三角恒等变换考点典型例题
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二）
三角恒等变换
一、考点、要点、疑点：
考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点：
1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形
2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形
3、 )sin(cos sin 22?ωωω++=
?+=x B A y x B x A y
4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点：
1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=
??
?
??--??? ??-=+βαβαβα222
等）
2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次
3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符
号确定，θ角的值由a
b
=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维：
1、下列等式中恒成立的有
① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=-
③ )]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+=?
2、化简：
① 0
53sin 122sin 37sin 58cos +＝
② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2
(
,5
3cos ππ
θθ∈-=，则)3
cos(
θπ
-＝ ，)23
cos(
θπ
-＝
4、若αtan 、βtan 是方程0652
=-+x x 的两根，则)tan(
βα+＝
5、已知)2,0(,54sin παα∈=
，则α2sin ＝ ；α2cos ＝ ；2
sin α
＝ ； 2
t a n α
＝ ；α3sin ＝ ；αα2sin 2cos 2-+＝
6、已知1cos 3sin -=-m αα，则实数m 的取值范围是 。
三、典型例题解析： 例1、已知5
2sin =α，α是第二象限角，且1)tan(=+βα，求βtan
例2、若316sin =???
??-απ，则??
? ??+απ232cos = 例3、求值：（1）0
0040cos 20cos 10sin ；（2）0
0020
cos 20sin 10cos 2-； （3）)44tan 1)(1tan 1(00++
例4、（07安徽）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π?
?=+ ?8?
?的最小正周期，
)1),41(tan(-+=βα，)2,(cos α=，且m =?，求22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值．
例5、已知),0(,π∈B A ，且3
1
tan ,71tan ==B A ，求角A ＋2B 的值。
例6、已知0,14
13
)cos(,71cos 且=-=βαα<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.
四、课堂练习：
1
、已知sin α=
，则44
sin cos αα-的值为 2、已知1sin cos 5θθ+=，且4
32π
θπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．
3、若53cos =x ，则)4sin()4sin(x x +-π
π＝
4
、若cos 2π2sin 4αα=-
?
?- ?
?
?cos sin αα+的值为 5、若1cos()5αβ+=，3
cos()5
αβ-=，则βαtan tan ?＝_____．
6、已知b a =+=+βαβαcos cos ,sin sin ，则)cos(βα-＝
7、函数sin 2cos 263y x x ππ???
?=+
-+ ? ?????的最小正周期为 ，最大值为 8、函数??? ??+??? ??
+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T
9、已知3
1
)2tan(,21)2tan(-=-=-αββα，求)tan(
βα+
10、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??????
，上的最小值和最大值．
参考解答：
激活思维：1、①③ 2、0
5cos ，β2cos 3、
50
3
247,10334+-
- 4、75- 5、
5
3
3,
12544,21,55,257,2524- 6、]3,1[- 例题解析：1、－3 2、97-
3、2,3,81
4、)2(2+m
5、4π
6、47
38-，3π
课堂练习：1、53- 2、257- 3、507- 4、21 5、252 6、2
2
22-+b a
7、3,π 8、π 9、24
7
10、1,2,-π
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
三角恒等变换问题(典型题型)
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换测试题 第I 卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位
三角恒等变换考点典型例题
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）
A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案
三角函数与三角恒等变换(A) 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 ，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合 的实数m的取值范围是_________. 5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 的最小正值为___________. 8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.
9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________. 11. 函数 的递减区间是___________. 12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么 __________. 13. 若函数y＝sin(x＋ )＋cos(x＋ )是偶函数，则满足条件的 为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知 ，求
的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间 上的图象. 17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6( )的值域. 18. (本小题满分16分)已知函数 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间. 19. (本小题满分16分)设函数
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ
完整版简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习、公式体系
(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2
三角恒等变换经典练习题
专题五《三角恒等变换》综合检测 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-
三角恒等变换-知识点+例题+练习
两角和与差的正弦、余弦和正切 基础梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ? ???α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝ α＋β2
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结及练习
第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++= - ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2 αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα =-． 2６、 2７、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： (１）角的变换:在三角化简,求值，证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角 之间的和差，倍半,互补，互余的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异,使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍;2α是4 α的二倍； ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2 cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-±=+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 22αααααα万能公式+-=+=
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一 一、选择题 1．(2014年太原模拟)已知53 )2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ( ) A. 2512 B ．2512- C ．25 7 - D. 257 2．若54cos -=α,且α在第二象限内，则)4 2cos(π α+为( ) A ．50231- B. 50231 C ．50217- D. 50 217 3．(2013年高考浙江卷)已知2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 34 B. 43 C ．34- D ．4 3 - 4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin ( ) A ．1- B ．22- C. 2 2 D ．1 5．(2014年云南模拟)已知53 )4sin(=-πx ,则x 2sin 的值为( ) A ．25 7 - B. 257 C. 259 D. 2516 6．计算??-??13sin 43cos 13cos 43sin 的结果等于( ) A. 2 1 B.33 C.22 D.23 7．函数)sin (cos sin )(x x x x f -=的最小正周期是( ) A. 4π B. 2 π C ．π D ．π2 8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos 3)4(sin 2)(2π ππ≤≤-+=x x x x f 的最大值为( ) A ．2 B ． 3 C ．32+ D ．32- 9.（2010理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( ) A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4 π 个长度单位
三角恒等变换练习题
1三角恒等变换练习题 一、选择题 1．已知(,0)2x π ∈-，4 cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724 - 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A.5π B.2π C.π D.2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ） A.周期为4π 的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π 的偶函数 6．已知cos 2θ=44 sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- 7．设212tan13cos66,,221tan 13a b c =-==+o o o o 则有（ ） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a << 8．函数221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是( ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 9．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．1 2 C ．2- D ．2 10．已知3 sin(),45x π -=则sin 2x 的值为（ ） A.1925 B.16 25 C.14 25 D.7 25
3-5第五节 三角恒等变换练习题(2015年高考总复习)
第五节 三角恒等变换 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ? ???? π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－1 7 C ．－4 3 D ．－7 解析 依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan2α＝2×21－4＝－4 3， 所以tan ? ????π4＋2α＝1－ 4 31＋43 ＝－1 7 . 答案 B 2．已知cos ? ????x －π6＝－33，则cos x ＋cos ? ?? ?? x －π3的值是( ) A ．－23 3 B ．±233 C ．－1 D ．±1 解析 cos x ＋cos ? ????x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋3 2sin x ＝3? ?? ??32cos x ＋12sin x ＝3cos ? ????x －π6＝－1. 答案 C 3．已知cos2θ＝2 3 ，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.13 18 B.1118
C.79 D ．－1 解析 ∵cos2θ＝23，∴sin 2 2θ＝79，∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－ 2sin 2 θcos 2 θ＝1－12(sin2θ)2 ＝1118 . 答案 B 4．已知α＋β＝π 4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵α＋β＝π 4tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案 C 5. (2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分 别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为? ????35，45和? ?? ?? －45，35， 则cos(α＋β)的值为( )
三角恒等变换练习题(精品)
三角恒等变换练习题 1．已知5 3)2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ__________ 2．若5 4cos -=α,且α在第二象限内，则)42cos(πα+=__________ 3．已知2 10cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan __________ 4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin __________ 5．已知5 3)4sin(=-πx ,则x 2sin =__________ 6．函数)2 4(2cos 3)4(sin 2)(2π ππ≤≤-+=x x x x f 的值域为__________ 7、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于__________ 8.为了得到函数sin(2)3 y x π=-的图像，只需把函数x y 2cos =的图像( ) A. 向左平移65π个长度单位 B. 向右平移6 5π个长度单位 C. 向左平移125π个长度单位 D. 向右平移12 5π个长度单位 9．x x y sin cos 3+=的图象向左平移)0(>m m 个单位后，关于y 轴对称，则m 的最小值是_________ 10．若31)6sin(=-απ，则=+)23 2cos(απ_________ 11．若5 42sin ,532cos -==θθ，则角θ的终边所在的直线为( ) A ．0247=+y x B ．0247=-y x C ．0724=+y x D ．0724=-y x 12.已知锐角α的终边上一点)40cos 1,40(sin ?+?P ,则锐角=α_________ 13．已知10 10sin ,55sin ==βα,且βα,都是锐角,则=+βα________ 14．已知21)4tan(=+π α,且02<<-απ,则=-+)4cos(2sin sin 22πααα_________ 15．已知2524sin - =α,则2tan α=_________ 16．? ?-?70sin 20sin 10cos 2=______________
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题 一、选择题 1．已知sin α＝2 3 ，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 2． 2cos10°－sin20° sin70° 的值是( ) A.12 B.3 2 C. 3 D. 2 3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2 B.1－m 2 C ．±1＋m 2 D.1＋m 2 4．若 cos2αsin ? ? ? ??α＋7π4＝－2 2，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.7 2 5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1 sin x 2cos x 2 ，则f ? ?? ?? π12的值为( ) A ．4 3 B.83 3 C ．4 D ．8 6．已知cos ? ????π6－α＋sin α＝45，则cos ? ? ? ??α＋2π3的值是( ) A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43 15
7．已知α，β∈? ?? ?? 0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A.14 B.34 C.34 2 D.3 2 8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α 的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.23 3 9．已知sin2α＝－ 2425，且α∈? ?? ?? 3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4 5 10．已知α∈(0，π)，cos ? ? ???α＋π6＝22 ，则tan2α＝( ) A.33 B ．－3 3 C. 3 D ．－ 3 二、填空题 11． 3tan12°－3 (4cos 212°－2)sin12°＝________. 12．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2 三角恒等变换 1. （10 四川理）（i ）①证明两角和的余弦公式 C （_ .：）: cos （、.：. 「）=cos 〉cos 「si n si n|； ②由C （_.推导出两角和的正弦公式 S （一. .）：sin （二亠））=sin :? cos - - cos ：? sin : 2. 运用向量知识证明两角差的余弦公式 C （一 -） : cos （：?- -）= cos 〉cos ］亠si n sin 卜 3. （08 山东理）已知 cos （「- 6） sin 4 Y 3，则 sin （：：￡ 亠 6 二）的值是 （） A. - 5 丫3 B. 5 *3 4. （08天津理）已知COS （X --4） （i ）求sin x 的值； 5. （10 福建理）sin43： cos13： A .舟 B . -3 C . 6. 化简： ；cosx - #sin x = .3 sin x cosx 二 -2(sin x -cosx)= 、一 2 cosx - ... 6 sin x 二 3cosx - in x = asin x bcosx = 7. (10全国i 理)已知j 为第三象限角，cos2「= 一3，则tan(4 ? 2用)= 8. (1)证明：tan x " ta n - -ta n(；亠 I J -ta n ： tan ： tan (亠!■)； (2) 求 tan 20 ； tan 40'：' * 3 tan 20 tan 40” 的值； (3) 若：:二于，求(1-tan-：J(1_tan ：)的值； (4) 求 tan20- 伽40- 伽120“ 的值 9. (1 tan 1 )(1 tan2 )1)( (1 tan44)(1 tan45)二 10. tan(1、8「x)tan(12 x)亠,.,3[tan(18「x) tan(12 x)] 倍角公式 陕西理)若3sin 壽-cos =0，则 2 1 cos Of cos2 OE A. J 31 B. 5 C . 2 D. -2 16. （10江西理）E,F 是等腰直角 ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan^ECF = A 16 B 2 C 迢 D 2 _ 4 二 5 c. ~4 D.售 = G ，菩). ( n )求 sin(2x V)的值. _cos43：sin13：二() 玄 D 更 2 ' 2 (5) (6) tan20 tan40、 11.(10 新课标理）若cos = -4，二是第三象限的角，则 1 tan 2- 1 Jan 2' A. 12.(08 宁夏海南理 2 C . 2 、 3 -sin 70 ) 厂 '2 -cos 210 D. -2 C . 2 于，则 5 A.舟 B. 陕西理）已知sin -：：二 1 3 小 飞 B. 飞 C. 13.(07 D. ?4 sin -■ A. D. 2 4 -cos 二二 3 5 14.(07 浙江理）已知sin 二■ cos- 1 ，且〒—二—于，贝U cos2^的值是 15.(09 三角恒等变换基础题型 一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟 4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D． 5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D． 6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（） A．﹣ B．﹣ C．D． 7．若，则=（）A． B．C．D． 8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D． 9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D． 10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（） A．B．C．D． 12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣ 13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7 15．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D． 16．cos15°?cos105°﹣cos75°?sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣ 17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣5 19．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D． 21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D． 23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D． 24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（） A．1 B．2 C．D．3 25．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2三角恒等变换典型题A4
三角恒等变换常考题(含答案)