－TX －5 2．有一圆柱体PQ ，放在凸透镜前如图7－TX －6所示的位置，它所成的像P′Q′的形状应该是图7－TX －7中的( ) 图7－TX －6 图7－TX －7 3．2019·天津小明同学在探究凸透镜成像规律时，用焦距分别为f 1、f 2的甲、乙两个凸

小学一年级数学思维提升特训题+答案

思维训练题 1、A、B、 C 三名运动员在一次运动会上都得了奖。他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。现在我们知道： (1)A 的身材比排球运动员高； (2)足球运动员比 C 和篮球运动员都矮。请你想一想： A 是( )运动员， B 是( )运动员， C 是( )运动员。 2、爸爸买了 3 个皮球，两个红的，一个黄的。哥哥和妹妹都想要。爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。那么，谁一定能猜对呢 ? ( )。 3、小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队儿向前走，谁也不回头。小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶帽子也看不到。你知道走在第一个的是谁 ?谁又走在第二个 ?最后一个又是谁呢 ?他们又各自戴着什么颜色的帽子呢 ? ( )走在第一个，戴着 ( )帽子；( )走在第二个，戴着( )帽子；( )走在最后，戴着( )帽子； 4、黑兔、灰兔和白兔三只兔子在赛跑。黑免说：“我跑得不是最快的，但比白兔快。”请你说说，谁跑得最快 ?谁跑得最慢 ? ( )跑得最快，( )跑得最慢。 5、三个小朋友比大小。根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大 ?谁最小？ (1) 芳芳比阳阳大 3 岁； (2) 燕燕比芳芳小 1 岁； (3) 燕燕比阳阳大 2 岁。 ( )最大，( )最小。 6、根据下面三句话，猜一猜三位老师年纪的大小。 (1) 王老师说：“我比李老师小。” (2) 张老师说：“我比王老师大。” (3) 李老师说：“我比张老师小。” 年纪最大的是( )，最小的是( )。 7、光明幼儿园有三个班。根据下面三句括，请你猜一措，哪一班人数最少 ? 哪一班人数最多 ?

思维特训(二) 巧用乘法运算律

思维特训(二) 巧用乘法运算律方法点津 · 有理数混合运算是代数运算的基础，一些有特点的运算题目可利用乘法交换律、结合律、正逆用乘法对加法的分配律，达到简化运算、提高正确率的目的．典题精练 · 类型一乘法交换律与结合律 1．计算：(12×32)×(23×43)×(34×54)×…×(20152016×20172016)×(20162017×20182017 )． 2．阅读下列材料，回答问题： (1＋12)×(1－13)＝32×23 ＝1； (1＋12)×(1＋14)×(1－13)×(1－15)＝32×54×23×45＝(32×23)×(54×45 )＝1. 根据以上信息，求出下式的结果： (1＋12)×(1＋14)×(1＋16)×…×(1＋120)×(1－13)×(1－15)×(1－17)×…×(1－121 )．类型二逆用分配律 3．计算：(23)2×(－112)－(－23)2－12 ÷(－1.52)． 4．计算：0.7×149－15×(－137)＋(－3)×(－14)＋59×0.7＋47 ×15＋5×(－25%)．类型三正逆联用分配律 5．计算：(－321625)×132－(12＋23－34－1112 )×(－24)． 6．计算：????1112－79－518×36－6×1.43＋3.93×6. 7．计算：－427×????－1112＋1047×????－1112－????－557×????－1312＋??? ?79－56＋34×36. 8．计算：(－512－124－56)×(24×59－24×29＋24×23 )．

类型四分配律与乘法交换律、结合律联用 9．计算：(－14－12＋23)×|－24|－54 ×(－2.5)×(－8)．类型五运算律的实际应用 10．小豪的爸爸想在他设计的建筑物中绕制三个钢筋圆圈，其半径分别为0.24米、0.37米、0.39米．爸爸想考考小豪，就问小豪：如果制成三个钢筋圆圈各一个，应该买多长的钢筋(精确到0.1米)？小豪眼球一转，马上说出了结果，你能说出其中的奥妙之处吗？详解详析 1．解：原式＝12×(32×23)×(43×34)×(54×45)×…×(20162015×20152016)×(20172016×20162017)×20182017＝12 ×20182017＝10092017 . 2．解：原式＝32×54×76×…×2120×23×45×67×…×2021 ＝(32×23)×(54×45)×(76×67)×…×(2120×2021 ) ＝1×1×1×…×1 ＝1. 3．解：原式＝(23)2×(－112)－(－23)2＋12×(23 )2 ＝(23)2×(－112－1＋12 ) ＝－89 . 4．解：原式＝0.7×149＋59×0.7－15×(－137)＋47×15＋(－3)×(－14 )＋5×(－25%) ＝0.7×(149＋59)－15×(－137－47)＋(－14 )×(－3＋5) ＝0.7×2＋15×2＋2×(－14 ) ＝30.9.

思维特训(十三) 中点四边形含答案

思维特训(十三)中点四边形方法点津· 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 1．任意四边形的中点四边形是平行四边形． 2．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． 3．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形． 4．对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．中点四边形形状的判定一般通过三角形中位线定理来实现．典题精练 1．2017·株洲如图13－S－1，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四 ) 边形EFGH，下列说法正确的为( A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时它是矩形 2．2017·江西如图13－S－2，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于 ) 四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 3．如图13－S－3，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，S四边形ABCD＝8 cm2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为________． 4．如图13－S－4，顺次连接菱形ABCD的各边中点E，F，G，H.若AC＝a，BD＝b，则四边形EFGH的面积是________．

思维特训(三) 简单电现象

思维特训(三)简单电现象 |典|例|分|析| 摩擦起电的实质例1[2019·衡阳] 摩擦起电跟物质的种类有很大关系，严格来说，与物质的结构和化学成分有关。各种物质中的电子脱离原子所需要的能量是不同的。因此，不同物质的起电顺序是不同的。见下列起电顺序表： A.跟纸摩擦过的硬橡胶棒带正电 B.跟纸摩擦过的玻璃棒带负电 C.跟涤纶摩擦过的硬橡胶棒带正电 D.跟涤纶摩擦过的玻璃棒带负电 [解析] 根据表中不同物质的起电顺序可知，跟纸摩擦过的硬橡胶棒带负电，跟纸摩擦过的玻璃棒带正电；跟涤纶摩擦过的硬橡胶棒带正电，跟涤纶摩擦过的玻璃棒带正电。 [答案] C 电荷的中和例2一个带电体所带电荷量为Q1，一个带正电的验电器所带电荷量为Q2，当带电体跟验电器的金属球相接触时，观察到验电器的金属箔片先闭合后又张开，根据这一现象可以判断() A.带电体带正电荷，且Q1＝Q2 B.带电体带负电荷，且Q1＝Q2 C.带电体带正电荷，且Q1Q2

[解析] 验电器的金属箔片由于带同种正电荷而张开，验电器的金属箔片先闭合，说明验电器所带的电荷与带电体所带的电荷发生中和现象，即带电体带负电荷；验电器的金属箔片又张开，说明带电体所带的电荷量比验电器上所带的电荷量多，故将验电器上的所有正电荷中和完后，还有多余的负电荷，验电器的金属箔片由于带负电荷再次张开。 [答案] D |思|维|集|训| 1.现有丝绸、玻璃、塑料薄膜三种材料。通过实验发现，当被丝绸摩擦过的玻璃棒靠近被丝绸摩擦过的塑料薄膜时，两者相互吸引。据此排出三种材料的顺序，使前面的材料跟后面的材料摩擦后，前者总是带负电。这个顺序是() A.丝绸、玻璃、塑料薄膜 B.塑料薄膜、玻璃、丝绸 C.塑料薄膜、丝绸、玻璃 D.丝绸、塑料薄膜、玻璃 2.甲、乙两个相同的验电器，分别带上等量的正、负电荷，用一根玻璃棒把甲、乙两个验电器的金属球连接起来，则() A.甲、乙两验电器发生电中和而不带电 B.甲带了更多的正电，乙不带电 C.甲不带电，乙带更多的负电 D.甲、乙两验电器的带电情况没有发生改变 3.两个完全相同的验电器，分别带上不等量的异种电荷，现将它们的金属球用一根带有绝缘柄的金属导体先接触后分开，则两验电器的金属箔() A.张角一定都减小，且带上等量异种电荷 B.张角一定都增大，且带上等量异种电荷 C.张角一定是有一个增大，且带上等量同种电荷 D.带电荷多的验电器张角减小，且带上等量同种电荷 4.如图3－TX－1所示，在一个带正电的小球附近有一根原来不带电的金属棒。当用手与金属棒的某一部位接触一下后，移去带正电的小球。关于金属棒的带电情况，下列说法中正确的是()

思维特训(十一) 密度

思维特训(十一) 密度 |典|例|分|析| 混合密度的计算例题 2019·呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。她首先用天平测出构件质量为374 g ，用量杯测出构件的体积是100 cm 3。已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7×103 kg /m 3，钢的密度为7.9×103 kg /m 3。如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求： (1)这种合金的平均密度。 (2)这种合金中铝的质量占总质量的百分比。 [答案] (1)这种合金的平均密度： ρ＝m V ＝374 g 100 cm 3 ＝3.74 g /cm 3＝3.74×103 kg /m 3。 (2)设铝的质量为m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝＋m 钢＝374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，则 m 铝ρ铝＋m 钢ρ钢＝100 cm 3，即m 铝2.7 g /cm 3＋m 钢7.9 g /cm 3＝100 cm 3①。联立①①式，解得m 铝＝216 g 。则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为216 g 374 g ×100%≈57.8%。 |思|维|集|训| 1．有两个质量相等的球，其体积之比V 1①V 2＝1①5，密度之比ρ1①ρ2＝4①1，其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ，则空心球的空心部分的体积为( ) A ．2V B ．V C ．0.2V D ．0.25V 2．阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9 cm 3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和

思维特训(十九) 12n(n-1)的应用

思维特训(十九) 12n (n －1)的应用方法点津 · 1．数学模型下列问题中，n 表示整数，且n ≥2. (1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点 ――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12 n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12 n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12 n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线 ――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移 (1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12 n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12 n (n －1)．典题精练 · 1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有3×42 ＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：

图19－S－1 (1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)． (2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少． 2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点． (1)请用字母表示以O为端点的所有射线； (2)直线AB上的线段共有多少条？ (3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图①，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－2 3．已知：如图19－S－3. 图19－S－3 (1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图①，三条直线相交，最多有________个交点；如图①，四条直线相交，最多有________个交点；如图①，五条直线相交，最多有________个交点． (2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？ (3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2①1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？ 4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．图19－S－4 (1)探索：

思维特训(三) 最短路径的探究

思维特训(三)最短路径的探究方法点津· 有关实际问题中的最短路径问题，通常进行构建与转化，再根据“两点之间，线段最短”进行分析与求解．典题精练· 类型一有关平面内的最短路径问题关于平面内的最短路径问题，我们有下面几个相应的结论： (1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)； (2)关于线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找出相关点关于直线的对称点实现化“折”为“直”． 1．已知：如图3－TX－1，△ABC为等边三角形，高AH＝10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为________ cm. 图3－TX－1 2．如图3－TX－2所示，四边形ABCD是正方形，AB＝6，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的值最小，则这个最小值为________．图3－TX－2 3．如图3－TX－3所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？图3－TX－3 4．如图3－TX－4所示，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种修筑水渠的方案．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑． (1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；

思维特训(一) 正方形的旋转变换

思维特训(一) 正方形的旋转变换解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路． 1．如图1－S －1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF ＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ′处，连接EE ′，则下列判断不正确的是( ) 图1－S －1 A ．△AEE ′是等腰直角三角形 B ．AF 垂直平分EE ′ C ．△E ′EC ∽△AFD D ．△A E ′ F 是等腰三角形 2．如图1－S －2，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2＋BG 2＝2a 2＋2b 2，其中正确的结论是________(填序号)．图1－S －2 3．如图1－S －3，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14 .想一想，这是为什么．图1－S －3 4．已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共顶点A ，点G ，E 分别在线段AD ，AB 上，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG ，如图1－S －4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG 的长度始终相等？并说明理由．图1－S －4 5．如图1－S －5，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C ，D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE .我们探究图中线段BG 和线段DE 的长度关系及其所在直线的位置关系． (1)猜想图①中线段BG 和线段DE 的长度关系及其所在直线的位置关系； (2)将图①中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并

思维特训(一) 分子间的引力和斥力

思维特训(一)分子间的引力和斥力 |典|例|分|析| 分子间的引力和斥力例1分子力，又称分子间作用力、范得瓦耳斯力，是指分子间的相互作用。当两分子相距较远时，分子力表现为引力；当分子间距离非常近时，分子力主要表现为斥力。实验表明，气体很容易被压缩；把体积分别为50 cm3的水和酒精混合，总体积小于100 cm3；高温下碳原子可渗透到钢制表面。这些都说明分子、原子间有一定的距离。相隔一定距离的固体和液体分子仍能聚集在一起不分散，是因为存在分子间作用力。分子间作用力由引力和斥力组成，引力对抗拉伸，斥力对抗压缩。图1－TX－1 如图1－TX－1所示为分子间作用力关系图，r表示两分子间距离，r0表示引力和斥力相平衡的距离。F斥表示斥力曲线，F引表示引力曲线，F分子表示合力曲线。由图可知，随分子间距离r的增大，分子力先减小到零后增大再减到零，对外表现为先斥力后引力。 (1)分子间引力和斥力大小均与________有关。固体和液体很难被压缩，说明分子间存在________。分子间的引力和斥力都随着分子间距离的增大而________。 (2)下列有关分子力的说法中，正确的是________。 A．当r＝r0时，分子间没有力的作用 B．当r＜r0时，分子间的作用力只有斥力 C．当r＞r0时，分子间的作用力只有引力 D．当r＝10r0时，分子间的作用力可以忽略 [解析] (1)由分子间作用力关系图可知：分子间的作用力与分子间的距离有关。分子间作用力随着分子间距离的增大而减小，且斥力减小得更快。固体和液体很难被压缩，说明分子间存在斥力。 (2)分子间同时存在着引力和斥力，当r＝r0时，分子引力与斥力相等，分子间既不表现为引力，也不表现为斥力，但并不是分子间没有力的作用，故A错误；当r＜r0时，分子引力小于斥力，分子间的作用力表现为斥力，并非只有斥力，故B错误；当r＞r0时，分子引力大于斥力，分子间的作用力表现为引力，并非只有引力，故C错误；当r＝10r0时，分子间的作用力小到可以忽略，故D正确。 [答案] (1)分子间的距离斥力减小(2)D 热量计算

思维特训(九)密度

混合密度的计算例题 2019 呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。她首先用天平测出构件质量为 374 g ,用量杯测出构件的体积是 100 cm 3。已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7X 103 kg/m 3,钢的密度为7.9 x 103kg/m 3。如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求： (1) 这种合金的平均密度。 ⑵这种合金中铝的质量占总质量的百分比。［答案］(1)这种合金的平均密度： P= V = 3.74 g/cm 3= 3.74 x 103 kg/m 3。 (2) 设铝的质量为 m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝+ m 钢=374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和， art m 铝 m 钢即 2.7 g/cm 3* 7.9 g/cm 3 联立①②式，解得m 铝=216 g 。思维|集|训| 1. 有两个质量相等的球，其体积之比 V 1 : V 2= 1 : 5,密度之比p 1 : p 2= 4 : 1,其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ,则空心球的空心部分的体积为 ( ) A. 2V 思维特训(九)密度匹= 100 cm 3, p 钢 100 cm 3 ②。则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为 374~g X 100 %& 57.8%。 B . V

2?阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为 56.9 cm 3,右与王冠质量相冋的纯金块和纯银块的体积分别为 52.5 cm 3和 96.5 cm 3 ，则王冠中银的质量和金的质量之比为（） A . 1 : 8 B . 1 : 9 C . 1 : 10 D.1 : 11 3. （多选）现有密度分别为 p 、p （ p< p ）的两种液体，质量均为m o ,某工厂要用它们按体积比1 : 1的比例配制一种混合液（设混合前后总体积不变），且使所得混合液的质量最大则（） A .这种混合液的密度为 2 p 1 p 2 p 1+ p B .这种混合液的密度为 p 1+ p 2 C .按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为 1-二 m o D .按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为 1-p - m o p 1 4. 如图9- TX - 1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。若在两容器中分别再倒入原液体至倒满，则（） m 甲一定小于 m 乙 m 甲可能等于 m 乙 m 甲可能大于 m 乙 V 甲一定等于V 乙图 9 — TX — 1 5. 如图9 — TX — 2所示，甲、乙为两个实心均匀正方体，它们的质量相等。若在两个 C . 0.2V D . 0.25V A. 倒入的质量 B. 倒入的质量 C. 倒入的质量 D. 倒入的体积

思维特训方案选择问题

思维特训方案选择问题方法点津· 方案决策类试题一般是通过设置一些实际问题的情景或图景，给出假设干信息，提出解决问题的要求，或给出几种方案让同学们根据题意或生活经验选取最正确方案，或对方案进行评判与决策，或结合条件让同学们自己设计方案，或运用数学知识设计最优解决方案与策略，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式，其主要步骤如下：第一步：从实际问题中抽象出相等关系，列出方程(组)；第二步：解方程(组)；第三步：结合实际问题取整数解，设计符合要求的方案．典题精练· 类型一借助方程(组)中解的不确定性进行方案选择 1．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么租房方案有() A、4种 B、3种 C、2种 D、1种 2．星期天，小明和7名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买了多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且购买奶茶至少两杯时，有几种购买方式？类型二借助选择对象的不确定性进行方案选择 3．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，假设在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利润2019元．该厂的生产能力如下：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶需在4天内全部销售或加工完毕，为此该厂设计了两种方案：

方案一：尽可能多地制成奶片，其余鲜奶直接销售；方案二：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 4．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)假设商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案； (2)在(1)的条件下，假设商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ (3)假设商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案．类型三借助一次函数的图象进行最优方案选择 5．为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗共21棵．A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x之间的函数关系式为____________(不要求写出自变量的取值范围)； (2)假设购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 6．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元．反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元．该楼盘每套楼房的面积均为120平方米．假设购买者一次性付清购房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．

思维特训温度和温度计

思维特训温度和温度计 |典|例|分|析| 温标例 1 摄氏温度的规定：在标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度定为0 ℃，水沸腾时的温度定为100 ℃；将0～100 ℃之间划分为100等份，每一等份就是1 ℃。华氏温度的规定：在标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度定为32 ℉(℉读做华氏度)，水沸腾时的温度定为212 ℉；将32～212 ℉之间划分为180等份，每一等份就是1 ℉。那么华氏温度F 与摄氏温度t 之间的数量关系是F ＝________。 [解析] 根据题意可知，100 ℃对应212 ℉，0 ℃对应32 ℉，那么将0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每一等份代表1 ℃，也代表212 ℉－32 ℉100＝1.8 ℉，所以1 ℃相当于1.8 ℉，那么华氏温度与摄氏温度之间的数量关系为F ＝1.8t ＋32。 [答案] 1.8t ＋32 温度计的刻度例 2 一支刻度均匀但示数不准确的温度计，测量时温度计的示数T 与实际准确温度t 之间关系的图象如图5－TX －1所示。图5－TX －1 (1)将此温度计分别放入标准大气压下的冰水混合物和沸水中，温度计的示数各为多少？ (2)假设用这支温度计测出教室里的温度为23 ℃，那么教室里实际温度是多少？ (3)分析图象信息，写出T 与t 的数学关系式。 [答案] (1)测量温差为32 ℃－14 ℃＝18 ℃时，实际温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃，它们之间的关系是18 ℃20 ℃ ＝910，分析图象可以发现：14 ℃－0.9×10 ℃＝5 ℃，32 ℃－0.9×30 ℃＝5 ℃，由此得出测量的温度值与实际温度值之间的关系为T ＝0.9t ＋5 ℃(也可设一次函数表达式用数学方法得出)。冰水混合物的温度是0 ℃，用该温度计测量时，其示数是T ＝0.9

思维特训(十二) 古代问题

思维特训(十二) 古代问题方法点津 · 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中的一种．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就． 2．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算． 3．《算学启蒙》分上、中、下三卷，元大德己亥(1299年)朱世杰撰，共20门，凡259问． 4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详．典题精练 · 类型一《九章算术》 1．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？” 译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( ) A ．9x ＋11＝6x －16 B ．9x －11＝6x ＋16 C .x －119＝x ＋166 D .x ＋119＝x －166 类型二《算法统宗》 2．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 3．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．

思维特训(六) 欧姆定律

思维特训(六)欧姆定律 |典|例|分|析| 复杂电路的综合计算例1在如图6－TX－1所示的电路中，电源两端的电压不变。当只闭合开关S1时，电流表A1的示数为I，电流表A2的示数为I2。当开关S1、S2都闭合时，电流表A1的示数为I′，电流表A2的示数为I2′。I2∶I＝2∶3，I2′∶I′＝4∶7，则电阻R1∶R2∶R3等于() 图6－TX－1 A．2∶1∶4 B．4∶2∶1 C.2∶3∶4 D．3∶4∶7 [解析] 当只闭合S1时，R3未接入电路，R1与R2并联，电流表A1测干路电流I，电流表A2测支路R2的电流。已知I2∶I＝2∶3，且I＝I1＋I2，则I2∶I1＝2∶1，即I2＝2I1①。当S1、S2都闭合时，R1、R2和R3并联，电流表A1测干路电流I′，电流表A2测支路R2的电流I2′，则I′＝I1′＋I2′＋I3。由于电源电压和R1、R2阻值都不变，则I1′＝I1，I2′＝I2，则由∶可知：I2′＝2I1′②。已知I2′∶I′＝4∶7，则(I1′＋I3)∶I2′＝3∶4③；由∶∶可得： I3＝1 2I1；故R1∶R2∶R3＝ U I1 ∶U I2 ∶U I3 ＝U I1 ∶U 2I1 ∶U 1 2I1 ＝2∶1∶4。 [答案] A 初高衔接题——考虑“内阻”的相关计算例2[2019·安徽] 有一只满偏电流I g＝3 mA的电流计G，已知其电阻R g＝100 Ω，现在需要把它改装成一只量程I c＝3 A的电流表，如图a所示。图6－TX－2 (1)求电阻R x的阻值。 (2)求改装后的电流表电阻R c的阻值。 (3)如图乙所示，将改装后的电流表接入电路中。已知电源电压U＝10 V，电阻R1＝5 Ω。闭合开关S，移动滑动变阻器的滑片P，使电流表的示数I＝1.0 A。求此时滑动变阻器接入电路中的阻值R2，以及通过原电流计G的电流I1。 [答案] (1)通过R x的电流：I x＝I c－I g＝3 A－3 mA＝2.997 A，