安徽省舒城中学高二数学寒假作业第11天双曲线文
第11天 双曲线
【课标导航】1.了解双曲线的概念，2.了解双曲线的标准方程和几何性质. 一.选择题
1．已知点(,)P x y
2
2
(1)(1)x y 4±=,则动点P 的轨迹
( )
A.椭圆
B.双曲线
C.两条射线
D.以上都不对 2．已知方程1112
2=--+k
y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是
( )
A. 11k
B. 0k
C. 0≥k
D. 11k k 或
3.已知双曲线)0,0(1
22
22>>=-b a b
y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线
02=+y x 垂直，
则双曲线的方程为
( )
A.1422=-y x
B.1422
=-y x C.
15320322=-y x D.12035322=-y x
4．以椭圆22
143
x y +=的顶点为顶点，离心率2=e 的双曲线方程是：
( )
A.221412x y -=
B.22139y x -= C ．221412x y -=或22139y x -= D ．22
1412x y -=或
22
193
y x -= 5．双曲线12
2
=-a
y x 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则a =
( )
A. 2
B.4
C.－2
D.－4
6．焦点为(0,6)且与双曲线
2
2
12
x y 有相同渐进线的方程是
( )
A.
2
211224x y B.
2
211224y x C.
2
212412y x D.
2
212412
x y
7．已知04π
θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222:1sin sin tan y x C θθθ
-=的
（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 8．在△ABC 中，已知2
1
2tan
=c ，点M 在边BC 上，且0=?，那么过点C 且以A ，M 两点为
焦点的双曲线的离心率为
（ ）
A.2
B. 3
C.2
D.3
二.填空题
9.设点P 是双曲线2
22
2
1x y a b 上一点, 1F 、2F 为它的焦点, 如果
2
175=∠F PF ,01251=∠F PF ,则双曲 线的离心率是
10．已知F 是双曲线22
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF
?周长最小
时，该三角形的面积为 ．
11.设双曲线x2–2
3
y =1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P 在双曲线上，且△F1PF2为锐角
三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 ．
12．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 ．
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
13．设12,F F 是双曲线116
92
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=，求
△12F PF 的面 积.
14．双曲线2
2
2x y a 的两个焦点分别是1F 、2F ,P 为双曲线上的任 意一点,求证:1PF 、
PO 、2PF 成等比数列.
15. 已知双曲线中心在原点，焦点1F 、2F 在x (4,10).
（Ⅰ）求双曲线方程； （Ⅱ）若直线系30kx
y k m （其中k 为参数）所过定点M 恰在双曲线上，求证：
M F M F 21⊥.
16. 已知点A （－2，0）、B （2，0），动点P 满足：∠APB=2α， 且2sin 2=αPB PA . （Ⅰ）求动点P 的轨迹Q 的方程；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与轨迹Q 交于两点M 、N.试问x 轴上是否存在定点C ，使CN CM ?为常
数，若
存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.
【链接高考】
(1)【2015高考重庆】设双曲线2
22
2
1(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,
过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A)
1
2
(B) 2
2
(C) 1 (D) 2
(2)【2016高考上海】双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且
与双曲线交于A 、B 两点. （Ⅰ）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（Ⅱ）设b l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率
第11天 双曲线
1-8：DAACBBDA; 9 11: ； 12: 13
k -
<<-； 13. 双曲线116
92
2=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -==
22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-?，而12210F F c ==得
22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-?=-+?=
∴012121
64,sin 602
PF PF S PF PF ?==?=14. 略.
15.（Ⅰ）622=-y x ；（Ⅱ）直线系30kx
y k m 所过定点为),3(m M
由定点M 恰在双曲线上知：692
=-m ?3±=m
由（Ⅰ）知：
)
0,32(),0,32(21F F -故
3
23,32321-=
+=
m
k m k M F M F ?121-=?M F M F k k , 所以M F M F 21⊥
16. （Ⅰ）根据题意得：α2cos 22
2
2
PB PA PB PA AB -+=，即
)sin 21(216222α--+=PB PA PB PA =8)(2
+-PB PA ，
所以有AB PB PA <=-22，
所以动点P 是以两定点A 、B 为焦点，实轴长为22的双曲线. 方程为22
2=-y x . （Ⅱ）假设存在定点C （m,0）,使CN CM ?为常数.
1）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，代人22
2=-y x ，整理得 0)24(4)1(2222=+-+-k x k x k ，由题知，1±≠k 。
设),(11y x M 、),(22y x N ，则142221-=+k k x x ， 1
242221-+=k k x x ，
于是CN CM ?=)2)(2())((21221--+--x x k m x m x =
)21(21
)1(42
2
m m k m -++--， 要使CN CM ?是与k 无关的常数，当且仅当1=m ，此时1-=?CN CM .
2）当直线l 与x 轴垂直时，可得点M （2，2）、N （2， -2），当1=m 时，1-=?CN CM 。 故在x 轴上存在定点C （1，0），使CN CM ?为常数. 【链接高考】(1)C
(2)【解析】（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c
，c =，()
22241y b c b A =-=，
因为1F ?AB
是等边三角形，所以2c A =，即()
24413b b +=，解得22b =．
故双曲线的渐近线方程为y =．
（2）由已知，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．
由()2
213
2y x y k x ?-
=???=-?
，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()
23610k ?=+>．
由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()
()
2
2
12223613
k x x k +-=-， 故
()2122
6143
k x k +AB =
=-=
=-，
解得23
5
k =
，故l 的斜率为．