高考理科数学一轮复习等差数列专题练习题

课时作业32 等差数列

一、选择题

1．(2019·湖北荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( A )

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8

＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7

4

×11＝15.故选A.

2．已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且{1

a n －1}是等差数列，则a 7＝( D )

A.10

9 B.1110 C.1211

D.1312

解析：设等差数列{

1a n －1}的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝13

2

－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1

a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝13

12

.故选D.

3．(2019·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且

S 9＝λa 4，则λ的值为( A )

A ．18

B ．20

C ．21

D ．25

解析：设公差为d ，由a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，

得?

????

a 1＋5d ＝3a 1＋9d ，9a 1＋9×8d 2＝λa 1＋3λd ，解得λ＝18，故选A.

4．(2019·贵阳市摸底考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11

S 5

＝( D ) A.115 B.522 C.1110

D.225

解析：S 11S 5＝11

2a 1＋a 11

52

a 1＋a 5＝11a 65a 3＝225

.故选D.

5．(2019·河南郑州一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( C )

A ．10

B ．9

C ．5

D ．4

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 ???

??

11a 1＋11×102d ＝22，a 1＋3d ＝－12，解得?

??

??

a 1＝－33，

d ＝7，

所以S n ＝－33n ＋

n n －1

2×7＝72n 2－732n ＝72(n －7314)2－72×(7314

)2.因为n ∈N *

，所以当

n ＝5时，S n 取得最小值．故选C.

6．(2019·安徽淮北一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 018

A ．2 017

B ．2 018

C ．4 033

D ．4 034

解析：∵S 2 0180.∴S 4 034＝4 034a 1＋a 4 034

2

＝2 017(a 2 018＋a 2 017)<0，S 4 035 ＝

4 035a 1＋a 4 035

2

＝4 035a 2 018>0，

可知S n <0时n 的最大值是4 034.故选D. 二、填空题

7．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.

解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1，a 4，a 13成等比数列，a 1＝3，∴a 2

4＝a 1a 13，即(3＋3d )2

＝3(3＋12d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项公式为a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.

8．在等差数列{a n }中，a 9＝1

2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于132.

解析：S 11＝11a 1＋a 11

2＝11a 6，

设公差为d ，由a 9＝1

2a 12＋6

得a 6＋3d ＝1

2

(a 6＋6d )＋6，

解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.

9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2

2＝1，则数列{a n }的公差是2.

解析：∵S 33－S 2

2

＝1，

∴2? ????3a 1＋

3×22d －3? ????2a 1＋2×12d ＝6， ∴6a 1＋6d －6a 1－3d ＝6，∴d ＝2.

10．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为?

????－1，－78.

解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得????

?

d <0，a 8>0，

a 9<0，

即????

?

d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，

解

得－1

8

.

三、解答题

11．(2019·郑州质量预测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 5＝25，S 5＝55. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设a n b n ＝1

3n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，

由题意得?

???

?

a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝25，S 5＝5a 3＝5a 1＋5×4

2d ＝55，

解得?

??

??

a 1＝5，

d ＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.

(2)由a n b n ＝1

3n －1，得b n ＝

1

a n 3n －1

＝

1

3n －1

3n ＋2＝13(13n －1－1

3n ＋2

)，

T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13(1

2

－15＋15－18

＋…＋

13n －1－13n ＋2)＝13(12－1

3n ＋2

)

＝16－19n ＋6＝n

23n ＋2

.

12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－21，a 5与a 7的等差中项为1. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 10的值和T n 的表达式． 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得 ???

??

3a 1＋3×22d ＝－21，a 1＋4d ＋a 1＋6d ＝2，

解得?

??

??

a 1＝－9，d ＝2，则a n ＝－9＋(n －1)×2＝2n －11，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n

－11.

(2)令a n ＝2n －11<0，得n <

11

2

，即n ≤5，所以当n ≤5时，a n ＝2n －11<0，当n ≥6时，a n ＝2n －11>0.

又S n ＝n 2

－10n ，S 5＝－25，S 10＝0，

所以T 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－S 5＋(S 10－S 5)＝S 10－2S 5＝50. 当n ≤5时，T n ＝－S n ＝10n －n 2

；

当n ≥6时，T n ＝－S 5＋(S n －S 5)＝S n －2S 5＝n 2

－10n ＋50.

综上，T n ＝?

????

10n －n 2

，n ≤5，

n 2

－10n ＋50，n ≥6.

13．(2019·武汉市调研测试)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为－12.

解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，

又a 4a 6＝275，联立，

解得?

??

?? a 4＝11，a 6＝25或?

??

??

a 4＝25，a 6＝11，

当???

?? a 4＝11，a 6＝25

时，可得???

??

a 1＝－10，d ＝7，

此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0， ∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；

当?

??

??

a 4＝25，

a 6＝11时，可得?

??

??

a 1＝46，

d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7

时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．

综上，a n a n ＋1的最小值为－12.

14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；

(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)n

k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．

解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×4

2d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.

∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. (2)S n ＝－n ＋

3n

n －1

2

，2S n ＋8n ＋27＝3n 2

＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－

1)n

k

对所有的正整数n 都成立．

∴当n 为奇数时，k >－? ??

??n ＋1＋9n ；

当n 为偶数时，k

n

恒成立．

又∵n ＋1＋9

n

≥7，当且仅当n ＝3时取等号，

∴当n 为奇数时，n ＋1＋9

n

的最小值为7，

当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为29

4，∴不等式对所有的正整数n 都成立时，

实数k 的取值范围是－7

294

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15．(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝

a n ＋2

2

.

(1)求证：{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝

1a n ＋a 1＋1a n ＋a 2＋…＋1a n ＋a n ＋1

a n ＋a n ＋1

(n ∈N *

)，求证：b n ≤38.

证明：(1)∵2S n ＝

a n ＋2

2

，

∴当n ＝1时，a 1＝2.

当n ≥2时，8S n ＝(a n ＋2)2

，① 8S n －1＝(a n －1＋2)2

，②

由①－②得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0(a n >0)，则a n －a n －1＝4，∴{a n }是以4为公差的等差数列，即a n ＝4n －2.

(2)b n ＝

1a n ＋a 1＋1a n ＋a 2＋…＋1a n ＋a n ＋1

a n ＋a n ＋1

＝14n ＋14n ＋4＋14n ＋8＋…＋14n ＋4n －1＋1

4n ＋4n ＝14×1n ＋［1n ＋1＋…＋1n ＋n －1＋1n ＋n

］ <14×? ????1

n ＋1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＋1n ＋1＝14×? ????1n ＋n n ＋1.

设f (n )＝1n ＋n

n ＋1

，则f (n ＋1)－f (n )<0，

所以{f (n )}递减，14×? ????1n ＋n n ＋1≤14f (1)＝38，即b n ≤3

8

.