2021-2022学年四川省资阳市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2021-2022学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（文

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为()

A. x2

16+y2

15

=1 B. x2

16

+y2

12

=1 C. x2

4

+y2

2

=1 D. x2

4

+y2

3

=1

2.已知x∈R，那么x 2>1是x>1的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从

该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为()

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30

4.甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为x−甲，

x−

乙

，标准差分别为s甲，s乙，则()

A. x−甲>x−乙，s甲

B. x−甲>x−乙，s甲>s乙

C. x−甲

D. x−甲s乙

5.执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()

A. 5

B. 6

C. 7

6.工业生产者出厂价格指数(Producer Price Index for IndustrialProducts，简称

PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据．根据下面提供的我国2020年1月−2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论正确的()

A. 2020年各月的PPI在逐月增大

B. 2020年各月的PPI均高于2019年同期水平

C. 2021年1月−11月各月的PPI在逐月减小

D. 2021年1月−11月各月的PPI均高于2020年同期水平

7.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是

()

A. 如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β

B. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α//β

C. 如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么α//β

D. 如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

8.若过点(0,0)的直线l与圆C：(x+2)2+(y−2)2=16相交于A，B两点，则|AB|的

最小值()

A. 2

B. 2√2

C. 4

D. 4√2

9.过椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1 (a>b>0)右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l

经过C的左焦点和上顶点．若以线段AB为直径的圆与直线l相切，则C的离心率e= ()

A. √5

5B. 1

2

C. √2

2

D. √3

2

10.已知圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2−6y=0相交于P，Q两点，则|PQ|=

A. 3√1010

B. 3√105

C. 4√105

D. √10

11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之

一．如图是一个窗花的图案，以正方形各边为直径作半圆，阴影部分为其公共部分．现从该正方形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为( )

A. π4−1

2

B. π3−1

2

C. π

3−1

D. π

2−1

12. 如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互

相垂直，BD =2DE ，点P 在线段EF 上．给出下列命题：

①直线DP ⊥直线AC ；

②存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ； ③存在点P ，使得直线DP//平面ACF ；

④直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是[√5

5

 , 1]．

其中所有真命题的序号( )

A. ①③

B. ①④

C. ①②④

D. ①③④

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆C ：

x 24

+

y 23

=1的两焦点为F 1，

F 2，P 为C 上的一点，则|PF 1|+|PF 2|=______． 14. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点均在某个球

面上，则该球体的表面积为______．

15. 从2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a ，另一个作为对数

的真数b.则log a b ∈(1,2)的概率为______． 16. 已知椭圆C ：

x 28

+

y 24

=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作倾斜角为45°的直线l 与

C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0<λ<1)，则λ=______．

17.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴，短轴长为2，离心率为√3

；

2

(2)短轴一端点P与两焦点F1(−2,0)，F2(2,0)连线所构成的三角形为等边三角形．

18.某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，

为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分(满分100分)，将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2．

(1)求图中a，b，c的值，并估计评分的均值(各段分数用该段中点值作代表)；

(2)根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法

抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率．

19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，

BB1的中点．

(1)求证：直线B1E⊥平面FA1D1；

(2)求异面直线A1F与AC所成角的余弦值．

20.已知圆C的圆心为(1,1)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．

(1)求圆C的方程；

(2)直线l：y=x+1与圆C相交于M，N两点，P(异于点M，N)为圆C上一点，求△PMN

面积的最大值．

21.如图①，在梯形PABC中，AB//PC，△ABC与△PAC均为等腰直角三角形，∠PAC=

∠ABC=90°，PC=4，D，E分别为PA，PC的中点．将△PDE沿DE折起，使点P到点P′的位置(如图②)，G为线段P′B的中点．在图②中解决以下两个问题：

(1)求证：平面GAC//平面P′DE；

(2)若直线P′A与平面PABC所成的角为30°时，求三棱锥P′−ACG的体积．

22.在平面直角坐标系内，椭圆E：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)过点(−2 , √2)，离心率为e=

√2

2

．

(1)求E的方程；

(2)设直线y=kx−1(k∈R)与椭圆E交于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得对任意实数k，直线AM，BM的斜率乘积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的长轴的长为4，焦距为2，

可得a=2，c=1，所以b=√3，

所以椭圆方程为：x2

4+y2

3

=1．

故选：D．

利用已知条件求解a，b，推出椭圆方程．

本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．

2.【答案】B

【解析】解：因为x∈R，那么x>1⇒x2>1；但是x2>1⇒x>1或x<−1，

所以x 2>1是x>1的必要不充分条件．

故选B．

直接利用充要条件的判定方法，判断即可．

判断充要条件的方法是：

①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用总体中各层的个体数之比等于样本中对应各

先求出高三学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，得到应从高三年级抽取的学生人数．． 【解答】

解：高三学生在总体中所占的比例为4

3+3+4=2

5，故应从高三年级抽取的学生人数为50×2

5=20， 故选B ．

4.【答案】A

【解析】解：由拆线统计图得：

甲的总成绩比乙的总成绩要高，∴x 甲−

>x 乙−

，

又甲的成绩的分布比乙的成绩分布更均匀，∴s 甲

根据统计图，结合均值、方差的实际含义判断x −

甲，x −

乙及s 甲，s 乙的大小．

本题考查平均数、方差的大小的判断，考查折线图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】C

【解析】解：模拟程序的运行，可得n =0 不满足条件2n +n >80，n =1 不满足条件2n +n >80，n =2 不满足条件2n +n >80，n =3 不满足条件2n +n >80，n =4 不满足条件2n +n >80，n =5 不满足条件2n +n >80，n =6 不满足条件2n +n >80，n =7

此时，27+7=128+7=135>80，退出循环，输出n 的值为7． 故选：C ．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

6.【答案】D

【解析】解：对于A，2020年前5个月PPI在逐月减小，故A错误，

对于B，2020年各月同比为负值，即低于2019年同期水平，故B错误，

对于C，2021年1月−11月各月的PPI环比为正值，即逐月增大，故C错误，

对于D，2021年1月−11月每月的PPI同比为正值，即高于2020的同期水平，故D正确．故选：D．

根据折线图中同比，环比的正负情况，即可依次求解．

本题主要考查折线图的应用，考查数形结合的能力，属于基础题．

7.【答案】C

【解析】解：设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，

对于A，如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α与β相交或平行，故A错误；

对于B，如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α与β相交，故B错误；

对于C，如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；对于D，如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么由面面平行的判定定理得α//β，故D错误．故选：C．

对于A，α与β相交或平行；对于B，α与β相交；对于C，由面面平行的判定定理得α//β；对于D，由面面平行的判定定理得α//β．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

8.【答案】D

【解析】解：圆心与坐标原点的距离d=√(0+2)2+(0−2)2=2√2，

由圆的几何性质可知AB长度的最小值为2√16−8=4√2．

故选：D．

本题主要考查圆中的最值问题，圆的性质及其应用等知识，属于基础题．

9.【答案】A

【解析】解：由题意可得直线l 的方程为：x

−c +y

b =1，即−bx +cy −b

c =0，

右焦点F 2(c,0)，将x =c 代入椭圆的方程可得|y|=

b 2a

，则以AB 为直径的圆的半径r =

b 2a

， 点F 2到直线l 的距离d =|−2bc|

√(−c)2+b 2=

bc a

，

由题意可得F 2到直线l 的距离d =r ， 所以

b 2a

=

2bc a

，可得b =c ，可得a 2=b 2+c 2=2c 2，

所以椭圆的离心率e =c

a =√5

5，

故选：A ．

由题意求出直线l 的方程，求出F 2到直线l 的距离d ，由题意可得d 等于半径，再由题意求出弦长|AB|的值，即直径2r ，所以可得c ，b 的关系，进而求出椭圆的离心率． 本题考查椭圆的性质的应用及圆的半径的求法，属于中档题．

10.【答案】B

【解析】解：圆C 1：x 2+y 2+2x =0化为(x +1)2+y 2=1，圆心坐标为C 1(−1,0)，半径r 1=1；

联立两圆的方程，可得两圆的公共弦所在直线方程为2x +6y =0，即x +3y =0． 圆心C 1(−1,0)到直线x +3y =0的距离d =|−1|√12+3

2

=√10

10

， 则|PQ|=2√1−(√1010)2=3√105． 故选：B ．

化圆的方程为标准方程，求出圆C 1的圆心坐标与半径，联立两圆的方程，求出两圆的公共弦所在直线方程，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长．

11.【答案】D

【解析】解：根据题意，设正方形的边长为2，其正方形的面积S=2×2=4，

阴影部分为4个半圆的公共部分，其面积和S1=4×(1

2

×π)−4=2π−4，

故从该正方形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率P=S1

S =π

2

−1，

故选：D．

根据题意，设正方形的边长为2，求出正方形的面积和阴影部分的面积，由几何概型公式计算可得答案．

本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．

12.【答案】D

【解析】解：对于①，∵四边形ABCD是正方

形，∴AC⊥BD，

∵面BDEF⊥面ABCD，面BDEF∩面ABCD=

BD，AC⊂面ABCD，

∴AC⊥面BDEF，∵DP⊂面BDEF，∴DP⊥AC，

故①是真命题；

对于②，设AC∩BD=O，连接OF，

若DP⊥平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DP⊥OF，

∵点P是线段EF上一个动点，无论点P在什么位置，DP与OF都不垂直，

∴假设不成立，∴不存在点P，使得DP⊥平面ACF，故②是假命题；

对于③，当点P位于线段EF的中点时，∵四边形BDEF是矩形，O是BD中点，

∴OD//PF，且OD=PF，∴四边形ODPF是平行四边形，∴DP//OF，

∵DP⊄面ACF，OF⊂面ACF，∴存在点P，使得直线DP//平面ACF，故③是真命题；对于④，直线DP与平面ABCD所成角即为∠PDB，

当点P由点E运动到点F时，∠PDB逐渐减小，点P位于点E时，

∠PDB=∠EDB=90°，sin∠PDB=1，

当点P位于点F时，设BF=1，则BD=2，DF=√5，

此时sin∠PDB=sin∠FDB=BF

DF =1

√5

=√5

5

，

∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[√5

5

 , 1]，故④正确．

故选：D．

利用面面垂直的性质定理证明AC⊥面BDEF，再由线面垂直的性质可判断①；设AC∩BD=O.连接OF，假设DP⊥平面ACF，则DP⊥OF，因为DP⊥OF不成立，可判断②；当点P位于线段EF的中点时可判断③；根据线面角的定义分别计算临界值可判断④．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】4

【解析】解：椭圆C：x2

4+y2

3

=1，可得a=2，

椭圆的两焦点为F1，F2，P为C上的一点，

则|PF1|+|PF2|=2a=4．

故答案为：4．

利用椭圆方程求解a，结合椭圆定义求解即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．

14.【答案】6π

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A−BCD；如图所示：

设外接球的半径为r，所以(2r)2=22+12+12=6，解得r=√6

2

，

所以S

球=4⋅π⋅(√6

2

)2=6π．

故答案为：6π．

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体和球体的关系，球体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

15.【答案】1

3

【解析】解：从2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a ，另一个作为对数的真数b ， 基本事件(a,b)有：

(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,5)， (4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， log a b ∈(1,2)包含的基本事件(a,b)有： (2,3)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共4个， 则log a b ∈(1,2)的概率为P =4

12=1

3． 故答案为：1

3．

从2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a ，另一个作为对数的真数b ，利用列举法求出基本事件(a,b)有12个，其中log a b ∈(1,2)包含的基本事件(a,b)有4个，由此能求出log a b ∈(1,2)的概率．

本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】1

3

【解析】解：由椭圆C ：x 28

+

y 24

=1的方程可得a 2=8，

b 2=4，可得

c 2=a 2−b 2=8−4=4，可得c =2，

因为倾斜角为45°的直线l ，所以直线l 的斜率为tan45°=1， 故设直线l 的方程为：x =y +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x =y +2x 2+2y 2

=8，整理可得：3y 2+4y −4=0， 解得y 1=2

3，y 2=−2，

因为AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(2−x 1,−y 1)=λ(x 2−2,y 2)，

所以−y 1=λy 2，即−2

3=λ(−2)， 可得λ=1

3， 故答案为：1

3．

由椭圆的方程可得a ，b 的值，进而求出c 的值，由题意可得直线l 的方程，与椭圆的方程联立求出a ，b 的纵坐标，可得AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的纵坐标的关系，进而求出λ的值． 本题考查椭圆的性质的应用及向量的关系得坐标的关系的应用，属于中档题．

17.【答案】解：(1)设椭圆方程y 2

a 2+x

2

b

2=1(a >b >0)， 由题意2b =2，解得b =1，则c a =√32=√a 2−b 2a =√a 2

−1a ，解得a =2，

则该椭圆的方程为y 24

+x 2=1．

(2)设椭圆方程为

x 2

a 2

+y 2

b 2=1 (a >b >0)， 由题

c =2，a =2c =4，则b 2=a 2−c 2=16−4=12， 则该椭圆的方程为x 216

+

y 212

=1．

【解析】(1)由题意设椭圆的方程，由短轴长可得b 的值，由离心率的值转化可求出a 的值，进而求出椭圆的方程；

(2)由题意设椭圆的方程，即c 的值，再由题意可得a =2c ，求出a 的值，再求b 的值，求出椭圆的方程．

本题考查椭圆的方程的求法及椭圆的性质的应用，属于中档题．

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图和图中a ，b ，c 成等比数列，且公比为2.得：

c =4a ，b =2a ，从而10(0.015+c +0.030+c +b +a)=1， 所以0.045+4a +4a +2a +a =0.1， 解得a =0.005，于是b =0.010，c =0.020．

评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05， 则均分估计值为：

45×0.15+55×0.20+65×0.30+75×0.20+85×0.10+95×0.05=65.5． (2)评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人．

则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，

评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4．

从这6人中选取2人的所有基本事件有：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,B4)，(B2,B3)，(B2,B4)，(B3,B4)，共15个．其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个．

则所求的概率P=9

15=3

5

，

即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为3

5

．

【解析】(1)由频率分布直方图和图中a，b，c成等比数列，且公比为2.得c=4a，b=2a，列方程能求出a，b，c，由此能求出均分估计值．

(2)评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人，则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4.从这6人中选取2人，利用列举法能求出抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率．

本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】证明：(1)在正方形ABB1A1中，E，F分别为AB，BB1的中点，

则BE=B1F，BB1=B1A1，∠B1BE=∠A1B1F=90°，

所以△B1BE≌△A1B1F，则∠BEB1=∠B1FA1，

所以∠BB1E+∠B1FA1=∠BB1E+∠BEB1=90°，

即B1E⊥A1F，

又A1D1⊥平面ABB1A1，则B1E⊥A1D1，A1D1∩A1F=A1，

所以B1E⊥平面FA1D1；

解：(2)连结A1C1，可知A1C1//AC，

所以∠FA1C1为异面直线A1F与AC所成的角，连结C1F，

令A1B1=2，则B1F=1，A1C1=2√2，A1F=C1F=√5，在△FA1C1中，

cos∠FA1C1=√2)2√5)2√5)2

2×2√2×√5=√10

5

，

故异面直线A1F与AC所成角的余弦值为√10

5

．

【解析】(1)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，分别证明B1E⊥A1F，B1E⊥A1D1，然后得到线线垂直，进一步得到线面垂直；

(2)连结A1C1，证明A1C1//AC，通过解直角三角形求出△A1C1F的三边长，然后利用余弦定理求角的余弦值．

本题考查了线面垂直的判定，考查了异面直线所成的角的求法，训练了利用余弦定理求角，是中档题．

20.【答案】解：(1)设直径两端点分别为A(a,0)，B(0,b)，则a+0

2=1,b+0

2

=1，

所以a=2，b=2，则圆C的半径r=1

2

√(2−0)2+(0−2)2=√2，所以C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2．

(2)圆心C到直线l的距离d=

√2=√2

2

，则|MN|=2(√

2

)=√6，

点P到直线的距离的最大值为d+r=√2

2+√2=3√2

2

，

所以，△PMN面积的最大值为1

2×√6×3√2

2

=3√3

2

．

【解析】(1)设直径两端点分别为A(a,0)，B(0,b)，由中点公式求参数a，b，进而求半径，即可得圆C的方程；

(2)利用弦心距、半径、弦长的几何关系求|MN|，再由圆心到直线的距离求P到直线的距离的最大值，即可得△PMN面积的最大值．

本题主要考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

21.【答案】(1)证明：连接BE交AC于点M，连接GM，P′E，

四边形ABCE是正方形，M为BE的中点，又G为线段P′B的中点，

则GM//P′E，又GM⊄平面P′DE，P′E⊂平面P′DE，

所以GM//平面P′DE．

又D，E分别为PA，PC的中点，则DE//AC，

又AC⊄平面P′DE，DE⊂平面P′DE，

所以AC//平面P′DE．

又GM∩AC=M，GM，AC⊂平面GAC，

所以平面GAC//平面P′DE．

(2)解：由题，DE⊥DA，DE⊥P′D，

所以，直线DE⊥平面P′AD，从而平面P′AD⊥平面PABC，作P′O⊥PD，从而有P′O⊥平面PABC，

可知∠P′AD为P′A与平面ACED所成的角，

所以∠P′AD=30°，

又P′D=AD，则∠P′DO=60°，

所以P′O=√2×√3

2=√6

2

，

三棱锥P′−ACG的体积V P′−ACG=1

2V B−P′AC=1

2

V P′−ABC=1

2

×1

3

×(1

2

×2×2)×√6

2

=√6

6

．

【解析】(1)连接BE交AC于点M，连接GM，P′E，可证得GM//P′E，根据线面平行的判定定理即可证得GM//平面P′DE.同理可证得AC//平面P′DE.由面面平行的判定定理即可证得结果．

(2)利用等体积法计算即可得出结果．

本题主要考查面面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于中等题．

22.【答案】解：(1)由题可得，4

a2+2

b2

=1，①

由e=√2

2，得c

a

=√2

2

，即√a2−b2

a

=√2

2

，则a2=2b2，②

将②代入①，解得a2=8，b2=4，

故E 的方程为

x 28

+

y 24

=1．

(2)设存在点M(0,m)满足条件． 记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，

由{y =kx −1x 2+2y 2

=8消去y ，得(1+2k 2)x 2−4kx −6=0． 显然，判别式Δ>0，

所以x 1+x 2=4k

1+2k 2，x 1x 2=−6

1+2k 2， 于是k AM ⋅k BM =y 1−m x 1⋅

y 2−m x 2

=

[kx 1−(m+1)][kx 2−(m+1)]

x 1x 2

=

k 2x 1x 2−k(m+1)(x 1+x 2)+(m+1)2

x 1x 2

=[1+2

3(m +1)−

(m+1)2

3

]k 2

−

(m+1)2

6

，

上式为定值，当且仅当1+2

3(m +1)−

(m+1)2

3

=0，

解得m =2或m =−2． 此时，k AM ⋅k BM =−

(m+1)2

6

=−32或−1

6．

所以，存在定点M(0,2)或者M(0,−2)满足条件．

【解析】(1)由题可得，4

a 2+2

b 2=1，①由e =√2

2

，得√a

2−b 2

a

=

√2

2

②，解得a 2，b 2，即可得出答案．

(2)设存在点M(0,m)满足条件．记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算k AM ⋅k BM =y 1−m x 1

⋅

y 2−m x 2

=

[kx 1−(m+1)][kx 2−(m+1)]

x 1x 2

为定值时，

M 点的坐标．

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．