2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试

卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是()

A. 若x≠2，则x2≠4

B. 若x=2，则x2≠4

C. 若x2≠4，则x≠2

D. 若x2≠4，则x=2

2.不等式x−8

x2+2

<−1的解集为()

A. (−3,2)

B. (−3,−2)

C. (−3,4)

D. (−2,4)

3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一

个端点，则此双曲线的标准方程是()

A. x2

16−y2

12

=1 B. x2

16

−y2

4

=1 C. x2

12

−y2

4

=1 D. x2

25

−y2

8

=1

4.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()

A. 8

B. 12

C. 16

D. 20

5.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，

则sinA

sinB

=()

A. 2

3B. √7

3

C. √7

D. 3

7.已知点P为函数y=x2lnx+4x3的图象上的一点，且点P的横坐标为1，则该函数

图象在点P处的切线方程为()

A. 8x−y−4=0

B. 13x−y−9=0

C. 8x−y−3=0

D. 13x−y−8=0

8.当x>1时，f(x)=x

x2+4

的最大值为()

A. 1

4B. 1

2

C. 1

D. 2

9.函数f(x)=x3−12x在区间[−3,1]上的最小值是()

A. −10

B. −11

C. −15

D. −18

10. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的

准线与双曲线C ：

x 2a 2

−

y 2b 2

=1(a >0,b >0)的两条渐近线所围成的三角形面积为

2√2，则双曲线C 的离心率为( )

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

11. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1=1，a 3=a 2+2.若数列{b n }的

前n 项和为T n ，a n+1=b n S n+1S n ，则T 9=( )

A. 510

511

B. 1023

1024

C. 1022

1023

D. 1

1023

12. 已知函数f(x)=xe x −e x −a 有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是

( )

A. [−4

e 3,0)

B. (−1,0]

C. [−4e 3,−2

e 3]

D. (−1,0)

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+6a ≤8x 0”为假命题，

则实数a 的取值范围是______ ． 14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0

x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．

15. 函数y =1

3x 3−2x 2−96x +8的极小值是______ ． 16. 已知双曲线C ：

x 2

a 2

−y 2

b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其渐近线方程为y =±2x ，焦距为2√10.点P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若△PF 1F 2的面积为4√10，则点P 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知集合A ={x|4

1−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．

(Ⅰ)求集合A ，B ；

(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．

sinB)= 18.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA−1

2 (sinC+sinB)(c−b)，c=4．

(Ⅰ)求△ABC的外接圆的半径；

(Ⅱ)求△ABC的面积的最大值．

19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，数列{b n}满足b n=log2a n+

log2a n+1．

(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{c n}满足c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．

20.已知函数f(x)=e x−a−lnx(a∈R)．

(Ⅰ)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴负半轴有公共点，求a的取值范围；

(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的最值．

21.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离

的最大值为2+√3．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C有两个交点A，B，△OAB(O为坐标原点)的面积为

4

，求直线l的方程．

5

22.已知函数f(x)=a2lnx+a，且f(e)≥2，f(e2)≤3．

(Ⅰ)求a的值；

).

(Ⅱ)若01时，f(x)>k(1−3

x

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，所以命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是：“若x2≠4，则x≠2”．故选：C．

根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．

本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．

2.【答案】A

【解析】解：由x−8

x2+2<−1化简可得：x2+x−6

x2+2

<0，

即解x2+x−6<0，

解得：−3

故解集为：(−3,2)．

故选：A．

利用分式不等式定义求解不等式即可．

命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．

3.【答案】C

【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，

双曲线C的标准方程是x2

12−y2

4

=1．

故选：C．

利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D

【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，

∵a2+a4+a6=18，

∴3a4=18，

∴a4=6．

∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．

故选：D．

根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．

本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．

5.【答案】D

【解析】解：已知直线l和两个不同的平面α，β，α⊥β，

若l//α，则l与β平行，相交或在平面β内都有可能；

若l⊥β，则l⊂α或l//α，

故“l//α”推不出“l⊥β”，“l⊥β”推不出“l//α”，

故“l//α”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．

本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题．6.【答案】B

【解析】解：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，

即28=b2+16−4b，也即b2−4b−12=0，

解得b=6或b=−2(舍去)，

所以sinA

sinB =a

b

=2√7

6

=√7

3

，

故选：B．

由题意利用余弦线定理求得b的值，再利用正弦定理求得sinA

sinB

的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．

7.【答案】B

【解析】解：由y =x 2lnx +4x 3，得y′=2x ⋅lnx +x +12x 2， ∴y′|x=1=13， 又x =1时，y =4，

∴该函数图象在点P 处的切线方程为y −4=13(x −1)，即13x −y −9=0． 故选：B ．

求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出x =1时的y 值，利用直线方程的点斜式得答案．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．

8.【答案】A

【解析】解：因为x >1， 故f(x)=x x 2+4=1x+4x

≤2√x⋅

4x

=1

4， 当且仅当x =4

x ，即x =2时取等号， 故f(x)=x x 2+4的最大值为1

4． 故选：A ．

将函数f(x)变形为f(x)=1

x+4x

，然后利用基本不等式进行求解，即可得到最值．

本题考查了函数最值的求解，涉及了利用基本不等式求解最值的应用，在应用基本不等式求解最值的时候要注意三个条件是否成立：一正、二定、三相等，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】解：f′(x)=−12+3x 2=3(x +2)(x −2)，

当−3≤x <−2时，f′(x)>0，f(x)递增；当−2

求导数f′(x)，利用导数判断f(x)的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值．

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题．

10.【答案】A

【解析】解：由题意，5+p

2

=6，即p=2，则抛物线y2=2px(p>0)的直线方程为x=−1，

双曲线C：x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±b

a

x，取x=−1，

可得A(−1,−b

a )，B(−1,b

a

)，如图，

则S△OAB=1

2×2b

a

×1=b

a

=2√2，

则e=c

a =√1+(b

a

)2=√1+8=3．

故选：A．

由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．

本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．

11.【答案】C

【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)

若a1=1，a3=a2+2.则q2=q+2，解可得q=2或−1，

又由q>0，则q=2，

则S n=a1(1−q n)

1−q

=2n−1，

又由a n+1=b n S n+1S n，则b n=a n+1

S n+1S n =S n+1−S n

S n+1⋅S n

=1

S n

−1

S n+1

，

则T9=(1S

1−1

S2

)+(1

S2

−1

S3

)+⋯…+(1

S9

−1

S10

)=1

S1

−1

S10

，

又由S n=2n−1，

则T9=1

21−1−1

210−1

=1022

1023

，

故选：C．

根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)由等比数列的通项公式求出q的值，即

可得S n=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，变形可得b n=a n+1

S n+1S n =S n+1−S n

S n+1⋅S n

=1

S n

−1

S n+1

，将

S n=2n−1代入计算可得答案．

本题考查数列的求和，涉及等比数列的性质和前n项和公式的应用，属于中档题．12.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=xe x−e x−a有且仅有两个不同的零点，

则a=(x−1)e x有且仅有两个不同的零点，

则y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，

g′(x)=xe x，令g′(x)>0，解得：x>0，令g′(x)<0，解得：x<0，

故g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故g(x)min=g(0)=−1，

而x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，如图示：

结合图象，−1

故选：D．

问题转化为y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，根据函数的单调性求出g(x)的范围，结合函数的图象求出a的范围即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．

13.【答案】(8

3

,+∞)

【解析】解：根据命题与它的否定命题一真一假，

因为命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，

所以它的否定命题是￢p：“∀x∈R，x2+6a>8x”为真命题；

即“∀x∈R，x2−8x+6a>0”为真命题，

所以△=64−24a<0，解得a>8

3

；

则实数a的取值范围是(8

3

,+∞)．

故答案为：(8

3

,+∞)．

根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．本题考查了根据命题的真假求参数的范围，也考查了转化能力，是基础题．

14.【答案】3

【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，

由x−y−1=0，取x=0，解得A(0,−1)，

化目标函数z=x−3y为y=x

3−z

3

，

由图可知，当直线y=x

3−z

3

过点A(0,−1)时，直线在y轴上的截距最小，

z取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z=x−3y的最大值为3．

故答案为：3．

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．

15.【答案】−856

【解析】解：∵y=1

3

x3−2x2−96x+8，

∴y′=x2−4x−96，

令y′>0，解得：x>12或x<−8，

令y′<0，解得：−8

故函数在(−∞,−8)递增，在(−8,12)递减，在(12,+∞)递增，

故函数y=1

3

x3−2x2−96x+8的极小值是y|x=12=−856，

故答案为：−856．

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．16.【答案】(√6,4)

【解析】解：如图，

由已知可得，c=√10，b

a

=2，又a2+b2=c2，

∴a=√2，b=2√2，则双曲线方程为x2

2−y2

8

=1．

由已知可得，|F1F2|=2√10，设P(m,n)(m>0,n>0)，

则1

2

×2√10×n=4√10，得n=4，

∴m2

2−16

8

=1，解得m=√6(m>0)．

∴P的坐标为(√6,4)．故答案为：(√6,4)．

由已知求得双曲线方程，再由已知三角形的面积求得P点纵坐标，进一步求得P的横坐标得答案．

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．

17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x+3

x−1

<0}={x|−3

(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，

∴{a−1≥−3

a≤1，解得−2≤a≤1，

∴实数a的取值范围是[−2,1]．

【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3

(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3

a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−1

2

b)=(c+b)(c−b)，

即a2+b2−c2=ab

2

，

由余弦定理可得cosC=1

4

，

所以sinC=√15

4

．

设△ABC的外接圆的半径为R．

因为c

sinC =2R，即√15

4

=2R，

解得R=8√15

15

．

(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，

所以16=a2+b2−ab

2≥2ab−ab

2

=3ab

2

，即ab≤32

3

，

所以S△ABC=1

2absinC≤1

2

×32

3

×√15

4

=4√15

3

，

当且仅当a=b时取等号．

故△ABC的面积的最大值为4√15

3

．

【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=1

4

，再

利用同角三角函数关系得到sinC=√15

4

，由正弦定理即可求得答案；

(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．

本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．

19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，

当n≥2时，由S n=2a n−1，可得

S n−1=2a n−1−1，

两式相减，可得

a n=2a n−2a n−1，

化简整理，得a n=2a n−1，

∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴a n=1⋅2n−1=2n−1，n∈N∗，

∴b n=log2a n+log2a n+1=log22n−1+log22n=n−1+n=2n−1，n∈N∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得

c n=a n b n=(2n−1)⋅2n−1，

∴T n=c1+c2+c3+⋯+c n=1×1+3×21+5×22+⋯+(2n−1)×2n−1，

2T n=1×21+3×22+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，

两式相减，可得

−T n=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n−1)×2n

=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n−1)×2n

=1+2×2−2n

1−2

−(2n−1)×2n

=−(2n−3)×2n−3，

∴T n=(2n−3)×2n+3．

【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1

S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1

为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；

(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．

本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e x−a −lnx ，则f′(x)=e x−a −1

x ，

故f(1)=e 1−a ，f′(1)=e 1−a −1，

故切线方程是：y −e 1−a =(e 1−a −1)(x −1)，即y =(e 1−a −1)x +1， 切线过定点(0,1)，若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x 轴负半轴有公共点， 则e 1−a −1>0，解得：a <1；

(Ⅱ)a =1时，f(x)=e x−1−lnx ，函数的定义域是(0,+∞)， f′(x)=e x−1−1x ，f″(x)=e x−1+1

x 2>0，故f′(x)在(0,+∞)递增， 而f′(1)=0，故x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故f(x)min =f(1)=1．

【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程，根据切线的斜率，得到关于a 的不等式，解出即可；

(Ⅱ)代入a 的值，求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．

本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．

21.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2

，解得{a =2

b =1

c =√3，∴椭圆的方程为x 2

4

+y 2=1．

(Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，

A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， { x 2

4+y 2=1

x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4，

△OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=8

5，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−

2m m 2+4

)2−4(−

3

m 2+4

)=

6425

，

整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．

故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24

+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −

1=0．

【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可； (Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可． 本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．

22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(e)≥2，f(e 2)≤3，

∴{a 2+a ≥22a 2+a ≤3，解得{a ≤−2或a ≥1−32

≤a ≤1

，故a =1； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得f(x)=lnx +1，

要证当x >1时，f(x)>k(1−3

x )，即证x >1时，lnx +1>k ⋅x−3x

，

①当x =3时，ln3+1>0恒成立， ②当1

x−3x

<0，问题转化为k >

x(lnx+1)x−3

在(1,3)恒成立，

∵x ∈(1,3)，∴x −3<0，x(lnx +1)>0，故k >0>x(lnx+1)x−3

成立，

③当x >3时，x−3x

>0，问题转化为k <

x(lnx+1)x−3

在(3,+∞)恒成立， 令g(x)=

xln(x+1)x−3

(x >3)，则g′(x)=

(1−x)(lnx+1)+1

(x−3)2

，

当x >3时，1−x <−2，lnx +1>1，故(1−x)(lnx +1)+1<0，故g′(x)<0恒成立，

故g(x)在(3,+∞)上单调递减，当x →+∞时，显然lnx +1>2， 故x(lnx +1)>2x >2(x −3)，故g(x)>2(x−3)x−3

=2，结论成立，

综上，当x >1时，f(x)>k(1−3

x ).

【解析】(Ⅰ)根据题意得到关于a 的不等式组，解出a 即可； (Ⅱ)通过讨论x 的范围，将问题转化为k >x(lnx+1)x−3

在(1,3)恒成立或k <

x(lnx+1)x−3

在(3,+∞)

恒成立，再根据函数的性质证明即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．