中学数学教学中的向量(续3)

中学数学教学中的向量(续3)

齐民友

(武汉大学数学与统计学院　430072)

413　关于立体几何的教学

立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了.

设有一个立方体,边长为1,过O ′,A ,C 三点作一平面,联结OB ′.证明它与此平面垂直,设OB ′与此平面交于P 点,求OP 之长.

把图画出来,差一点的学生就眼花缭乱了,似乎

OB ′C ′是一条直线,其实又

不是.哪一条直线被掩盖住了,我画的图可能是错的.如果是画对了,又恰好把有用的东西遮盖起来了.

图19　一个简单的

立体几何题如果换一个想法:立方体12条棱,8个顶点中的5个还有6个面,都是没有用的,真正有用的只有下图

(其实三条坐标轴也只是辅

助性的).学生在这里的问题与其说是缺少空间想象

力,不如说是缺少从纷繁的

图形中把有用的要素提取出来的能力.而从上图看

出真正有用的只是下图.这又不只是想象力问题,而是需要较高的数学素养才行.

因此,我们的任务是如何帮助学生走一条比较平易的道路.我认为,数形结合(现在是代数化)是一个有效方法.看到题中讲的立方体,就自然想到下图的直角坐标系,以及有关的坐标.我们需要的

全部信息就全在其中了,其它都可以置之不理.这就是下图的来源.

于是就会问,经过这三点的平面方程是什么等等.下面的问题就只是最简单的代数计算了.图上看不清的全部可以算清,这就是热尔梅那句话的意义.

读者会问,讲平面的方程是否超过课标?本来课标中已规定要讲空间直角坐标,由此再到平面的方程也就只是一句话的事.值得注意的是,哪怕只是一句话,怎样说才好,我以为最好不要只是提出定义等等.因为提出一个定义就会带来一串定义,于是就有了多少个“知识点”,麻烦就多了.

现在我们提出一个问题:在研究空间直线与平面时,怎样去刻画它们?从数学上看有两个办法,一是问它们自身包含了什么样的

向量.以直线为例,必是先有一个向量v ,而{λv }(λ是实数)就是一条直线(图上的虚线).但它一定通过原点.我们把它平移一下,使O 点移到x 0,这就得到了通过x 0而方向为v 的直线l.如果用x 表示l 上的任一点(即其位置向量),就得l 的表示法:

x =x 0+λv

(28)

图20　怎样用向量表示

直线和平面

不论是平面直线与空间直线都可以这样写出来.我们不妨称

(28)是直线(平面的

或空间的)的方程.而且依我之见,完全不必再给它加一个诸如向量方程或参数方

程的名称.平面也是一样,先有两个不共线(这三个字可是少不得)的向量v1,v2,按前面对于向量的几何描述的规定它们“张”起了一个经过原点的平面{λv1+μv2},(λ,μ是实数)即图上的虚线方框,再把O平移到x0就得到经过x0的方向为v1,v2的平面Π,其方程为

x=x0+λv1+μv2(29)言多必失,开场白到此为止.我以为我们在教学中的一个毛病就是讲得太多.不是语言问题,而是说了一些不必说的话.好比今天社区开会,有人敲门进来,主持人说:“张总您好,请这边坐.”又来一位客人,于是:“王大爷请这边坐”.人坐定了主持人宣布开会:“近年养狗的人多了,昨天张总的小狗咬伤了王大爷的小孙女,今天我们开会立一个养狗的规矩”.至于张总的年收入多少,在哪里上班,王大爷年龄多少,曾经当过模范等等,如果到最后吵到法院上去了,由法官去问好了,社区开会讲那么多干什么?教书也是一样,该法官讲的事,您不要讲.我不完全了解中学教学的情况但据我在高校教书的经验看来,讲得太多正是通病.以为不如此就不够严格,不够系统,结果反而加重了学生的负担,烦琐不堪,效果不好.

暂时把这些议论放在一边,下面讲刻画平面与直线的另一个办法:就是用该平面或直线包含它的空间(即R3)的关系来刻画它们.以平面为例,包含平面的空间就是图上画的x,y,z空间.要决定平面Π,一是要指定空间中的一点x

.要决定平面Π通过此点.再则要求平面Π有一个指定的法线向量n= (n1,n2,n3).什么是法线向量?Π是由虚线方框所代表的平面{λv1+μv2}经平移得来的.法线向量就是与构成Π的向量(也就是所有的λv1+μv2)都垂直的向量.不过我们要注意,如果n是法线向量,则对任意实数c≠0,c n也是法线向量,零向量当然也与一切λv1+μv2垂直,但是这样说没有意思,所以上面规定c≠0.还要注意,对于研究平面和直线,重要的是作为一个向量的法线方向,而不是作为一条直线的法线.因为所有各点的法线方向都相同.但在研究曲线曲面时则不同了.通常的立体几何教材中有某一直线n(我们用一个向量n来表示直线,读

者当然会领会到其原因)与某一平面Π相垂直的判定定理与性质定理之分.当我们用向量来讨论垂直性时,这种分别是不重要的.因为平面Π是由过原点的所有向量张成的虚线方框平移而得的.后来的平移不影响这些向量的方向.所以,谈n与构成Π的所有向量垂直,也就是讨论n与所有{λv1+μv2}垂直.其充分必要条件就是n·v1=0,n·v2=0.但是v1,v2构成基底(即不共线)这一条件必不可少,否则{λv1+μv2}不能表示构成Π的所有向量.但是平面不只有一组基底,如果n换用另一组基底{v′1, v′2},则n与平面上一切向量垂直的充分必要条件又可以表示为n·v′1=0,n·v′2=0.由平面向量的基本定理,v′1=αv1+βv2,v′2=γv1+δv2,或者v1=α′v′1+β′v′2,v2=γ′v′1+δ′v′2.所以由n·v i=0,(i=1,2)必可得到n·v′i=0,(i=1,2).反之亦然.所以n与平面垂直的充分必要条件是对某一组基底{v1,v2}有n·v1=n·v2=0.在这里我们没有区别判定定理与性质定理,而可将以上所述归结为

定义　若n与任意两个不共线的构成Π的向量垂直,则称n为Π之法线向量.

这样说的好处一是突出了向量的线性结构;二是突出了垂直性.既然讲的是向量的数量积,则是本文第二部分讲的概念,而与“起点”无关.既不问法线是哪一点的法线,也不问Π上与法线垂直的直线通过什么样的点(通常教材都说与Π上的所有‘直线’垂直,但我们只说与一个向量垂直.法线向量是线性空间的概念,而下面我们会看到直线则只是A空间中的概念).

现在用坐标来表示第二种刻画方法.设Π是由虚线方框中的“平面{λv1+μv2}”经平移到x0而成, n是Π的法线向量,则由定义

n·(x-x0)=0(30)如果n,x0,x之分量坐标(或分量)是(A,B,C), (a,b,c),(x,y,z),则上式成为

A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0

或

A x+By+Cz=D　A,B,C不同时为0(31)我们称(31)是平面Π的方程.至此,不必再多讲关

于方程的事,例如什么(31)是“一般方程”而(29)是“参数方程”(参数方程何曾不一般?)之类.重要在于(29)与(31)表示了我们研究空间中的平面的两种不同方法.(31)向我们直接地提供了法线向量的信息:(A,B,C)就是法线向量.正因为如此,用任意非零常数c乘(31)的双方仍表示同一平面,因为(cA,cB,cC),(c≠0)与(A,B,C)同为法线向量,表示相同的方向.

对于直线l也可以从包含它的空间的角度来考查.这时就看到平面直线与空间直线的区别.一方面,它们都可用(28)表示,区别并不在于其中的向量x,x0,v是平面向量还是空间向量,因为同一个向量既可看作是平面向量也可看作是空间向量.在讨论余弦定理时我们专门讨论过这一点.但是如果包含它的空间是平面或空间,则它与包含空间的关系情况不同了.在平面上看,与l垂直的方向(法线向量n的方向)只有一个.c n,c≠0所表示的方向与n 的方向相同.如果l用所谓“一般方程”A x+By= C(A,B不同时为0)表示,此方向就是(A,B),在l 上取一点(x0,y0)则A x0+By0=C与上式相减,则这个“一般方程”可写成A(x-x0)+B(y-y0)= n·(x-x0)=0.这正是对于直线l的(30)式,你愿意把它称为“一般方程”也可,其还可称为“海赛(Hessian)法式方程”那就还要向学生解释海赛是谁———可见多一个名词并没有好处,倒是可以由此找出l上的向量v=(v1,v2)来.因为n·v=Av1+ Bv2=0,所以不妨令v=(-B,A),它恰好标志了l 自身的方向,我们常讲的斜率就是tanθ=-A

B

,可

见若B=0(即倾角θ=π

2

),斜率这个概念没有用

了,倒是应用(-B,A)更“安全”.这当然更多是一个习惯问题,实质性的影响不大.

但是对空间问题情况就复杂了.我们不妨把l 想象为z轴,那么,(x,y)平面上的所有向量(千万不要认为平面向量与空间向量有本质的区别!)都可以作为法线向量.需要注意的是:这些向量构成一个2维线性空间.重要的并不在于向量“本身”是平面的(2维的)还是空间的(3维的).向量是什么?

第一部分明确地说:向量就是线性空间的元素,可以按一定规矩来加,来用实数去乘它.本身无所谓平面与空间之分,到我们考虑的那些向量所成的“集合”(即全体)构成一个线性空间后,我们可以问这个空间的维数.这时,平面或空间的区别才显出来了.可见维数对于向量“本身”,可以说是“身外之物”.对于空间直线来说,法线向量构成一个“平面”———所谓法平面.但是在空间中研究平面,例如在(29)中,重要的是在构成它的向量中要找出一个基底来.现在也一样,在众多的构成2维线性空间(法平面)的法向量中,要取出一个基底(n1,n2)来.对于n1和n2可以各自作一个平面,均通过(28)式中的x0,而且以n1和n2为其法线向量,这两个平面就是:

A1(x-x0)+B1(y-y0)+C1(z-z0)=0,

(A1,B1,C1)=n1

A2(x-x0)+B2(y-y0)+C2(z-z0)=0,

(A2,B2,C2)=n2(32) l就是这两个平面的交线.这个讲法是我们最熟悉的,但是有一个问题:同一条直线可以用不同的n1, n2来刻画其法平面,不同的两组平面可以决定同一直线l,那么,从(32)如何来确定两条直线是相同还是不同?这与(29)式用不同的v1,v2表示同一平面有同样的困难.当然应用线性代数课程中讲的秩的理论解决起来并不难,但对中学数学显然是过分了.这就使得我们在把向量方法用于直线与平面问题时需进一步考虑:几何方法与代数方法各占什么份量.在这以前,我们先把上面讲过的内容列表总结如下:

3维空间中的直线与平面

通过其上的向量刻

画

通过数量积刻画

直

线

·x=x0+λv

·作为向量方程是

一个方程

·作为分量的方程

共三个方程

·找到法平面的一

个基底n1,n2构作

(32),n1·(x-x0)

=n2·(x-x0)=0.

·必然产生基底变

为n′1,n′2时(32)式

如何改变的问题

通过其上的向量刻

画

通过数量积刻画

平面

·找到构成相应线

性空间的基底v1,

v2得到(29)式:x

=x0+λv1+μv2

·如果把v1,v2换成

另一个基底v′1,

v′2(29)式如何改

变

·n(x-x0)=0或

A x+By+Cz=D

·用同常数c≠0去

乘,得到同一平面

·只需一个方程

2维空间的情况简单得多,总之,这个表里显出

明显的对偶性.从表面上看,左上右下两框比较简单.现在我们回到图19上的那个题目.

首先要研究平面O′A C,为此我们按右下框的思路去找它的方程A x+By+Cz=D,要注意这里有点麻烦,因为不少师生会去找一个“题型”:已知三个定点(x

i,y i,z i),i=1,2,3,如何求上述A,B, C,D?“题型”一说真是害人不浅,学生会把(x i,y i, z i)i=1,2,3代入以下方程:

A x+By+Cz=D,

得到含4个未知数(A,B,C,D)的3个一次方程,但这种未知数个数与方程个数不同的联立方程怎么办?当然线性代数里有办法,但是把中学数学引导到这类问题中,岂非自找苦吃?应用向量方法于立体几何问题时常需要较多线性代数知识.我以为应当避免过多地专注于代数,而把注意力放在对具体情况的分析上.例如从图19上看到x,y,z三个轴与图中平面处于对称地位,自然可以设想A,B,C相等.因此该平面或可写为x+y+z=D/A,再以一个点(1,0,0)试验,即知D/A=1,就给出了解答.于是平面O′A C之方程为x+y+z=1,而(1,1,1)是其法线向量.

再按左上框去讨论直线OB′.当然应取x0=0, v则是向量OB′=(B′-O)=(1,1,1)所以OB′的方程是

x=λ(1,1,1)

即

x=λ,y=λ,z=λ

一方面立即可见OB′的方向即平面O′A C之法线方向,所以OB′⊥O′A C.再以上式代入平面方程即得交点P对应于λ=1

3

.既然P点在线段OB′的

1

3

处,自然有|OP|=3

3

.

图21　三垂线定理

再举一例,立体几何中常讲“三垂线定理”,后来可能感到难了一些就不讲了,现在的教材就只提一下,我“百度”了一下“三垂线定理”,发现有多个教案,都把它说得很玄.其实从图21一看,这些教案讲的无非是OP与l并不相交怎么办.但是从现在的理解看,互相垂直是只涉及方向的问题,本来就与起点无关.用综合几何的方法,就一定要考虑起点,而OP与l并不相交,就使得起点不好找了.但如果用向量方法,向量本来就只有方向与大小(大小还用不上),起点都“自动地”搬到线性空间的原点(不一定是平面Π的O点)去了.这里的问题完全消解.所以用v表示构成l的向量(又是左上框),由于OP=OA+A P,读者应该用熟了沙尔定理,不会为OP究竟是固定起点的有向线段还是代表其向量成分而犯愁了,用数量积的分配律

OP·v=OA·v+A P·v=OA·v

所以OP与l垂直的充要条件就是其投影与l垂直.这不就是三垂线定理吗?何必一定要列一个名目呢?所以用了向量方法以后,没有三垂线定理真是一点关系也没有,但不能没有数量积的分配律.

再举一个2006年湖北省一道高考题为例:

图22　一道高考题在棱长为1的正方

体AB CD-A1B1C1D1

中,P是侧棱CC1上的一

点,CP=m.

(1)试确定m,使得

直线A P与平面B DD1B1

所成角的正切值为32;

(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得

对于任意的m,D1Q在平面A PD1上的射影垂直于A P,并证明你的结论.

很自然地,我们会取坐标系如图,所谓A P与B DD1B1之交角θ即A P与此平面法线交角φ的余角,因此关键是找出这个法线向量.至于法线在哪一点生根并不重要.但为此又只需找出此平面的方程,其实不必作A x+By+Cz=D并以若干点的坐标代入,利用我们的几何直觉,把BDD1B1看成一扇门,AB CD看成地板,则BD就是门缝!与它垂直的例如AC(不必在图上画了)必与此门垂直.注意到A=(0,0,0),C=(1,1,0),P=(1,1,m),立即有

AC=(

1,1,0),A P=(1,1,m)

因此

cosφ=(AC·A P)/|AC|·|A P|

=2/2(2+m2)=

2

2+m2

即sinθ=2

2+m2

.这里我们又从图上看到θ,φ一定是锐角,所以在定根号符号时不发生歧义:cosθ=

m

2+m2,tanθ=

2

m

,由题设,m=1/3.这个解法比

标准答案以及综合几何方法好.因为代数运算代替了一切求作补助线等等,所以不易出错,关键就是要用平面的方程(没有写出来)直接得出法线向量.对学生要求一个几何直观:法线向量只有大小和方向,起点放在哪都一样.

第二部分就是“三垂线定理”.我们不这么说,标准答案上也没有点明,实际上还是用数量积的分配律好.所以作D1Q的投影D1N.于是.

D1Q·A P=D1N·A P+NQ·A P=D1N·A P.所以D1N⊥A P之充要条件即D1Q·A P=0把Q的坐标写出来Q:(x,x,1),x未定.于是问题全部解决.

在立体几何教学中应该多用解析方法(包括向量方法)还是多用综合方法?本来没有一定之规.一般说来,把问题化为代数问题比较容易找到确定的解法,不会茫然不知所措,比较易教易学.但是终究直观性较差,运算麻烦了同样会感到茫然.综合几何方法比较难,但是确有几何特有的魅力,时有神来之笔,教师不说学生都能真正体会到数学的美.但是,从整个数学的发展来看,目前还是对向量方法的优美与潜力注意不够.本文的主旨也在此,读者也可看到,课标提出二者结合,灵活运用,是很正确的.但是,如何实现还等努力.

本文开始时提了三个怪问题,前两个在正文中都已解释了.第三个,北京的北风加上海的东风———还没有解释.提出这个怪问题是因为向量(大小、方向)与起点的关系从现实生活看可以是平移也可以不是.如果是平移,则不但有起点而且有终点.风有起点:“微风起于青萍之末”.但是“万里长风”哪里是终点?风的问题其实是一个向量场(风场)问题:每点各有一个向量———各个地方各吹自己的风,这时似乎向量又有了起点———于是人们就想,就把这一点当作原点好了.所以,在讲向量时心理上总会感到向量有起点,而且就是问题中提到的点(北京或上海),这是有原因的.总之,我们就会把向量的起点(线性空间中的原点,即零向量)与物理空间的原点(具体的地址)混起来了.因此,准确一点说,现在我们有了两个线性空间(北京的风与上海的风).两个不同线性空间的向量怎么能相加?这个问题听起来怪,其实非常常见.如果有两个电荷,大小相等方向相反:+q和-q,放在非常接近的地方.例如有许多化合物的分子,如HCl(氯化氢,盐酸),形如一个小纺锤,一端荷正电另一端荷负电,但不会互相抵消,正负电荷哪怕位置相近到同在一个分子之内也不能相加.这种电荷系统称为偶极子.我们用的天线时常以偶极子为基础.总之,向量本身只有大小和方向,而起点要另作研究,这不但是为了得到一个无矛盾的数学理论,也是现实世界给我们的启发.向量的几何表述是起点在原点的有向线段,而这个原点是线性空间的原点而不是物理空间的某一个点.这不但是数学上而且是物理上合理的作法.这就是设定第三个怪论所想表述的思想.至于把向量看作平移,并由此得到A空间,则是点与向量关联的一种方式,而我们在中学几何教材中遇到的许多问题这样才能说清.(全文完)