高考数学等差数列习题及答案

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 5．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）

A ．a 5＝4

B ．a 6＝4

C ．a 5＝2

D ．a 6＝2

6．已知数列{}n a 的前n 项和2

21n S n n =+-，则13525a a a a +++

+=（ ）

A ．350

B ．351

C ．674

D ．675

7．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921

a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21

B ．20

C ．19

D ．19或20

9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

2

，则该数列的项数是（ ） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

10．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S

B ．5S

C ． 6S

D ． 7S

11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（ ） A ．10

B

C ．64

D ．4

12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6

12S

S =（ ） A ．

17

7

B ．

83 C ．

143

D ．

103

13．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7

B ．10

C ．13

D ．16

14．在数列{}n a 中，129a =-，()

*

13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++

+=（ ）

A ．10

B ．145

C ．300

D ．320

15．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237

n n S n T n =+，则6

3a b 的值为

（ ） A ．

5

11

B ．38

C ．1

D ．2

16．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60

B ．11

C ．50

D ．55

17．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25

B ．11

C ．10

D ．9

18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51

B ．57

C ．54

D ．72

19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

20．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++???+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++??????+= 22．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4

n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n

= B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =+

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1

{

}n

S 为递增数列 23．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ?=?

?

为奇数

为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

2

n n a π

= D ．cos(1)1n a n π=-+

24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

25．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <

B ．10a <

C ．当5n =时n S 最小

D ．0n S >时n 的最小值为8

26．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >

D ．110S >

27．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）

A ．若100S =，则50a >，60a <；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；

D ．若89S S <，则78S S <.

28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-

B ．310n

a n

C ．2

28n S n n =- D ．2

4n S n n =-

29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正

确的是（ ） A ．0d > B ．70a =

C ．95S S >

D ．6S 与7S 均为n S 的最大值

30．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ?<

B ．22

415

4

a a +≥

C ．15

11

1a a +> D ．1524a a a a ?>?

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =

19592993622

a a a

S +=

?=?= 故选：B 2．A 【分析】

利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】

由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 3．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

8106

100

a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得

设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1

176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

5

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 4．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】

因为3518a S +=，633a a =+，所以11

161218

523a d a d a d +=??+=++?，

所以11

1

a d =??

=?，所以()111n a n n =+-?=， 故选：B. 5．C 【分析】

利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】

因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 6．A 【分析】

先利用公式11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出

13525a a a a +++

+的值.

【详解】

当1n =时，2

1112112a S ==+?-=；

当2n ≥时，()

()()2

2

121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??

.

12a =不适合上式，

2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?

.

因此，()()

3251352512127512235022

a a a a a a ?+?+++++=+=+=；

故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证

1a 是否满足()2n a n ≥.

7．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出

(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出

111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++

+++=++=

则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 8．B 【分析】 由题得出1392

a d =-，则2202n d

S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

由

111019

21

a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392

a d =-

，10a <，0d ∴>，

()211+

2022

n n n d

S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列

()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 9．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

2

d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．B 【分析】

根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】

依题意55647560

0000

a a a a a a a d >?>??

?

?+=+

，所以015n a n >?≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

3

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

3

3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

3

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 12．D 【分析】

由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】

已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ?-=+-，且9

3

6S S =，化简解得633S S =.

又

()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而126103

S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：

（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ?-=+-，且

9

3

6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 13．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

141,16a S ==，

41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.

故选：C 14．C 【分析】

由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。 【详解】

因为129a =-，()

*

13n n a a n N +=+∈，

所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，

所以()11332n a a n d n =+-=-，

所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >； 所以()()12201210111220a a a a a a a a a ++

+=-++???++++???+

1101120292128

101010103002222a a a a ++--+=-

?+?=-?+?=. 故选：C. 15．C 【分析】 令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则

6

3

a b 可得． 【详解】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，

可得当2n ≥时，()()2

21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，

()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，

当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，

()232n b n λ=+

故622a λ=，322b λ=，

故6

3

1a b =. 【点睛】

由n S 求n a 时，11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符

合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 16．D 【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】

因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()

1111161111552

a a S a +===.

故选：D. 17．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解． 【详解】

因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，

故选：D ． 18．B 【分析】

根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】

317102a a a += 1039a ∴=，即103a =

()11910

19191921935722

a a a S +?∴=

==?= 故选：B 19．B 【分析】

利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】

因为7916+=a a ，

所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()

11515815151581202

a a S a +===?=． 故选：B 20．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

}1

2

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力.

二、多选题

21．ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．AD 【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】

11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1

11

04n n n S S S -≠∴

-=

因此数列1{

}n S 为以1

1

4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以

1144(1)44n n n n S S n

=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111

44(1)4(1)

n n n a S S n n n n -=-=

-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ?

=??

=??-≥-??

，即B ，C 不正确；

故选：AD 【点睛】

本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 23．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

22

a π

==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 24．AC 【分析】

先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，

则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.

所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：

（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 25．BD 【分析】

由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；

753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；

()()()22

171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??

--??=+=-+==--?? ???????

，

当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.

n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.

故选：BD. 26．ABD 【分析】

转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】

因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，

因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确；

所以()113137

131302

a a S a

+?==<，故C 错误； 所以()111116

111102

a a S a

+?=

=>，故D 正确.

故选：ABD. 27．ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()

02

a a S +=

=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，

所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +?=

==>，116891616()16()

022

a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158

15815()15215022

a a a S a +?=

==>，则80a >， 116891616()16()022

a a a a S ++=

==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；

对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】

解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 28．AD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11

45

460a d a d +=??+=?，进而得13,2a d =-=，故

25n a n =-，24n S n n =-.

【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==

所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11

45

460a d a d +=??+=?，

解方程组得：13,2a d =-=，

所以()31225n a n n =-+-?=-，2

4n S n n =-.

故选：AD. 29．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】

根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：

{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；

又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】

本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 30．ABC 【分析】

由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】

由题知，只需1220

010a d d d =->??<

>?

， ()()2242244a a d d d ?=-?+=-<，A 正确；

()()2

2

22415

223644

a a d d d d +=-++=-+>≥

，B 正确； 2

1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ?-?=-?+--?+=-<，所以1524a a a a ?

D 错误. 【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．