高考物理一轮复习 第二章 第3节 力的合成与分解讲义(含解析)-人教版高三全册物理教案

力的合成与分解

(1)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。(√)

(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)

(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)

(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(5)两个力的合力一定比其分力大。(×)

(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)

(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)

突破点(一) 力的合成问题

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大

小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

类 型 作 图 合力的计算

①互相垂直

F ＝F 12＋F 22

tan θ＝F 1

F 2

②两力等大，夹角为θ

F ＝2F 1cos θ2

F 与F 1夹角为θ2

③两力等大且夹角120°

合力与分力等大

(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力的大小X 围

(1)两个共点力的合成

|F 1－F 2|≤F 合≤F 1＋F 2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F 1－F 2|，当两力同向时，合力最大，为F 1＋F 2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F 1＋F 2＋F 3。

②任取两个力，求出其合力的X 围，如果第三个力在这个X 围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个X 围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

[题点全练]

1.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F

与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法中正确的是( )

A．合力大小的变化X围是0≤F≤14 N

B．合力大小的变化X围是2 N≤F≤10 N

C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N

D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N

解析：选C 由题图可知：当两力夹角为180°时，两力的合力为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10 N。则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确；D错误。当两个力方向相同时，合力等于两个力之和14 N；当两个力方向相反时，合力等于两个力之差2 N，由此可见：合力大小的变化X围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。

2．[多选]对两个大小不等的共点力进行合成，则( )

A．合力一定大于每个分力

B．合力可能同时垂直于两个分力

C．合力的方向可能与一个分力的方向相反

D．两个分力的夹角θ在0°到180°之间变化时，θ角越小，合力越大

解析：选CD 不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，A错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直两个边，B错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，即与较小力的方向相反，C正确；两个大小不变的力，其合力随两力夹角的减小而增大，当夹角为零时，合力最大，D正确。

3．一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，其中F3＝4 N。下列说法正确的是( )

A．三力的合力有最大值14.3 N，方向不确定

B．三力的合力有唯一值8 N，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值12 N，方向与F3同向

D．由题给条件无法求出合力大小

解析：选C 根据平行四边形定则，作出F1、F2的合力如图所示，大小等于2F3，方向与F3相同，再跟F3合成，两个力同向，则三个力的合力大小为3F3＝12 N，方向与F3同向，C正确。

突破点(二) 力的分解问题

1．按作用效果分解力的一般思路

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)方法：物体受到F 1、F 2、F 3、…多个力作用求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解。

x 轴上的合力：

F x ＝F x 1＋F x 2＋F x 3＋…

y 轴上的合力：

F y ＝F y 1＋F y 2＋F y 3＋…

合力大小：F ＝F x 2＋F y 2

合力方向：与x 轴夹角设为θ，则tan θ＝F y F x

。

[典例] (2019·某某模拟)用细绳AC 和BC 吊起一重物，两绳与竖直

方向的夹角如图所示。AC 能承受的最大拉力为150 N ，BC 能承受的最大拉

力为100 N 。为了使绳子不断，所吊重物的质量不得超过多少？(g 取10

m/s 2)

[思路点拨]

(1)以结点C 为研究对象，进行受力分析，可以沿水平、竖直方向建立直角坐标系，对力进行正交分解。

(2)两绳作用力不可能同时达到最大，要先用假设法判断哪个先达到最大值。 [解析] 设重物的质量最大为m ，此时C 点处于平衡状态，对C 点受

力分析如图所示：

水平方向上：

T BC sin 60°＝T AC sin 30°①

设AC 绳先达到最大拉力150 N

即：T AC ＝150 N

由①式解得：T BC ＝50 3 N ＜100 N ，说明此时BC 绳子还未达到拉力的最大值，但AC 绳子已经达到拉力最大值。

在竖直方向：T BC cos 60°＋T AC cos 30°＝mg

解得：m ＝T BC cos 60°＋T AC cos 30°g

＝503×0.5＋150×

3

210 kg ＝10 3 kg 。

[答案] 10 3 kg

[方法规律] 力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

[集训冲关]

1.[多选](2018·某某期末)将一个F ＝10 N 的力分解为两个分力，如

果已知其中一个分力F 1方向与F 成30°角，则关于另一个分力F 2，下列说

法正确的是( )

A ．F 2的方向不可能与F 平行

B ．F 1的大小不可能小于5 N

C ．F 2的大小可能小于5 N

D ．F 2的方向与F 1垂直时F 2最小

解析：选AD 根据力的三角形法则，不在一条直线上的两个分力和合力组成一个矢量三角形，F 2的方向不可能与F 平行，故A 正确；两个分力和合力只要能组成一个矢量三角形

都是有可能的，F1的大小有可能小于5 N，故B错误；要组成一个矢量三角形，F2的最小值为5 N，故C错误；根据点到直线的距离，垂线最短，F2的方向与F1垂直时F2最小，故D 正确。

2.(2019·某某模拟)生活中的物理知识无处不在，如图所示是我们衣服

上的拉链的一部分。在把拉链拉开的时候，我们可以看到有一个三角形的东

西在两链中间运动，使很难直接分开的拉链容易地拉开。关于其中的物理原

理以下说法正确的是( )

A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了分开两拉链的力

B．拉开拉链的时候，三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大分开拉链的力

C．拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力，但合上拉链时减小了合上的力D．以上说法都不正确

解析：选A 在拉开拉链的时候，三角形物体在两链间运动，如图

所示，手的拉力在三角形物体上产生了两个分力，分力的大小大于拉力

的大小，所以很难直接分开的拉链很容易拉开；合上拉链时，三角形的物体增大了合上拉链的力，故A正确，B、C、D错误。

突破点(三) 对称法解决非共面力问题

在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类平衡问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。

解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。

[典例] (2018·某某综合测试)如图是悬绳对称且长度可调的

自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的

长度l1

A．F1F2

C．F1＝F2G

[方法点拨]

降落伞的悬绳对称，则各悬绳上的拉力大小相等，且各悬绳与竖直方向的夹角大小相等，因此各悬绳的拉力在竖直方向的分力大小也相等。

[解析] 物体受重力和n 根悬绳拉力作用处于平衡状态，由对称性可知，每条悬绳拉力的竖直分力为G

n ，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有F cos θ＝G n ，解得F ＝G n cos θ，由于

无法确定n cos θ是否大于1，故无法确定拉力F 与重力G 的关系，C 、D 错误；悬绳较长时，夹角θ较小，故拉力较小，即F 1>F 2，A 错误，B 正确。

[答案] B

[集训冲关]

1．(2018·东台模拟)如图甲，某工地上起重机将重为G 的正方形工件缓缓吊起。四根等长的钢绳(质量不计)，一端分别固定在正方形工件的四个角上，另一端汇聚于一处挂在挂钩上，绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等(如图乙)。则每根钢绳的受力大小为( )

A.14

G B.24G C.12G D.

36G 解析：选D 设每根钢绳的拉力为F ，由题意可知每根绳与竖直方向的夹角为30°；根据共点力的平衡条件可得：4F cos 30°＝G ，解得：F ＝

3G 6，所以A 、B 、C 错误，D 正确。

2.(2018·苏南联考)蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构

成的正方形，点O 、a 、b 、c 等为网绳的结点。当网水平X 紧时，若质

量为m 的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O 点，当该处下凹至最低

点时，网绳aOe 、cOg 均成120°向上的X 角，此时O 点受到的向下的冲击力为F ，则这时O 点周围每根网绳的拉力的大小为( )

A.F 4

B.F 2

C.F ＋mg

4 D.F ＋mg 2

解析：选B 设每根网绳的拉力大小为F ′，对结点O 有：

4F ′cos 60°－F ＝0，解得F ′＝F

2

，选项B 正确。 3.[多选](2018·青州检测)如图所示，完全相同的四个足球彼此相

互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m ，不考虑转动情况，下

列说法正确的是( )

A ．下面每个球对地面的压力均为43

mg B ．下面的球不受地面给的摩擦力

C ．下面每个球受地面给的摩擦力均为33mg

D ．上面球对下面每个球的压力均为66

mg 解析：选AD 以四个球整体为研究对象，受力分析可得，3F N ＝4mg ，可知下面每个球对

地面的压力均为F N ＝43mg ，A 项正确；隔离上面球分析，由几何关系可得，3F 1·63

＝mg ，F 1＝66mg ，D 项正确；隔离下面一个球分析，F f ＝F 1·33＝26

mg ，B 、C 项错误。 突破点(四) 绳上的“死结”和“活结”模型

“死结”模型 “活结”模型

“死结”可理解为把绳子分成两段，且

不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的

绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死

结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。

“活结”可理解为把绳子分成两段，且

可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由

绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成

的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上

是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳

子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的

方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。

[典例] 如图甲所示，细绳AD 跨过固定的水平轻杆BC 右端的定滑轮挂住一个质量为M 1的物体，∠ACB ＝30°；图乙中轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G 通过细绳EG 拉住，EG 与水平方向也成30°，在轻杆的G 点用细绳GF 拉住一个质量为M 2的物体，求：

(1)细绳AC 段的X 力F T AC 与细绳EG 的X 力F T EG 之比；

(2)轻杆BC 对C 端的支持力；

(3)轻杆HG 对G 端的支持力。

[审题建模]

图甲中细绳跨过定滑轮与物体M 1相连，属于“活结”模型，细绳AC 和CD X 力大小相等，细绳对定滑轮的合力方向沿∠ACD 的角平分线方向；图乙中细绳EG 和细绳GF 为连接于G 点的两段独立的绳，属于“死结”模型，细绳EG 和细绳GF 的X 力不相等，轻杆对G 点的弹力沿轻杆方向。

[解析] 题图甲和乙中的两个物体M 1、M 2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C 点和G 点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。

(1)图甲中细绳AD 跨过定滑轮拉住质量为M 1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC 段的拉力F T AC ＝F T CD ＝M 1g

图乙中由F T EG sin 30°＝M 2g ，得F T EG ＝2M 2g 。

所以F T AC F T EG ＝M 12M 2

。 (2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有F N C ＝F T AC ＝M 1g ，方向与水平方向成30°，指向右上方。

(3)图乙中，根据平衡规律有F T EG sin 30°＝M 2g ，F T EG cos 30°＝F N G ，所以F N G ＝M 2g cot 30°＝3M 2g ，方向水平向右。

[答案] (1)M 1

2M 2

(2)M 1g ，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)3M 2g ，方向水平向右

[集训冲关]

1.[多选](2018·某某模拟)如图所示，电灯的重力G ＝10 N ，AO 绳与

顶板间的夹角为45°，BO 绳水平，AO 绳的拉力为F A ，BO 绳的拉力为F B ，

则( )

A ．F A ＝10 2 N

B ．F A ＝10 N

C ．F B ＝10 2 N

D ．F B ＝10 N

解析：选AD 结点O 处电灯的重力产生了两个效果，一是沿OA 向下

的拉紧AO 的分力F 1，二是沿BO 向左的拉紧BO 绳的分力F 2，画出平行四边

形如图所示。由几何关系得F 1＝G sin 45°＝10 2 N ，F 2＝G

tan 45°

＝10 N ，故F A ＝F 1＝10 2 N ，F B ＝F 2＝10 N ，故A 、D 正确。

2.(2016·全国卷Ⅲ)如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一

段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆

弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )

A.m 2

B.32m C ．m D ．2m

解析：选C 如图所示，由于不计摩擦，线上X 力处处相等，且

轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a 、b 间距等于圆弧半

径，则∠aOb ＝60°，进一步分析知，细线与aO 、bO 间的夹角皆为30°。

取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线X 角为120°，由平衡条件

知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m 。故选项C 正确。

3．(2019·某某模拟)如图所示的甲、乙、丙、丁中，滑轮本身的重力忽略不计，滑轮的轴O 安装在一根轻木杆P 上。一根轻绳ab 绕过滑轮，a 端固定在墙上，b 端悬挂一个质量都是m 的重物，当滑轮和重物都静止时，甲、丙、丁图中杆P 与竖直方向夹角均为θ，图乙中杆P 在竖直方向上。假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为F 甲、F 乙、F 丙、F 丁，则以下判断正确的是( )

A ．F 甲＝F 乙＝F 丙＝F 丁

B ．F 丁＞F 甲＝F 乙＞F 丙

C ．F 甲＝F 丙＝F 丁＞F 乙

D ．F 丙＞F 甲＝F 乙＞F 丁

解析：选B 由于绳子的拉力大小等于重物的重力，大小不变，即四个图中绳子的拉力是大小相等的，根据平行四边形定则知绳子的夹角越小，则合力越大，即滑轮两边绳子的夹角越小，绳子拉力的合力越大，故丁中绳子拉力合力最大，则杆的弹力最大，丙中绳子夹角最大，绳子拉力合力最小，则杆的弹力最小，大小顺序为：F 丁＞F 甲＝F 乙＞F 丙，故选B 。

力的合成中两类最小值问题

(一)合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。

1．如图所示，重力为G 的小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F 与竖直方向的夹角为θ时F 最小，则θ、F 的值分别为( )

A ．0°，G

B ．30°，32G

C ．60°，G

D ．90°，12G

解析：选B 小球重力不变，位置不变，则绳OA 拉力的方向不变，故当拉力F 与绳OA 垂直时，力F 最小，故θ＝30°，F ＝G cos θ＝

32G ，B 正确。

2.(2018·武昌调研)将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，

再用细线悬挂于O 点，如图所示。用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静

止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F 的最小值为

( )

A.33

mg B ．mg C.

32mg D.12mg 解析：选B 将ab 看成一个整体受力分析可知，当力F 与Oa 垂直时F 最小，可知此时

F＝2mg sin θ＝mg，B正确。

(二)合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小。

3.如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应

该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为( )

A．F cos θ B．F sin θ

C．F tan θ D．F cot θ

解析：选B 要使物块沿AB方向运动，恒力F与另一个力的合力必沿AB方向，当另一个力与AB方向垂直时为最小，故F′＝F sin θ，B正确。

4.如图所示，甲、乙两人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已

知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°。要保持小船在河流

正中间沿虚线所示的直线行驶，则乙用力最小为( )

A．与F甲垂直，大小为400 N

B．与F甲垂直，大小为200 3 N

C．与河岸垂直，大小约为746 N

D．与河岸垂直，大小为400 N

解析：选D 如图所示，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，

F甲与F乙的合力必沿图中虚线方向，当F乙与图中虚线垂直时最小，为400

N，D正确。

[反思领悟]

两类最小值问题因初始条件有所差别，表面上看似乎不同，但这两类问题实际上都是应用图解法分析极值条件，从而得出最后结果。