简单的三角恒等变换 知识点及习题

§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．

1．半角公式

(1)S α2：sin α2

＝____________________； (2)C α2：cos α2

＝____________________________； (3)T α2：tan α2

＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式

使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．

一、选择题

1．已知180°<α<360°，则cos α2

的值等于( ) A ．－1－cos α2 B.1－cos α2

C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α2

2．函数y ＝sin ????x ＋π3＋sin ???

?x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈???

?0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－1

4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3

5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )

A.?

???－π，－5π6 B.????－5π6，－π6 C.????－π3，0D.????－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2

等于( ) A ．－1B.1C ．2D ．－2

7．函数f (x )＝sin(2x －π4

)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23

，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45

，则底角的正切值为________． 10.

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计

的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．

三、解答题

11．已知函数f (x )＝3sin ???2x －π6＋2sin 2???

?x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．

12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825

，求cos ????θ2＋π8的值．

能力提升

13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )

A.32B ．－32

C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．

知识梳理

1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2

(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α

1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2

点(a ，b ) 作业设计

1．C

2．B [y ＝2sin x cos π3

＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ????x －π4，x ∈???

?0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4

， ∴f (x )min ＝2sin ????－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ?

???2x ＋π3＋θ. 当θ＝23

π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .] 5．D [f (x )＝2sin ????x －π3，f (x )的单调递增区间为????2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为???

?－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45

， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π

解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22

cos2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459

解析 设α为该等腰三角形的一底角，

则cos α＝23

，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2

1－????232·23＝459

. 9．3

解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45

， 底角大小为12(180°－α)．

∴tan ????12(180°－α)＝tan ????90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535

＝3. 10.725

解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈???

?0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15

. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.

∴cos θ＋sin θ＝75

. ∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725

. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2????x －π12＋1－cos2???

?x －π12 ＝2????32

sin2????x －π12－12cos2????x －π12＋1 ＝2sin ???

?2????x －π12－π6＋1 ＝2sin ????2x －π3＋1，∴T ＝2π2

＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ????2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2

， 即x ＝k π＋5π12

(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12

，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，

|m ＋n |＝

(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝

4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ????θ＋π4 ＝21＋cos ????θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825

，得cos ????θ＋π4＝725. 又cos ????θ＋π4＝2cos 2???

?θ2＋π8－1， 所以cos 2????θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π，

∴5π8<θ2＋π8<9π8

. ∴cos ????θ2＋π8<0.

∴cos ????θ2＋π8＝－45

. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13???

?213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )

＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2

时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2

＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，

∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313

. ∴tan x ＝－32

.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°

＝112sin(x ＋20°)＋532

cos(x ＋20°)＝????1122＋????5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314

.所以f (x )max ＝7.