2020-2021学年四川省资阳市高二下学期期末考试文科数学试卷及答案

2020-2021学年四川省资阳市高二下学期期末考试

文科数学试卷

★祝考试顺利★ (含答案)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线22

142

x y -

=的渐近线方程为（ ）

A 0y ±=

B ．0x ±=

C ．20x y ±=

D ．20x y ±=

2．抛物线22x y =的准线方程为（ ） A ．1y =-

B ．1

2y =-

C ．1

2x =-

D ．1

8

x =-

3．复数

12i

1i

+=-（ ） A ．31i 22

+

B ．33i 22

+

C ．13i 22

+

D ．13i 22

-+

4．抛物线24y x =上一点()00,P x y 到焦点F 的距离为6，则0x =（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．曲线()ln 2f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．2y x =

B ．21y x =+

C ．31y x =-

D ．42y x =-

6．函数()f x x =的递增区间为（ ）

A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．()0,1

C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

D ．()1,+∞

7．函数()()21e 1x f x x =-+的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．若函数()321f x x ax ax =++-有两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．()(),03,-∞⋃+∞ B ．()0,3 C ．()3,+∞

D ．()3,+∞

9．曲线C

的参数方程为22

1,1t x t y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则C 的普通方程为（ ）

A ．2

214

y x +=

B ．2

2

12

y x += C ．()2

2

114y x x +=≠- D ．()2

2

112

y x x +=≠- 10．已知1F 、2F 为双曲线E ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左，右焦点，点M 在E 的右支上，

12F MF △为等腰三角形，且21120MF F ∠=︒，则E 的离心率为（ ） A

1+

B

1

C

D

11．抛物线E ：2

4y x =的焦点为F ，E 的准线l 与x 轴交于点A ，M 为E 上的动点。则MF MA

的

最小值为（ ） A ．1

B

．

2

C

．

2

D ．

12

12．函数()()10f x x x =-<，()()2e 310x

g x x x x x

=+-+>．若()()12f x g x =，则21x x -的最小

值为（ ）

A ．e 12

-

B ．

e 1

2

- C ．e 1- D ．e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若π

3

x =

函数()sin f x x ax =-的一个极值点，则a =______． 14．抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，若曲线2

y x

=与双曲线E 相交于点P ，且PF x ⊥轴，则p =______．

15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），且两个圆锥的底面半径均为2，母线长均为4，记过两圆锥轴的平面ABCD 为平面α（平面α与两个圆锥面的交线为AC ，BD ）．用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线E 的一部分，且E 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则的离心率为______．

16．若关于x 的不等式ln 1x ax ≤+恒成立，则a 的最小值为______． 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）

在平面直角坐标系中，直线l

的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（其中t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．

（1）写出曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，求AB ． 18．（12分）

解答下列两个小题：

（1）双曲线E ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>，且点(在双曲线E 上，求E 的方

程；

（2）双曲线C 实轴长为2，且双曲线C 与椭圆22

184

x y +=的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．

19．（12分）

某公司为改进生产方式，提升产品品质，现随机抽取了100名顾客体验产品，顾客体验结束后对产品体验效果进行评分（满分100分），记体验评分低于85分为“一般”，不低于85分为“良好”．

（1）将下面22⨯的列联表补充完整；通过计算判断，有没有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关？

（2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“良好”的顾客中按照性别用分层抽样的方法抽取了6个顾客．若从这6个顾客中随机选择2个赠送其产品的“体验月卡”，求所抽取的2个顾客中恰好有1个男顾客的概率． 附表及公式：

其中()

()()()()

2

2n ad bc k a b c d a c b d -=

++++，n a b c d =+++．

20．（12分） 已知函数()3

123

f x x ax a =

-+，其中0a >． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）若函数()y f x =只有1个零点，求a 的取值范围． 21．（12分）

抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线E 的第一象限交于点A ，

且AOF △（O 为坐标原点）的面积为1． （1）求E 的方程；．

（2）设C ，D 为抛物线E 上异于点A 的两个动点，且直线AC ，AD 的斜率互为相反数，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出该定值 22．（12分）

已知函数()e ln x f x a x =-． （1）e a =时，求()f x 的极值； （2）若()ln f x a a ≥，求a 的取值范围．

2020-2021学年四川省资阳市高二下学期期末考试

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1-5：BBACC ；6-10：ADADD ；11-12：CC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．

12；14．2；15：16．21e

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）

（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得到 曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）将直线l 的参数方程代入2240x y x +-=，

有22

1410222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，即2

30t +-=，

设A ，B 两点对应参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123t t =-，

所以12AB t t =-==．

18．（12分）

（1）由e =c

a

=c =，

又)

2

22222b c a a a =-=

-=，即a b =，

双曲线E 的方程即为22

221x y a a -=，点(坐标代入得22421a a

-=，解得22a =．

所以，双曲线E 的方程为22

122x y -

=． （2）椭圆22

184x y +

=的焦点为()2,0±， 设双曲线C 的方程为()22

2210,0x y a b a b

-=>>，

所以22a =，且224a b +=，

所以，双曲线C 的方程为2

2

13

y x -=． l9．（12分）

（1）补充后的列联表为：

()2

21002040202025

2.778 2.70640604060

9

K ⨯⨯-⨯=

=

≈>⨯⨯⨯， 因此，有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关．

（2）这6个顾客中男顾客2人，记为1A ，2A ，女顾客4名，记为为1B ，2B ，3

B ，4B ． 从这6人中选取2人的所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，

()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，共

15个．

其中恰好一个男顾客的基本事件有8个．

所以，抽取的2个顾客中恰好有1个男顾客的概率为8

15

． 20．（12分）

（1）1a =时，()31

23f x x x =-+，()21f x x '=-，

由()0f x '>得1x <-或1x >；由()0f x '<得11x -<<，

所以函数()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减．

（2）由（1）可知，x =()f x 取极大值，x =()f x 取极小值． 又x →-∞时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞， 因为函数()f x 只有1个零点，

所以()(0f x f =<极大值或()0f x f =>极小值，

即3

1203

a -

+<或

3

1203

a ->，又0a >，

所以09a <<．

综上所述，函数()f x 只有一个零点，则a 的取值范围是()0,9． 21．（12分）

（1）由已知，直线l ：2p x =

，则,2p A p ⎛⎫

⎪⎝⎭

， 所以AOF △的面积1122p

p ⨯⨯=，得2p =，

所以E 的方程为24y x =．

（2）由题()1,2A ．

易知直线CD 斜率存在，设为k ，知0k ≠，直线CD 方程为y kx b =+．

由24,y x y kx b

⎧=⎨=+⎩得()222240k x bk x b +-+=． 则242C D bk x x k -+=，2

2C D b x x k =．①

则22

11

D D AD D D y kx b k x x -+-=

=--，2211C C AC C C y kx b k x x -+-==--， 因为直线AC ，AD 的斜率互为相反数， 所以()()()()()

22222201111C D C D C D AC AD C D C D kx x b k x x b kx b kx b k k x x x x +--+--+-+-+=

+==----，

则()()()22220C D C D kx x b k x x b +--+--=．② 联立①②，得()2120k b k b +-+-=， 所以1k =-或2k b =-．

若2k b =-，则CD 的方程为()212y kx k k x =+-=-+，恒过点()1,2A ，不合题意； 所以1k =-，即直线CD 的斜率为定值1-． 22．（12分）

（1）e a =时，()e eln x f x x =-，0x >，则()e

e x

f x x

'=-， 可知()f x '为()0,+∞的增函数，且()10f '=，

当01x <<，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以1x =时，()f x 取得极小值()1e f =，无极大值． （2）由题知0x >，0a >，()e x a f x x

'=-， 可知()f x '在区间()0,+∞上单调递增，

且当0x →时，()0f x '<，当x →+∞时，()0f x '>，

所以，存在()00,x ∈+∞，使得()00f x '=，即00

e x a

x =

， 当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,x +∞上单调递增， 所以，()()0000min 0

e ln ln ln x a

f x f x a x a x a a x ==-=

-≥， 即

001ln ln 0x a x --≥，由00

e x a x =，得00e x a x =，即00ln ln a x x =+， 所以

00001ln ln 0x x x x ---≥，即000

1

2ln 0x x x +-≤， 由于()1

2ln u x x x x =+-为()0,+∞的单调递增函数，且()10u =，

则有001x <≤，

因为()e x v x x =为(]0,1上的增函数，则当(]0,1x ∈时，()(]0,e v x ∈， 所以，a 的取值范围为(]0,e ．